习题六微分方程.docx
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习题六微分方程
习题六
一.求解下列微分方程.
⑴
[解答]令,则原微分方程可变化为解其对应的齐次方程,可得
令为原方程的解,代入方程有,
解得,所以故原方程的解为
⑵
[解答]原方程可变换为
解得,即,
又,则,故
二.求解下列微分方程.
⑴
[解答]令,则,原方程可变换为
即,解得,将代入可得
⑵
[解答]设,将方程右端同除后可变换为
解得即
由可得,故所求方程为
三.求解下列微分方程.
⑴
[解答]令,又,则原方程式可变换为
解其对应的齐次方程,可得
令为原方程的解,代入方程有
解得
所以
⑵
[解答]方程可变换为
其对应其次方程可解为
,积分可得,
即,齐次方程的通解为
令,代入原式中有,积分可解得
故原方程的通解为
⑶
[解答]设,则,
所以原式可变换为
由贝努利方程,设,则方程变换为
其对应的齐次方程的解为,
令,代入原方程中可解得
所以,即
五.求解下列微分方程
⑴
[解答]原式可变换为,即
设,则原方程可变换为
其对应的齐次方程的通解为
令为原方程的解,代入原式中有
,可解得
故
⑵
[解答]原式可变换为
由贝努利方程,设,则原式可变换为
其对应的齐次方程的通解为
令为原方程的解,代入可得
解得
所以
六.函数在实轴上连续,存在,且具有性质,试求出.
[解答]在实轴上连续,设,则
可得
又存在,则对任意,有
即处处可微且满足
解得
又故
八.求解下列方程
⑴
[解答]原式可变换为,即
令,则又变换为,即
解此方程可得
又,则,所以
⑵
[解答]令,则,
则原式可变换为
解此方程可得,即
又,则,所以
九.求解下列方程
⑴
[解答]令,则原方程可变换为
即,积分可得
即
解得
⑵
[解答]令,则原方程可变换为
解得,又,可得
所以,则,又,可得
故
⑶
[解答]令,则原方程可变换为
令,则原方程又可变换为
解此方程可得,当时,,可得
则,又,可得所以
十二.求解下列微分方程.
⑴
[解答]令,即,则原方程可变化为
即
相应特征方程为
齐次方程通解
特解
所以原式的通解为
⑵
[解答]令,即,则原方程可变化为
即
相应特征方程为 齐次方程通解
特解
所以原式通解为
五.一质量为的物体,在粘性液体中由静止自由下落,假如液体阻力与运动速度成正比,试求物体运动的规律.
[解答]物体受到的重力为,阻力为,则,其中,,则方程式变为
令,则方程式变化为
解其对应的齐次方程,可得
令为原方程的解,代入方程有,
解得,所以,
又,则
,又,则
所以
十六.有一盛满水的圆锥形漏斗,高,顶角,漏斗尖处有面积为㎡的小孔,求水流出时漏斗内水深的变化规律,并求出全部流出所需要的时间.
[解答]从时刻到小孔流出的水量为
在此时间内,液面由降至,水量减少为
由题意可知,则,且当时,㎝.
所以方程为
当水全部流出时,,.
十七.设经过原点的曲线族上任一点处的切线交轴于点,从点向轴作垂线,其垂足为,已知与轴所围成的三角形的面积与曲边三角形的面积之比等于常数,试求该曲线族.
[解答]为曲线上一点,则切线的方程为,坐标为,由题意可知
三角形的面积为
曲边三角形的面积为
又,则,对方程两边求导可得
化简可得
令,代入方程可得
解得,即
又,则解得,即.
十八.有一房间容积为,开始时房间空气中含有二氧化碳,为了改善房间的空气质量,用一台风量为/分的排风扇通入含的二氧化碳的新鲜空气,同时以相同的风量将混合均匀的空气排出,求排出分钟后,房间中二氧化碳含量的百分比?
[解答]设在时刻,的含量为,则在时间内进入房间的的含量为
,排出房间的的含量为
所以在内的改变量为
化简得
解得又则,即
所以当时,,即的含量为.
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