高中数学归纳推理综合测试题含答案.docx
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高中数学归纳推理综合测试题含答案
高中数学归纳推理综合测试题〔含答案〕
选修2-22.1.1第1课时归纳推理
一、选择题
1.关于归纳推理,以下说法正确的选项是〔〕
A.归纳推理是一般到一般的推理
B.归纳推理是一般到个别的推理
C.归纳推理的结论一定是正确的
D.归纳推理的结论是或然性的
[答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选D.
2.以下推理是归纳推理的是〔〕
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,得P的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜测出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=ab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
[答案] B
[解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理,故应选B.
3.数列{an}:
2,5,11,20,x,47,…中的x等于〔〕
A.28
B.32
C.33
D.27
[答案] B
[解析] 因为5-2=31,11-5=6=32,20-11=9=33,猜测x-20=34,47-x=35,推知x=32.故应选B.
4.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,那么猜测an是〔〕
A.2n-2-12
B.2n-2
C.2n-1+1
D.2n+1-4
[答案] B
[解析] ∵a1=0=21-2,
a2=2a1+2=2=22-2,
a3=2a2+2=4+2=6=23-2,
a4=2a3+2=12+2=14=24-2,
猜测an=2n-2.
故应选B.
5.某人为了观看2019年奥运会,从2019年起,每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,假设年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2019年将所有的存款及利息全部取回,那么可取回的钱的总数〔元〕为〔〕
A.a〔1+p〕7
B.a〔1+p〕8
C.ap[〔1+p〕7-〔1+p〕]
D.ap[〔1+p〕8-〔1+p〕]
[答案] D
[解析] 到2019年5月10日存款及利息为a〔1+p〕.
到2019年5月10日存款及利息为
a〔1+p〕〔1+p〕+a〔1+p〕=a[〔1+p〕2+〔1+p〕]
到2019年5月10日存款及利息为
a[〔1+p〕2+〔1+p〕]〔1+p〕+a〔1+p〕
=a[〔1+p〕3+〔1+p〕2+〔1+p〕]
所以到2019年5月10日存款及利息为
a[〔1+p〕7+〔1+p〕6+…+〔1+p〕]
=a〔1+p〕[1-〔1+p〕7]1-〔1+p〕
=ap[〔1+p〕8-〔1+p〕].
故应选D.
6.数列{an}的前n项和Sn=n2an〔n2〕,而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜测an等于〔〕
A.2〔n+1〕2
B.2n〔n+1〕
C.22n-1
D.22n-1
[答案] B
[解析] 因为Sn=n2an,a1=1,
所以S2=4a2=a1+a2a2=13=232,
S3=9a3=a1+a2+a3a3=a1+a28=16=243,
S4=16a4=a1+a2+a3+a4
a4=a1+a2+a315=110=254.
所以猜测an=2n〔n+1〕,故应选B.
7.n个连续自然数按规律排列下表:
根据规律,从2019到2019箭头的方向依次为〔〕
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 观察特例的规律知:
位置一样的数字都是以4为公差的等差数列,由234可知从2019到2019为,故应选C.
8.〔2019山东文,10〕观察〔x2〕=2x,〔x4〕=4x3,〔cosx〕=-sinx,由归纳推理可得:
假设定义在R上的函数f〔x〕满足f〔-x〕=f〔x〕,记g〔x〕为f〔x〕的导函数,那么g〔-x〕=〔〕
A.f〔x〕
B.-f〔x〕
C.g〔x〕
D.-g〔x〕
[答案] D
[解析] 此题考察了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,
g〔-x〕=-g〔x〕,选D,表达了对学生观察才能,概括归纳推理的才能的考察.
9.根据给出的数塔猜测1234569+7等于〔〕
19+2=11
129+3=111
1239+4=1111
12349+5=11111
123459+6=111111
A.1111110
B.1111111
C.1111112
D.1111113
[答案] B
[解析] 根据规律应为7个1,故应选B.
10.把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形〔如以下图〕,
试求第七个三角形数是〔〕
A.27
B.28
C.29
D.30
[答案] B
[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数:
1+2+3+4+…+n=n〔n+1〕2个,第七个三角形数为7〔7+1〕2=28.
二、填空题
11.观察以下由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:
第4个图形中,火柴杆有________根;第n个图形中,火柴杆有________根.
[答案] 13,3n+1
[解析] 第一个图形有4根,第2个图形有7根,第3个图形有10根,第4个图形有13根……猜测第n个图形有3n+1根.
12.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中,可得一般规律是__________________.
[答案] n+〔n+1〕+〔n+2〕+…+〔3n-2〕=〔2n-1〕2
[解析] 第1式有1个数,第2式有3个数相加,第3式有5个数相加,故猜测第n个式子有2n-1个数相加,且第n个式子的第一个加数为n,每数增加1,共有2n-1个数相加,故第n个式子为:
n+〔n+1〕+〔n+2〕+…+{n+[〔2n-1〕-1]}
=〔2n-1〕2,
即n+〔n+1〕+〔n+2〕+…+〔3n-2〕=〔2n-1〕2.
13.观察以下图中各正方形图案,每条边上有n〔n2〕个圆圈,每个图案中圆圈的总数是S,按此规律推出S与n的关系式为________.
[答案] S=4〔n-1〕〔n2〕
[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S=4个;每条边上有3个圆圈时,共有S=8个;每条边上有4个圆圈时,共有S=12个.可见每条边上增加一个点,那么S增加4,S与n的关系为S=4〔n-1〕〔n2〕.
14.〔2020浙江理,15〕观察以下等式:
C15+C55=23-2,
C19+C59+C99=27+23,
C113+C513+C913+C1313=211-25,
C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27,
由以上等式推测到一个一般的结论:
对于nN*,C14n+1+C54n+1+C94n+1+…+C4n+14n+1=__________________.
[答案] 24n-1+〔-1〕n22n-1
[解析] 本小题主要考察归纳推理的才能
等式右端第一项指数3,7,11,15,…构成的数列通项公式为an=4n-1,第二项指数1,3,5,7,…的通项公式bn=2n-1,两项中间等号正、负相间出现,右端=24n-1+〔-1〕n22n-1.
三、解答题
15.在△ABC中,不等式1A+1B+1C成立,
在四边形ABCD中,不等式1A+1B+1C+1D成立,
在五边形ABCDE中,不等式1A+1B+1C+1D+1E成立,猜测在n边形A1A2…An中,有怎样的不等式成立?
[解析] 根据特殊的数值:
9、162、253,…,总结归纳出一般性的规律:
n2〔n-2〕3〕.
在n边形A1A2…An中:
1A1+1A2+…+1Ann2〔n-2〕3〕.
16.以下图中〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕为四个平面图.数一数每个平面图各有多少个顶点?
多少条边?
它们围成了多少个区域?
并将结果填入下表中.
平面区域顶点数边数区域数
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔1〕观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
〔2〕现某个平面图有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图有多少条边?
[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表:
平面区域顶点数边数区域数关系
〔1〕3323+2-3=2
〔2〕81268+6-12=2
〔3〕6956+5-9=2
〔4〕1015710+7-15=2
结论VEFV+F-E=2
推广999E999E=999+999-2
=2019
其顶点数V,边数E,平面区域数F满足关系式V+F-E=2.
故可猜测此平面图可能有2019条边.
17.在一容器内装有浓度为r%的溶液a升,注入浓度为p%的溶液14a升,搅匀后再倒出溶液14a升,这叫一次操作,设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn〔每次注入的溶液浓度都是p%〕,计算b1、b2、b3,并归纳出bn的计算公式.
[解析] b1=ar100+a4p100a+a4=110045r+15p,
b2=ab1+a4p100a+a4=1100452r+15p+452p.
b3=ab2+a4p100a+a4
=1100453r+15p+452p+4253P,
归纳得bn=110045nr+15p+452p+…+4n-15nP.
18.设f〔n〕=n2+n+41,nN+,计算f〔1〕,f〔2〕,f〔3〕,…,f〔10〕的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜测是否正确.
[解析] f〔1〕=12+1+41=43,f〔2〕=22+2+41=47,
f〔3〕=32+3+41=53,f〔4〕=42+4+41=61,
f〔5〕=52+5+41=71,f〔6〕=62+6+41=83,
f〔7〕=72+7+41=97,f〔8〕=82+8+41=113,
f〔9〕=92+9+41=131,f〔10〕=102+10+41=151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数.
要练说,得练看。
看与说是统一的,看不准就难以说得好。
练看,就是训练幼儿的观察才能,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、开展语言。
在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察才能和语言表达才能的进步。
即:
当n取任何非负整数时f〔n〕=n2+n+41的值为质数.
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?
还是没有彻底“记死〞的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,老师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取〞出来,使文章增色添辉。
但是当n=40时,f〔40〕=402+40+41=1681为合数.
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记〞之后会“活用〞。
不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?
尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正进步学生的写作程度,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记〞名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断
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