运筹学至6章习题参考解答资料.docx
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运筹学至6章习题参考解答资料
运筹学1至6章习题参考答案
第1章线性规划
1.1工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1-23所示.
表1-23
产品
资源
A
B
C
资源限量
材料(kg)
1.5
1.2
4
2500
设备(台时)
3
1.6
1.2
1400
利润(元/件)
10
14
12
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大.
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量,则数学模型为
1.2建筑公司需要用5m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架.两种窗架所需材料规格及数量如表1-24所示:
表1-24窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度(m)
数量(根)
长度(m)
数量(根)
A1:
2
2
B1:
2.5
2
A2:
1.5
3
B2:
2
3
需要量(套)
300
400
问怎样下料使得
(1)用料最少;
(2)余料最少.
【解】第一步:
求下料方案,见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
需要量
B1
2.5
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
800
B2
2
0
1
0
0
2
1
1
0
0
0
1200
A1
2
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
600
A2
1.5
0
0
0
1
0
0
2
0
2
3
900
余料(m)
0
0.5
0.5
1
1
1
0
1
0
0.5
第二步:
建立线性规划数学模型
设xj(j=1,2,…,10)为第j种方案使用原材料的根数,则
(1)用料最少数学模型为
(2)余料最少数学模型为
1.3某企业需要制定1~6月份产品A的生产与销售计划。
已知产品A每月底交货,市场需求没有限制,由于仓库容量有限,仓库最多库存产品A1000件,1月初仓库库存200件。
1~6月份产品A的单件成本与售价如表1-25所示。
表1-25
月份
123456
产品成本(元/件)
销售价格(元/件)
300330320360360300
350340350420410340
(1)1~6月份产品A各生产与销售多少总利润最大,建立数学模型;
(2)当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时,模型如何变化。
【解】设xj、yj(j=1,2,…,6)分别为1~6月份的生产量和销售量,则数学模型为
(1)
(2)目标函数不变,前6个约束右端常数800改为1000,第7~11个约束右端常数200改为0,第12个约束“≤200”改为“=-200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元(不计利息)可供投资:
方案一:
在三年内投资人应在每年年初投资,一年结算一次,年收益率是20%,下一年可继续将本息投入获利;
方案二:
在三年内投资人应在第一年年初投资,两年结算一次,收益率是50%,下一年可继续将本息投入获利,这种投资最多不超过2万元;
方案三:
在三年内投资人应在第二年年初投资,两年结算一次,收益率是60%,这种投资最多不超过1.5万元;
方案四:
在三年内投资人应在第三年年初投资,一年结算一次,年收益率是30%,这种投资最多不超过1万元.
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大,建立数学模型.
【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数,变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
第3年
x11
x21
x31
x12
x23
x34
数学模型为
最优解X=(30000,0,66000,0,109200,0);Z=84720
1.5炼油厂计划生产三种成品油,不同的成品油由半成品油混合而成,例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合,辛烷值不低于94,每桶利润5元,见表1-26。
表1-26
成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油
半成品油
中石脑油
重整汽油
裂化汽油
中石脑油
重整汽油
裂化汽油
轻油、裂化油、重油、残油
轻油、裂化油、重油、残油按10:
4:
3:
1调合而成
辛烷值
≥94
≥84
蒸汽压:
公斤/平方厘米
≤1
利润(元/桶)
5
4.2
3
1.5
半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1-27。
表1-27
半成品油
1中石脑油
2重整汽油
3裂化汽油
4轻油
5裂化油
6重油
7残油
辛烷值
80
115
105
蒸汽压:
公斤/平方厘米
1.0
1.5
0.6
0.05
每天供应数量(桶)
2000
1000
1500
1200
1000
1000
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大,建立数学模型。
解设xij为第i(i=1,2,3,4)种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量(桶)。
总利润:
高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
航空煤油蒸气压约束
一般煤油比例约束
即
半成品油供应量约束
整理后得到
1.6图解下列线性规划并指出解的形式:
(1)
【解】最优解X=(3,2);最优值Z=19
(2)
【解】有多重解。
最优解X
(1)=(0,5/4);X
(2)=(3,1/2)最优值Z=5
(3)
【解】最优解X=(4,1);最优值Z=-10,有唯一最优解
(4)
【解】最优解X=(2,3);最优值Z=26,有唯一最优解
(5)
【解】无界解。
(6)
【解】无可行解。
1.7将下列线性规划化为标准形式
(1)
【解】
(1)令为松驰变量,则标准形式为
(2)
【解】
(2)将绝对值化为两个不等式,则标准形式为
(3)
【解】方法1:
方法2:
令
则标准型为
(4)
【解】令,线性规划模型变为
标准型为
1.8设线性规划
取基分别指出对应的基变量和非基变量,求出基本解,并说明是不是可行基.
【解】B1:
x1、x3为基变量,x2、x4为非基变量,基本解为X=(15,0,10,0)T,B1是可行基。
B2:
x2、x4是基变量,x1、x3为非基变量,基本解X=(0,20,0,100)T,B2是可行基。
1.9分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划,指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点.
(1)
【解】图解法
单纯形法:
C(j)
1
3
0
0
b
Ratio
C(i)
Basis
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
[1]
1
0
2
2
0
X4
2
3
0
1
12
4
C(j)-Z(j)
1
3
0
0
0
3
X2
-2
1
1
0
2
M
0
X4
[8]
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)
7
0
-3
0
6
3
X2
0
1
0.25
0.25
7/2
1
X1
1
0
-0.375
0.125
3/4
C(j)-Z(j)
0
0
-0.375
-0.875
45/4
对应的顶点:
基可行解
可行域的顶点
X
(1)=(0,0,2,12)、
X
(2)=(0,2,0,6,)、
X(3)=(、
(0,0)
(0,2)
最优解
(2)
【解】图解法
单纯形法:
C(j)
-3
-5
0
0
0
b
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X3
0
1
2
1
0
0
6
3
X4
0
1
[4]
0
1
0
10
2.5
X5
0
1
1
0
0
1
4
4
C(j)-Z(j)
-3
-5
0
0
0
0
X3
0
[0.5]
0
1
-0.5
0
1
2
X2
-5
0.25
1
0
0.25
0
2.5
10
X5
0
0.75
0
0
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
-16
对应的顶点:
基可行解
可行域的顶点
X
(1)=(0,0,6,10,4)、
X
(2)=(0,2.5,1,0,1.5,)、
X(3)=(2,2,0,0,0)
X(4)=(2,2,0,0,0)
(0,0)
(0,2.5)
(2,2)
(2,2)
最优解:
X=(2,2,0,0,0);最优值Z=-16
该题是退化基本可行解,5个基本可行解对应4个极点。
1.10用单纯形法求解下列线性规划
(1)
【解】单纯形表:
C(j)
3
4
1
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
2
[3]
1
1
0
4
4/3
X5
0
1
2
2
0
1
3
3/2
C(j)-Z(j)
3
4
1
0
0
0
X2
4
[2/3]
1
1/3
1/3
0
4/3
2
X5
0
-1/3
0
4/3
-2/3
1
1/3
M
C(j)-Z(j)
1/3
0
-1/3
-4/3
0
-16/3
X1
3
1
3/2
1/2
1/2
0
2
X5
0
0
1/2
3/2
-1/2
1
1
C(j)-Z(j)
0
-1/2
-1/2
-3/2
0
-6
最优解:
X=(2,0,0,0,1);最优值Z=6
(2)
【解】单纯形表:
C(j)
2
1
-3
5
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X5
0
1
5
3
-7
1
0
0
30
M
X6
0
3
-1
[1]
1
0
1
0
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