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负分数
2.2相反数
<0(a>0)非负数(非正数的相反数)
-a=0(a=0)
>0(a<0)非正数(非负数的相反数)
非负数与非正数互为相反数。
若a、b互为相反数,则a+b=0若a、b互为负倒数,则乘积为-1
或a=-b
或b=-a
2.3绝对值
a(a>0)
三分法:
|a|=0(a=0)
-a(a<0)
a(≥0)
两分法:
|a|=
-a(≤0)
绝对值的性质:
|a|≥0(非负数)|a|≥0(绝对值一定是非负数)绝对值最小的数是0
互为相反数的两个数绝对值相等:
|a|=|-a|
若|a|=b,则a=±
b;
几个非负数的和为0,则这几个非负数分别为0.
若|a|=|b|,则a=±
b如:
|a|+|b|=0,|a|=0、|b|=0
2.4有理数的大小比较:
1.正数大于0,负数小于02.正数大于一切负数3.两个正数比较大小,绝对值大的数较大。
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
5.求差法比大小.6.求商法比大小.
4.一组数比较大小,要分类5.分数比较大小,可以按情况通分,可统一分母,也可统一分子。
数串的表达(1﹚奇数位为正,偶数位为负表达为:
数串的表达(2﹚奇数位为负,偶数位为正表达为:
(n是第几个数,等式中的“(-1)ⁿ﹢¹
”和“(-1)ⁿ”表达这个数的符号)
在数轴上,求2点间的距离共3钟方法:
1.大数-小数.2.|小数-大数|3.同侧:
绝对值相减(大-小);
异侧:
绝对值相加。
2.6有理数加法:
注意:
运算符号和性质符号要用括号隔开。
两数相加:
0和正数至少0和负至少两数为0两数
和为正一正一负一个和为负一正一负一个和为0互为
两正是正数两负是负数一正一负相反数
a>0,b>0,a+b=|a+b|=|a|+|b|a>0,b<0,|a|>|b|,
a+b=|a+b|<|a|+|b|
a<0,b<0,a+b<|a+b|
a+b<|a|+|b|a>0,b<0,|a|<|b|,a+b<|a+b|<|a|+|b|.
简算方法:
1.同号结合2.同分母结合法3.凑整法4.相反数结合法5.转化法:
如
=0.5
6.整分结合法
=
(
—
)
特殊值法:
就是设定一个或几个符合条件的数。
2.7有理数的减法
互为相反数的两个数相减,差为被减数的2倍。
求差比大小:
如a、b比较大小:
若a-b>0,则a>b
若a-b=0,则a=b
若a-b<0,则a<b
2.8有理数的加减混合运算
只含加法运算的式子.代数
几个正负数的和.和
读读法一:
按性质读,如:
负8、正10、负6、负4的和一号一读
法读法二:
按运算意义都,如:
负8加10减6减4一号一用
方法:
省略加号和括号时,按照:
同号为正,异号为负,如:
8-(-10)-(+10)+(-10)+(+10)
解:
原式=8+10-10-10+10
2.9,有理数的乘法
两数相乘,若把一个因数换成它的相反数,则所得的积是原来的积的相反数.
有理数乘法法则:
两数相乘,同号的正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数与0相乘,都得0.
乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积不变
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。
乘法分配律:
一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加。
几个不等于0的数相乘,积的正负号由负因数的个数决定:
当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正。
几个不等于0的数相乘,首先确定积的正负号,然后把绝对值相乘。
几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.
2.10有理数的除法
乘积是1的两个数互为倒数。
除以一个数,等于乘以这个数的倒数。
0不能作除数。
有理数除法法则:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
求倒数:
1÷
原数
0没有倒数。
当A=0,A÷
0=任意数(0×
任意数=0)
A÷
0
当A≠0,因为没有数与0相乘等于除0以外的数所以无解。
即:
无数个解:
A=0无解:
A≠0
倒数等于本身的数是±
1,0没有倒数.
0<a<1a<1/a
A=1a=1/a
A>1a>1/a
-1<a<0a>1/a
A=-1a=1/a
A<1-a<1/a
若a、b同号或其中之一为0ab=|ab|=|a|·
|b|
若a、b异号ab<|ab|=|a|·
|b|或ab=-|ab|=-|a|·
即ab≤|ab|=|a|·
当a、b同号时(a、b≠0或a(b)=0)a/b=|a/b|=|a|/|b|
当a、b异号时a/b=-|a/b|=-|a|/|b|
除0外,互为倒数,积是1,相等商是1,
即ab=1(a、b互为倒数)a÷
b=1(a、b相等)a÷
b=-1(a=-b)
讨论:
1.|a|/a+|b|/b+|c|/c的结果
2.a×
1/a÷
a×
1/a的结果
3.(-1/36)÷
(1/4+1/12-7/18-1/36)怎样运用乘法分配律。
2.11有理数的乘方
a·
a=a²
(读作a的平方或a的2次方或a的2次幂)
定义:
求几个相同因数的积的简便运算称作乘方运算。
乘方是一种运算,乘方运算没有符号,由位置确定运算关系。
比较a+a=2a=a×
2与a·
a=a²
和a+a+a=3a=a×
3a·
a=a
a·
a......a·
a(N个a)记作:
aⁿn是指数a是底数整体叫做幂
任何一个数都可以看做这个数本身的1次方。
写出a、1的指数
写出2³
、(-2³
)、-2³
、-(-2³
)的底数、指数、结果。
比较1.2¹
、2²
、2³
、2⁴
与2.(-2)¹
、(-2)²
、(-2)³
、(-2)⁴
得到结论:
正数的次幂都是正数;
负数的次幂是负数,负数的次幂都是正数。
了解:
0º
无意义
0ⁿ=0(n≠0)Aº
=1(A≠0)
1的任何次幂都是1
(-1)的偶次幂都是1,奇次幂都是-1,即:
分数乘方
1.分数的乘方等于把分子分母分别乘方。
2.带分数的乘方要先把带分数化成假分数。
3.分数的乘方要把分数加括号。
3²
=(-3)²
得出结论:
互为相反数的两个数的偶次幂相等。
讨论2³
与(-2)³
的关系
如果互为相反数的两个数,它们的奇次幂也互为相反数。
任何一个数的偶次幂都是非负数!
即a²
ⁿ≥0,
所以a²
最小值是1-a²
有最()值,a=()那么(a-2)²
最小值是()a²
+2最小值是()
加减是1级运算乘除是2级运算乘方开方是3级运算
错位相加法:
设S(和)=①
则2S=②
则2S-S=
*2是底数。
2.12科学记数法
一个大于10的数可表示为:
10ⁿ
其中:
1≤|a|<10n是正整数(比原数整数位数少1),
像这样的记数法就叫做科学记数法。
科学记数法比较大小:
先比较10的指数,指数大的数较大;
指数相等,就比较第一个因数(a),第一个因数大的数较大。
有实际意义的数改写成科学记数法,要带单位。
2.13有理数的混合运算
一个算式里,含有有理数的加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算,称为有理数的混合运算。
顺序:
1.先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减
2.同级运算,按照从左至右的顺序进行
3.若有括号,就先算小括号里的,再算中括号的,之后算大括号里的,最后算括号外面的。
2.14近似数和有效数字。
与实际完全符合的数叫做准确数
与实际数据非常接近的数称作近似数
一般的,一个近似数,四舍五入到某一位,就说这个数精确到那一位。
这时,从左边第一个不是0的数字起,到末尾数字为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。
表现符号:
表示约等于:
≈
精确度的说法:
1.保留到某一位2.保留几位小数3.保留1或0.1或0.01等等。
4.保留几个有效数字
特别的:
科学记数法和以万亿为单位的数:
近视度范围:
求近视度的范围:
用a±
0.0........5小数部分0的个数:
若a为整数,就没有0;
若a为小数,就有小数位数+1个0
第三章
知识结构
①概念
②字母表示数
整代数式③规范书写
④列代数式
式⑤求代数式的值
的①单项式
整式②多项式
加③升降幂排列
①同类项
减整数的加减②合并同类项
③去、添括号
数学思想
1.整体思想2.枚举法3.转化思想4.从特殊到一般5.设K法
4.1
圆柱
柱体棱柱
椎体圆锥
几规则的棱锥多面体
何
体圆台
台体棱台
球体
不规则的
柱体:
上下底全等且互相平
棱柱
侧面是矩形(底面是n边形就有几个矩形)
有顶点
上下底是多边形
圆柱
侧面是曲线
没顶点
上下底是圆形
椎体:
一端是尖的(交于一点)
棱锥
底是多边形
侧面是三角形(n棱锥有n个)
圆锥
底面是圆
侧面是曲面
底面是n边形,则它是n棱柱(锥)
共有几个面,就是几面体
欧拉公式:
顶点数+面数-棱数=2
4.5点、线段、射线、直线
名称
点
线段
射线
直线
图例
定义
无
线段一段无限延伸
线段两端无限延伸
表示方法
大写字母,如A点(点A)
线段AB或线段b
射线AB(射线上任意两点)
直线AB或直线b
端点
1
延伸(长)性
不能延伸可延长
一端延伸,另一端反向延长
两端无限延伸
长度
可度量
不可度量
点和线的位置
1点在线上(直线经过点)
2点在线外(直线不经过点)
3连结XX画线段
4延长线用虚线
5反向延长AB就是延长BA
6过一点可以画无数条直线
7两条直线相交只有一个交点
8直线公理:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线(两点确定一条直线)
9
线段公理:
两点之间线段最短三角形任意两边长度大于第三边
10两点间的距离就是两点间线段的长度
11三(n)点处于同一条直线(3/n点共线),这(3/n)个点只能确定一条直线
12平面内,有n个点(n≥3),最少的1条直线(n点共线),最多有二分之n×
(n—1)
线段的中点----------------------------------→点在线上
一条线段上的点,把这条线段分成两条相等线段的点,叫做这条线段的中点。
4.6角
角的表示方法
1三字母表示法(角的顶点字母在中间)∠AOB②单字母表示法(顶点字母)∠O
2数字表示法∠1③小写希腊字母∠α、∠β
分角用①③④,复角只能用①
角的分类
1
角度:
一个圆分成360份,一份就是1°
把1度分成60份,一份就是1′
把一份分成60份,一份就是1″
锐角(0°
<α<90°
2直角(α=90°
3钝角(90°
<α<180°
4平角(α=180°
5周角(α=360°
⑥优角
角的特殊关系
互余:
与角度有关,与位置无关,只是两个角的度数关系。
锐角有余角,且都是锐角,锐角的余角与自身的关系不能确定。
同一个角的余角有两个,且是相等的两个角
等角的余角相等
互补:
邻补角=相邻的补角有公共定点和一条边
另一条互为反向延长线
同角(等)的补(余)角相等。
一个锐角的补角比它的余角大90°
邻补角的平分线的夹角是90°
4.7相交线
垂线段:
线外一点,与直线的垂直线段。
垂线段公理:
垂线段最短。
点到直线的距离:
点到直线的垂线段的长度。
相交线中的角:
1同位角:
截线同侧,被截线同方(F)
2内错角:
截线两侧,被截线之间(Z)
3同旁内角:
截线同侧,被截线之间(U)
解题思路:
分离基本图形。
4.8平行线
相交(只有一个交点)
两直线位置关系重合(无数个,一般不研究)
平行(无交点)
平行线具有传递性。
交点:
同平面内有n条直线(可不两两相交):
最少0个,最多[n(n-1)]个
若必须相交:
最少1个,最多[n(n-1)]个
平行线判定:
判定方法:
1、公理:
同位角相等,两直线平行。
2、定理:
内错角相等,两直线平行。
同旁内角互补,两直线平行。
平行于同一直线的两直线平行。
同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行。
两角的边平行或垂直,两角相等或互补。
n条直线相交于一点,有n(n-1)对对顶角。
数统计表(具体)
据
的条形(数量多少)(也叫“频数分布直方图”)
表统计图(直观)折现(数量变化)
示扇形(数量所占份额)
第六七八单元复习、归纳
一
元
次
方
程
概念/隐含条件
只含有一个未知数的等式;
未知数次数为一;
整式:
等号左右两边都是整式;
变形后任要符合。
思想方法
整体思想,转化思想
例
题
1、数字问题;
2、几何问题;
3、储蓄问题;
4、变化率问题;
5、行程问题;
标准形式
ax=b(a=0,b=0,x任意;
a=0,b≠0,无解;
a≠0,b=0,x=0;
a≠0,b≠0,x=b/a)
解方程格式、步骤
写解,去分母(就高不就低),去括号,移项,合并,系数化为1
列的步骤
审(已知、未知);
设(直接、间接);
找(相等关系)(从文字转化到数学);
列(方程);
解(解方程);
检验(合题意、不合题意舍去);
答(问题)
解
只有一个解(根)
性质
1、在等式的左右两边都加上或减去同一个数(同一个整式),等式仍然成立。
2、在等式两边同时乘或除以(0除外)同一个数,等式仍然成立.
二元一次方程(组)
概念、隐含
条件
二元一次方程:
未知数系数不为0;
整式方程;
含有两个未知数;
整理变形后任然符合。
二元一次方程组:
含有相同的两个未知数的方程结合在一起
转化法;
整体思想;
例题
行程问题;
盈亏问题;
年龄问题;
几何问题;
工程问题;
储蓄问题;
数字问题;
浓度问题;
变化率问题;
劳力分配问题;
方案设计问题;
售价问题;
调配问题
标
准
形
式
一元一次方程ax+by=c(a、b、c为常数,且a、b不为0);
一元一次方程组:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
解方程(组)格式、步骤
二元一次方程(组)1、编;
2、变;
3、代/加/减(消元);
4、求;
5、写(联立)
列的
步骤
列;
解(解方程;
可写解之得);
无限制时,有无数组解。
3种情况:
无数解(a1:
a2=b1:
b2=c1:
c2);
唯一解(a1:
a2≠b1:
b2);
无解(a1:
b2≠c1:
(可用换元法)解题主要思想:
消元(转化)→二元变一元;
有代入消元法(未知数系数为±
1;
未知项相同)和加减消元法(未知数系数绝对值相等;
未知数系数成倍数关系)。
一元一次不等式
不等号
≠;
>;
<;
≥;
≤
思想法
转化;
方程(组)与不等式(组)结合;
价格问题;
运输问题;
制造问题
性
质
若a>b:
a±
c>b±
c;
c>0,ac>bc,a/c>b/c;
c<0,a/c<b/a,ac<bc;
c=0,ac=bc;
c≥0,ac≥bc;
c≤0,ac≤bc
列的步
骤
审(题);
设(一个未知数);
找(不等关系)(从文字转化到数学);
列(不等式(组));
解(解不等式(组);
讨论取值;
解/解
集
表达:
x>a;
x<a;
x≥a;
x≤a;
a≤x≤b,在数轴上表达;
解集的确定:
同大取大,同小取小,大小、小大中间找,大大、小小找不到。
一元一次方程
一、方程:
含有未知数的等式叫做方程
二、方程的解与解方程:
方程的解是能使等式两边结果相等的值,而解方程式求解值的过程
三、一元一次方程
1只含一个未知数②未知数的次数为1③左右两边都是等式
四、等式的性质
若a=b则a+2=b+22a=2b
①在等式两边都加上或减去同一个数,或同一个等式,等式仍然成立
2在等式两边同时乘或除以同一个数(0除外),等式仍然成立。
3移项是指方程中某些项,改变符号后,从一边移到另一边的变形过程。
4移项要变号。
5移项与在同侧交换位置不同。
6未知项移到左边,已知项(常数项)移到右边。
7方程两边同时除以未知数的系数的过程叫做系数化为1。
5(x+2)=2(5x-1)
完全平方公式:
(X±
Y)²
=X²
±
2XY+Y²
平方差公式:
(X+Y)(X-Y)=X²
-Y²
5X+10=10X-2——去括号(恒等变形)
5X-10X=-2-10——移项(等式的性质)
-5X=-12——合并同类项(变形)
X=12/5——系数化为1(等式的性质)
行程问题:
甲、乙两运动员在400米的环形跑道上练习跑步,已知甲每分钟跑180米,乙的速度是甲的2/3。
(1)如果两人同时由同一起点出发,反向而行,那么经过多少分钟两人首次相遇?
(2)如果两人同时由同一起点出发,同向而行,那么经过多少分钟两人首次相遇?
数字问题:
一个两位数,个位与十位上的数字之和为12,如果交换个位与十位数字,则新数比原数大36,则原来的两位数是多少?
几何问题:
一块长宽高分别为4cm,3cm,2cm的长方形橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为2cm的圆柱,它的高是多少?
(π取3)
储蓄问题:
小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄,今年到期后,扣除利息税,所得利息正好为小明买了一只价值为38.88元的计算器。
问小明的爸爸前年存了多少元钱?
变化率问题:
某工厂甲、乙两车间计划每月共生产3600个零件,由于改进了加工技术,产量大幅提高,上月甲车间的产量比原计划增长12%,乙车间的产量比原计划增长10%,因此共生产4000个零件。
求甲、乙两个车间上月实际各生产多少个零件?
已知△ABC是等边三角形,AB=2X-8,BC=15-Y,AC=Y-X+4求X2-Y2/X2+Y2
某人在规定时间类由乙地赶往甲地,如果他以50km/h的速度行驶,会迟到24分钟,如果他以75km/h的速度行驶,会提前24分钟,求甲乙两地的距离
工程问题:
某乳制品厂,现有鲜奶10吨,若直接销售,每吨获利500元;
制成酸奶,每吨获利1200元;
若制成奶粉,每吨获利2000元,本厂生产能力是:
每天加工酸奶3吨或每天加工奶粉1吨(两种不能同时进行),受气温限制,这批鲜奶要在4天内加工销售完,请问该厂怎样生产获利最多?
售价问题:
小明和妈妈一起上街买西瓜,街上的西瓜有大中小三种,论个卖。
买卖问了一下价钱,发现4个大西瓜2个中西瓜,1个小西瓜要50元;
2个大西瓜4个中西瓜,5个小西瓜要40元.妈妈问小明:
买大中小西瓜各1个共要多少钱?
调配问题:
父亲现在的年龄比儿子的三倍大一岁,3年前父亲的年龄比儿子的4倍小1,这现在父亲和儿子现在的年龄各是多少?
劳力分配问题:
驴和骡子一同走,他们驮着不同袋数的货物,每袋货都一样重,驴子说:
如果你给我一袋,我就是你的两倍;
如果我给你一袋,我们驼得一样多。
那么驴子原来说驼的货物有几袋?
方案设计问题:
为迎接2008奥运会,某工艺厂生产奥运会标志“中国印”和“福娃”,用料如下:
甲原料
乙原料
中国印
3
福娃
5
10
该厂有甲原料20000盒、乙原料30000盒,问若原料全部用完,该厂能生产多少“中国印”和“福娃”?
一元一次不等式(组)
方程(组)与不等式(组)结合:
有红、绿两种颜色的灯泡若干个,已知绿灯比红灯少,但绿灯的两倍比红灯更多,若把一个绿灯记为2,每个红灯记为3,则所有灯泡的总计数为60,问红绿灯各多少个?
价格问题:
苹果的进价是每千克3.8元,销售中估计有5%的苹果为正常损耗,为避免亏本,商家应至少把售价定为多少?
运输问题:
现有食物30吨,衣物13吨,准备用AB两种货车运走,已知甲型每辆运食物5吨和衣物1吨;
乙型每辆运食物5吨,衣物2吨,共有9辆车。
要使这些东西一次性运走,共有几种方案?
制造问题:
该厂有甲原料20000盒、乙原料30000盒,问,该厂最多能生产多少“中国印”和“福娃”?
已知一个等腰三角形的底边为5,这个等腰三角形的腰为X,则X的取值范围是什么?
某出租车公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要卖3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆7万元,公司可投放的购车款不超过55万元。
(1)符合公司要求的购买方案有几种?
(2)如
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