A星算法求解八数码问题.docx
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A*算法求解八数码问题
1、八数码问题描述
所谓八数码问题起源于一种游戏:
在一个3×3的方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、6、7、8,其中一个单元格是空的。
将任意摆放的数码盘(城初始状态)逐步摆成某个指定的数码盘的排列(目标状态),如图1所示
图1八数码问题的某个初始状态和目标状态
对于以上问题,我们可以把数码的移动等效城空格的移动。
如图1的初始排列,数码7右移等于空格左移。
那么对于每一个排列,可能的一次数码移动最多只有4中,即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。
最少有两种(当空格位于方阵的4个角时)。
所以,问题就转换成如何从初始状态开始,使空格经过最小的移动次数最后排列成目标状态。
2、八数码问题的求解算法
2.1盲目搜索
宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法
2.2启发式搜索
启发式搜索算法的基本思想是:
定义一个评价函数f,对当前的搜索状态进行评估,找出一个最有希望的节点来扩展。
先定义下面几个函数的含义:
f*(n)=g*(n)+h*(n)
(1)
式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n的最短路径的耗散值;h*(n)表示从当前节点n到目标节点g的最短路径的耗散值,f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g的最短路径的耗散值。
评价函数的形式可定义如
(2)式所示:
f(n)=g(n)+h(n)
(2)
其中n是被评价的当前节点。
f(n)、g(n)和h(n)分别表示是对f*(n)、g*(n)和h*(n)3个函数值的估计值。
利用评价函数f(n)=g(n)+h(n)来排列OPEN表节点顺序的图搜索算法称为算法A。
在A算法中,如果对所有的x,
h(x)<=h*(x)(3)
成立,则称好h(x)为h*(x)的下界,它表示某种偏于保守的估计。
采用h*(x)的下界h(x)为启发函数的A算法,称为A*算法。
针对八数码问题启发函数设计如下:
f(n)=d(n)+p(n)(4)
其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n),意为n节点的深度,而h(n)设计为
把S放入OPEN表,记f=h
OPEN=NULL?
是
失败
扩展BESTNODE,产生其后继结点SUCCESSOR
选取OPEN表上未设置过的具有最小f值的节点
BESTNODE,放入CLOSED表
BESTNODE是目标节点
建立从SUCCESSOR返回BESTNODE的指针
计算g(SUC)=g(BES)+k(BES,SUC)
SUC∈OPEN
开始
g(SUC) SUC=OLD,把它添加到BESTNDOE的后继结点表中 重新确定OLD的父辈节点为BESTNODE,并修正父辈节点的g值和f值,记下g(OLD) 是 成功 SUC∈CLOSED 把SUCCESSOR放入OPEN表,添进BESTNODE的后裔表 计算f值 是 否 是 否 是 否 否 否 图2A*算法流程图 p(n),意为放错的数码与正确的位置距离之和。 由于实际情况中,一个将牌的移动都是单步进行的,没有交换拍等这样的操作。 所以要把所有的不在位的将牌,移动到各自的目标位置上,至少要移动从他们各自的位置到目标位置的距离和这么多次,所以最有路径的耗散值不会比该值小,因此该启发函数h(n)满足A*算法的条件。 3、A*算法流程图,如图2 4、A*算法总结 4.1,把起始状态添加到开启列表。 4.2,重复如下工作: a)寻找开启列表中f值最低的节点,我们称它为BESTNOE b)把它切换到关闭列表中。 c)对相邻的4个节点中的每一个 *如果它不在开启列表,也不在关闭列表,把它添加到开启列表中。 把BESTNODE作为这一节点的父节点。 记录这一节点的f和g值 *如果它已在开启或关闭列表中,用g值为参考检查新的路径是否更好。 更低的g值意味着更好的路径。 如果这样,就把这一节点的父节点改为BESTNODE,并且重新计算这一节点的f和g值,如果保持开启列表的f值排序,改变之后需要重新对开启列表排序。 d)停止 把目标节点添加到关闭列表,这时候路径被找到,或者没有找到路径,开启列表已经空了,这时候路径不存在。 4.3,保存路径。 从目标节点开始,沿着每一节点的父节点移动直到回到起始节点。 这就是求得的路径。 5、数据结构 采用结构体来保存八数码的状态、f和g的值以及该节点的父节点; structNode{ ints[3][3];//保存八数码状态,0代表空格 intf,g;//启发函数中的f和g值 structNode*next; structNode*previous;//保存其父节点 }; 6、实验结果,如图3所示 图3A*算法求解八数码问题实验结果 7、源代码 //----------------------------------------------------------------------------- //代码: 利用A*算法求解八数码问题。 //八数码问题的启发函数设计为: f(n)=d(n)+p(n),其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n),意为n节点的深度,而h(n)设计为p(n),意为放错的数码与正确的位置距离之和。 //后继结点的获取: 数码的移动等效为空格的移动。 首先判断空格上下左右的可移动性,其次移动空格获取后继结点。 //----------------------------------------------------------------------------- #include #include #include //八数码状态对应的节点结构体 structNode{ ints[3][3];//保存八数码状态,0代表空格 intf,g;//启发函数中的f和g值 structNode*next; structNode*previous;//保存其父节点 }; intopen_N=0;//记录Open列表中节点数目 //八数码初始状态 intinital_s[3][3]={ 2,8,3, 1,6,4, 7,0,5 }; //八数码目标状态 intfinal_s[3][3]={ 1,2,3, 8,0,4, 7,6,5 }; //------------------------------------------------------------------------ //添加节点函数入口,方法: 通过插入排序向指定表添加 //------------------------------------------------------------------------ voidAdd_Node(structNode*head,structNode*p) { structNode*q; if(head->next)//考虑链表为空 {q=head->next; if(p->f p->next=head->next; head->next=p; } else{ while(q->next)//考虑插入节点x,形如a<=x<=b { if((q->f p->next=q->next; q->next=p; break; } q=q->next; } if(q->next==NULL)//考虑插入的节点值比链表最后一个元素的值更大 q->next=p; } } elsehead->next=p; } //------------------------------------------------------------------------ //删除节点函数入口 //------------------------------------------------------------------------ voiddel_Node(structNode*head,structNode*p) { structNode*q; q=head; while(q->next) { if(q->next==p){ q->next=p->next; p->next=NULL; if(q->next==NULL)return; //free(p); } q=q->next; } } //------------------------------------------------------------------------ //判断两个数组是否相等函数入口 //------------------------------------------------------------------------ intequal(ints1[3][3],ints2[3][3]) { inti,j,flag=0; for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) if(s1[i][j]! =s2[i][j]){flag=1;break;} if(! flag) return1; elsereturn0; } //------------------------------------------------------------------------ //判断后继节点是否存在于Open或Closed表中函数入口 //------------------------------------------------------------------------ intexit_Node(structNode*head,ints[3][3],structNode*Old_Node) { structNode*q=head->next; intflag=0; while(q) if(equal(q->s,s)){ flag=1; Old_Node->next=q; return1;} elseq=q->next; if(! flag)return0; } //------------------------------------------------------------------------ //计算p(n)的函数入口 //其中p(n)为放错位的数码与其正确的位置之间距离之和 //具体方法: 放错位的数码与其正确的位置对应下标差的绝对值之和 //------------------
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