正方体的组成.docx

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正方体的组成

正方体的组成

图形的展开与折叠

（1）几何体表面展开后是有规律的平面图形。

①立方体由6个大小完全相同的正方形组成，由于选择剪开的棱不一样，所以表面展开图有11种，如图所示：

以上图形可归类为：

“141”型、“132”型、“222”型、“33”型四种。

凡是出现“田”字形的一定不是，凡是出现“凹”字形的也一定不是，五连长链和六连长链均不是立方体的表面展开图。

②圆柱的表面展开图中，两个底面是圆，侧面是长方形；圆锥的表面展开图中，底面是圆，侧面是扇形；棱锥的表面展开图中，底面是多边形，侧面是几个三角形。

（2）经过合理设计的平面图形可折叠成几何体。

如：

下列平面图形中A可折叠成三棱柱，B可折叠成三棱锥，C可折叠成四棱锥，D不能折叠成几何体。

5、截一个几何体

⑴截面：

用平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。

一般地，截面与几何体的几个面相交，就得到几条交线，截面就是几边形。

⑵用一个平面截一个正方体所得截面是由于这个平面与正方体的若干个平面相交的结果，若与三个面相交得三条边，则截面是三角形，若与四个面相交，则截面是四边形，依次得五边

形，六边形。

而正方体只有六个面，所以截面不可能是七边形。

⑶立方体的几种截面图形：

⑷用平面去截一个几何体，截面的形状是圆的几何体有：

圆柱、圆锥、球。

三.重点、难点、考点：

重点：

1.认识立体图形，发展几何直觉；认识图形中的点、线、面；

2.直棱柱、圆柱、圆锥的展开图；立方体的表面展开图；

3.用平面截一个几何体所得截面的形状；

难点：

1.从实物中抽象立体图形；

2.根据展开图判断和制作立体图形；

3.想象截面的形状.

考点：

⒈生活中常见的立体图形；

2.平面图形通过折叠能否围成规定的几何体；几何体沿某些棱剪开，能否展成规定的平面图形；

3.用平面去截一个几何体所得截面的形状.

考点分析：

本节知识在近几年中考中所占的比重逐年上升，主要考查：

⑴生活中的立体图形以及构成图形的元素之间的关系等，并要求能利用这些知识解决相关问题；⑵立体图形与平面图形的展开与折叠；⑶用平面截一个几何体所得图形的形状等.中考命题多以选择题、填空题的形式出现.

【典型例题】

例1、观察下列图形：

回答问题．

⑴图中的立体图形分别是由几个面围成的？

它们是平面还是曲面？

⑵长方体有几个顶点？

经过每个顶点有几条边？

共有多少条棱？

⑶圆柱的侧面和底面相交成几条线？

它们是直的还是曲的？

解：

⑴长方体是由6个面围成的，且都是平面；圆柱是由2个底面和1个侧面围成的，其中2个底面都是平面，1个侧面是曲面；球有1个面，是曲面.

⑵长方体有8个顶点，经过每个顶点有3条边，共有12条棱.

⑶圆柱的侧面和两个底面相交成两条线，它们都是曲线.

指导：

本题考查几何体的构成，解决这类问题的途径是细致观察，结合面、线的概念，运用定义进行分析、判断，进而得出结论.

例2、观察图片，思考问题.

⑴上面这些物体的形状，分别类似于下图中哪一种几何体？

⑵在上面的实物图片中，哪些物体的形状相似但大小不一样？

⑶图片中玩具模型的形状，可以看作由哪些几何体组成？

⑷你还能说出类似于下图中几何体的实物吗？

解：

⑴图片中水桶、茶缸、两个车轮所对应的几何体都是圆柱；图片中铅笔头、玩具模型的尖形部分所对应的几何体都是圆锥；图片中的笔筒、玩具中的尖形的下半部分所对应的几何体都是棱柱；图片中小车、药箱、书、铅笔盒所对应的几何体都是长方体；图片中西瓜、苹果所对应的几何体都是球体.

⑵图中玩具模型的尖形部分、铅笔头都是圆锥体，但它们的大小不同；水桶、茶缸都是圆柱体，但它们的大小不同；西瓜、苹果都是球体，但它们的大小不同.

⑶图片中玩具模型的形状，可看作是由圆柱、圆锥、长方体、棱柱这些几何体构成的.

⑷例如：

电冰箱、随身听、课本等都类似于长方体；篮球、排球、地球仪等都类似于球体；魔方、水果包装箱类似于立方体或长方体；易拉罐类似于圆柱；尖形的冰；漏斗类似于圆锥等.

指导：

对于各类物体，要对它们进行分类，必须熟悉常见几何体的特征，如果不考虑它们的颜色、材料和质量等，而只注重它们的形状（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和位置（如垂直、平行、相交等），就得到我们今后要学习的几何图形.

例3、观察下图，回答下列问题：

⑴这个棱柱的上下底面一样吗？

是什么形状？

他们各有几条边？

⑵这个棱柱有几个侧面？

侧面的形状是什么图形？

⑶这个棱柱共有多少条棱？

其中侧棱有多少条？

它们相等吗？

⑷这个棱柱是几棱柱？

解：

⑴这个棱柱的上下底面一样，都是六边形，各有6条边；

⑵这个棱柱有6个侧面，侧面都是长方形；

⑶这个棱柱共有18条棱，其中侧棱6条，它们都相等.

⑷这个棱柱是六棱柱.

指导：

本题主要考查棱柱的有关定义，结合图形，观察分析，是解题的关键；易知：

n棱柱的上下底面都是n边形，有n个侧面，侧面都是长方形，共有3n条棱，其中侧棱n条，且所有侧棱长都相等.

例4.如图所示的图形中，是立方体的表面展开图的是（）

解：

⑵，⑷，⑸，⑹

指导：

本题考查立方体的展开知识，掌握立方体的表面展开图的特点，是解此题的关键.若最长的一条有4个正方形.它的两侧应各有1个正方形；也可将其中一个面确定为正面，然后看其他面的位置，若正好能组成立方体，则是其表面展开图，否则不是.

解决此类题的方法有两种：

一是动手实践，二是发挥空间想象力，观察折叠后有无重合的面.

例5、（2007，中考）一个立方体的每个面上都写有一个汉字，其表面展开图如图所示，那么在该立方体中，和“超”相对的字是＿＿＿＿＿.

解：

和“超”相对的字应是“自”．

指导：

本题是一道和立方体的表面展开图有关的中考题，通过立方体的表面展开图上面的字，思考原立方体中和“超”字所在面相对面上的字，根据展开图可知，对面之间不能有公共边或公共顶点，所以“超”的对面不能是“沉”“着”“越”，根据上下相对和左右相对，由于“信”和“着”相对，“着”和“超”相邻，这样和“超”相对的字只能是“自”．

例6、（2007，中考）一个立方体的8个顶点被截去后，得到一个新的几何体，这个新的几何体有多少个面？

多少个顶点？

多少条棱？

解：

新的几何体的顶点为：

8＋2×8＝24

面为：

6＋8＝14

棱为：

12＋8×3＝36

所以新的几何体有14个面，24个顶点，36条棱.

指导：

先考查一个角被截的情形，再用类比推理得出结论是解题的一般方法，要注意在事物发生过程中的变与不变的关系.

【思想方法小结】：

1.掌握常见立体图形的结构特点及构成图形的元素（点、线、面）之间的关系，是解决问题的关键；

2.多观察，多动手实践，发挥空间想象力是解决展开与折叠问题的常用方法；

3.用一个平面去截一个几何体，由于角度的不同，故得到的截面也不同，解题时注意分类讨论、类比推理思想的应用.

【模拟试题】（答题时间：

60分钟）

一.选择题：

﹙每小题3分，共27分﹚

⒈下列图形中，不属于立体图形的是（）

A.扇形B.三棱柱C.长方体D.圆锥

2.将一个长方体沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（）条棱.

A.5B.6C.7D.8

3.将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是（）

A.棱柱B.球C.圆柱D.圆锥

4.（2008，广州）下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（）

5.围成八棱柱的面的个数为（）个

A.6B.10C.8D.9

6.用平面去截一个几何体，如果截面是圆，则原几何体可能是（）

A.棱柱、圆锥B.球、正方体C.圆柱、圆锥D.球、长方体

7.如图所示，下面四个图形中，不是正方体展开图的是（）

﹡8.（2008，益阳）如图，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1－6个点，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等，这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是（）

A.1B.2C.3D.6

﹡9.（2008，中考）如图所示的正方体的展开图，将它折叠起来是图中的（）

二.填空题：

﹙每小题3分，共27分﹚

10.天上落下的雨点走过的路径可用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿解释；擦黑板时黑板擦走过的路径可解释为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；一个长方形绕它的一边旋转走过的路径可解释为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

11.长方体有＿＿个面，有＿＿个顶点，过每个顶点有＿＿＿条棱，长方体共有＿＿＿条棱.

﹡12.一个几何体有27条棱，则这个几何体是＿＿＿＿＿＿＿.

13.已知一个棱柱共有12个顶点，且所有的侧棱长的和为120㎝，则每条侧棱长为＿＿＿＿.

﹡14.（2007，广东）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是＿＿＿＿.

15.三棱锥是由＿＿＿＿个面围成的，有＿＿个顶点，＿＿＿＿＿条棱.

16.用一个平面去截一个几何体，截面的形状有圆、三角形，那么这个几何体可能是＿＿＿＿＿＿.

17.如图所示，截去正方体一角变成一个新的多面体，这个新多面体有7个面，有＿＿＿条棱截去的几何体有＿＿＿＿个面.

18.（2006，温州）如图，把一个棱长为2㎝的立方体截成几个棱长为1㎝的小立方体，至少需要截＿＿＿＿次.

三.解答题：

﹙共46分﹚

19.（8分）将下列几何体进行分类，并说明理由.

20.（9分）一个正n棱柱，它有18条棱，一条侧棱长为10㎝，一条底面边长为5㎝.

⑴这是几棱柱？

⑵此棱柱的侧面积是多少？

⑶过它一个底面的某个顶点，连接其他各顶点，可把该底面分成几个三角形？

21.（10分）一只壁虎在一只油罐底A处，如图，它发现自己的正上方即油罐的上边缘B处有一只害虫，壁虎决定捕捉它，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请你根据所学知识，帮助设计一条最短路线，并说明你的依据.

﹡22.（9分）某宾馆在重新装修后，考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯宽3m，其剖面如图所示，请你计算一下，仅此楼梯，需要购买地毯多少平方米？

﹡23.（2007，烟台，10分）下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b），（c），（d），（e）所示的木块.

⑴我们知道，图（a）中的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图（b），（c），（d），（e）中所示木块的顶点数、棱数、面数填入下表：

图号

顶点数x

棱数y

面数z

（a）

8

12

6

（b）

（c）

（d）

（e）

﹡﹡⑵上表中，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式.

【试题答案】

一.选择题：

1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.C8.B9.C

二.填空题：

10.点动成线；线动成面；面动成体.

11.6；8；3；12；

12.九棱柱

13.20㎝

14.6

15.4；4；6；

16.圆锥；

17.12；4；

18.3

三.解答题：

19