二元一次方程组应用题经典题.docx
- 文档编号:2298168
- 上传时间:2022-10-28
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:65.49KB
二元一次方程组应用题经典题.docx
《二元一次方程组应用题经典题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二元一次方程组应用题经典题.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
二元一次方程组应用题经典题
实际问题与二元一次方程组题型归纳
知识点一:
列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系.一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.
知识点二:
列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题:
(1)追击问题:
追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。
这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:
两者的行程差=开始时两者相距的路程; ;;
(2)相遇问题:
相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是:
双方所走的路程之和=总路程。
(3)航行问题:
①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;
②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;
③顺水速度-逆水速度=2×水速。
注意:
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2.工程问题:
工作效率×工作时间=工作量.
3.商品销售利润问题:
(1)利润=售价-成本(进价);
(2);(3)利润=成本(进价)×利润率;
(4)标价=成本(进价)×(1+利润率);(5)实际售价=标价×打折率;
(5) 注意:
“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)
(6) 4.储蓄问题:
(7)
(1)基本概念
(8) ①本金:
顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息:
银行付给顾客的酬金叫做利息。
(9) ③本息和:
本金与利息的和叫做本息和。
④期数:
存入银行的时间叫做期数。
(10) ⑤利率:
每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税:
利息的税款叫做利息税。
(11)
(2)基本关系式
(12) ①利息=本金×利率×期数
(13) ②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)
(14) ③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率。
(15) ④税后利息=利息×(1-利息税率)⑤年利率=月利率×12⑥。
(16) 注意:
免税利息=利息
(17) 5.配套问题:
(18) 解这类问题的基本等量关系是:
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
(19) 6.增长率问题:
(20) 解这类问题的基本等量关系式是:
原量×(1+增长率)=增长后的量;
(21) 原量×(1-减少率)=减少后的量.
(22) 7.和差倍分问题:
(23) 解这类问题的基本等量关系是:
较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量.
(24) 8.数字问题:
(25) 解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为:
两位数=十位数字10+个位数字
(26) 9.浓度问题:
溶液质量×浓度=溶质质量.
(27) 10.几何问题:
解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
(28) 11.年龄问题:
解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的
(29) 12.优化方案问题:
(30) 在解决问题时,常常需合理安排。
需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。
(31) 注意:
方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
(32)知识点三:
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(33) 利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤:
(34) 1.审题:
弄清题意及题目中的数量关系;2.设未知数:
可直接设元,也可间接设元;
(35) 3.找出题目中的等量关系;4.列出方程组:
根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组;5.解所列的方程组,并检验解的正确性;6.写出答案.
(36) 要点诠释:
(37)
(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;
(38)
(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;
(39) (3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
(40) (4)列方程组解应用题应注意的问题
(41) ①弄清各种题型中基本量之间的关系;②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息;③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不要带单位;④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆;⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件;⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
(42)类型一:
列二元一次方程组解决——行程问题
(43) 1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
(44) 思路点拨:
画直线型示意图理解题意:
(45)
(46)
(1)这里有两个未知数:
①汽车的行程;②拖拉机的行程.
(47)
(2)有两个等量关系:
(48) ①相向而行:
汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程=160千米;
(49) ②同向而行:
汽车行驶小时的路程=拖拉机行驶小时的路程.
(50) 解:
设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米.
(51) 根据题意,列方程组 解这个方程组,得:
(52) .
(53) 答:
汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.
(54) 总结升华:
根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。
(55) 【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米?
(56)
【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。
类型二:
列二元一次方程组解决——工程问题
2.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?
思路点拨:
本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:
若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;第二层含义:
若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元。
设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,由第一层含义可得方程8(x+y)=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
解:
(1)设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,依题意得:
解得
答:
甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元。
(2)单独请甲组做,需付款300×12=3600元,单独请乙组做,需付款24×140=3360元,
故请乙组单独做费用最少。
答:
请乙组单独做费用最少。
总结升华:
工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?
请你说明理由.
类型三:
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?
思路点拨:
做此题的关键要知道:
利润=进价×利润率
解:
甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,由题意得:
,解得:
答:
两件商品的进价分别为600元和400元。
【变式1】(2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?
【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
(注:
获利=售价—进价)求该商场购进A、B两种商品各多少件;
类型四:
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱?
(利息所得税=利息金额×20%,教育储蓄没有利息所得税)
思路点拨:
设教育储蓄存了x元,一年定期存了y元,我们可以根据题意可列出表格:
解:
设存一年教育储蓄的钱为x元,存一年定期存款的钱为y元,则列方程:
,解得:
答:
存教育储蓄的钱为1500元,存一年定期的钱为500元.
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?
(注:
公民应缴利息所得税=利息金额×20%)
【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?
类型五:
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
5.某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
思路点拨:
本题的第一个相等关系比较容易得出:
衣身、衣
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二元 一次 方程组 应用题 经典
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)