曲线的参数方程.docx
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曲线的参数方程
曲线的参数方程
教学目标:
1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。
2.分析圆的儿何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。
3.会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点:
根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点:
根据儿何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程
1.参数方程的概念
1.探究:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以lOOm/s的速度作水平直线飞行,为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?
(1)平抛运动:
x=100/
宀(4討'为参数〉一、方程组有3个变量,其中的表示点的坐标,变量t叫做参变量,而且x,y分别是t的函数。
二由物理知识可知,物体的位置由时间t唯一决定,从数学角度看,这就是点M的坐标由t唯一确定,这样当t在允许值围连续变化时,x,y的值也随之连续地变化,于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
3.平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对(x,y)之间有一一对应关系。
练习:
斜抛运动:
x=v0cosat
'1卫为参数)
)■=v0
2.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
KO
并且对于t的每一个允许值,由方程组
(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上那么方程⑵就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
说明:
(1)一般来说,参数的变化围是有限制的。
(2)参数是联系变量x,y的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。
x=3/
例1.己知曲线C的参数方程是〈°(t为参数)
y=2/"+1
(1)判断点Mi(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;
(2)己知点M3(6,g)在曲线C上,求。
的值。
2、方程丁(°为参数)表示的曲线上的一个劇坐标是
[y=cos2&
C>(—,—)>D(1,O)
3、由方程疋+)&-4以-2°+5尸-4=0((为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是
A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线
2.圆的参数方程
如果在时亥片,点M转过的角度是3坐标是M(x,y),那么0=CDt,设|OM|=r,那么由三角函数的定义有:
cosdJt=-,sui =—即{(/为参数) rry=rsuidJt 这就是圆心在原点0,半径为厂的圆的参数方程。 其中参数有明确的物理意刃丿贡点作匀速圆周运动的时刻 fx=rcosdXzM仝妆、 <(/为参数) [y=rsm^X 考虑到e=g也可以取&为参数,于是有 广"粤(砒参数) y=厂sin& 这也是圆心在原点0,半径为厂的圆的参数方程其中参数血勺几何意义是0M。 绕点0逆时针旋转到OM的位置时,0M。 转过的角度。 圆的参数方程的一般形式 说明: (1)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。 (2)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值围。 3.参数方程和普通方程的互化 例1、已知圆方程x2+y2+2x・6y+9=0,将它化为参数方程。 解: x2+y2+2x-6v+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y・3)2=1, ・・・参数方程为F=-l+cos&(。 为参数) y=3+sin& 例2如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕o作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数方程。 解: 设点M的坐标是(忑)少厶0—3则点 明确参数方程和普通方程的互化的方法。 注意,在参数方程和普通方程的互化中,必须使x,y的取值围保持一致。 4.课堂练习 x=r+rcosO 3、®{v=£+rsin^(^参数,厂>0)的直径 2 是4,则圆心坐标是(2,1) 巩固与提高 1.与普通方程xy=l表示相同曲线的参数方程(t为参数)是(D) x=tanrD. y=cotr 2.下列哪个点在曲线X=SUl^(&为参数)上(C) y=cos2& A.(2,7)B.(g,扌)C,G,*)D・(1,0) 6.方程F+b—4n_2(y+5广-4=0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D) A.一个定点B.—个椭圆C.一条抛物线D.一条直线 7.直线为参数)与圆F4+2cose@%参数)相切,那么直线的倾斜角为(A) y=fsin0Iy=2sin卩 A.兰或迺B.仝或込C.巴或互D.-兰或-乂 66443366 8.曲线x=+r=2y的一个参数方程为! 28,(&为参数)。 Iy=1+sin 9.曲线;(/为参数)的普通方程为.V-_y==4o y=/-- / 10.己知F=2+c学(&为参数),则J(「5r+(〉,+4): 的最大值是幺y=sina 11.设飞机以匀速v=150nVs作水平飞行,若在飞行高度h=588m处投弹(设投弹的初速度等于飞 机的速度,且不计空气阻力)。 (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程; (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标。 (2)1643nio 12.火炮以a为发射角,%为初速度发射,求炮弹的轨迹方程。 x=v0cosat 解: {1.(/为参数)。 y=y.smat--gr 13.动点M从起点M0(l,2)出发作等速直线运动,它在x轴与y轴方向上的分速度分别为6和8,求点M的轨迹的参数方程。 w: ©为时间参数)。 [y=2+8/ 14.求直线f=1+'(f为参数)与圆x: +/=4的交点坐标。 y=1-f 解: 把直线的参数方程代入圆的方程,得(l+t)2+(l-t)2=4,得t=±l,分别代入直线方程,得交点为(0,2)和(2,0)o 圆的参数方程的应用 教学目标: 知识与技能: 利用圆的儿何性质求最值(数形结合) 过程与方法: 能选取适当的参数,求圆的参数方程教学重点: 会用圆的参数方程求最值。 教学难点: 选择圆的参数方程求最值问题. 教学过程: 一、最值问题 1.己知P(x,y)圆C: x+y2-6x-4y+12=0上的点。 2.圆x2+y2=l上的点到直线3x+4y-25二0的距离最小值是; 2.圆(x-l)2+(y+2): =4上的点到直线2x-y+l=0的最短距离是: 3.过点(2,1)的直线中,被圆x: +y: -2x+4y=0截得的弦: 为最长的直线方程是;为最短 的直线方程是; 4.若实数x,y满足x"+y: -2x+4y=0,则x~2y的最大值为; 二、参数法求轨迹 1)一动点在圆x2+y2=l上移动,求它与定点⑶0)连线的中点的轨迹方程 2)己知点A(2,0),P是x2+y2=l上任一点,ZAOP的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹. C.参数法 解题思想: 将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示 例题: 1)点P(m,n)在圆x2+y2=l上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程 2)方程x: +y2-2(m+3)x+2(l-4m: )y+lGm^O.若该方程表示一个圆,求m的取值I韦I和圆心的轨迹方程。 锥曲线的参数方程 教学目的: 知识与技能: 了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法: 能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点: 圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点: 选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型: 新授课 教学模式: 启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆亍+于=r参数方程J"=(&为参数) y=rsaiO Y—Y+ (2)圆(x-x0)2+(y\y0)2=r2参数方程为: 0.(&为参数) y=y0+广sin8 2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? 二、讲解新课: 1.椭圆的推导: 椭圆匚+矣=1参数方程[X=aCOS0(&为参数) crtr[y=bsiii0 3•抛物线的参数方程: 抛物线y2=2Px参数方程 x=2Pt2y=2P1 (t为参数) (3)根据己知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 4、关于参数方程中参数的选取 选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。 与运动有关的问题选取时间f做参数 与旋转的有关问题选取角&做参数 或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 二、典型例题: 例1.设炮弹发射角为a,发射速度为%, (1)求子弹弹道曲线的参数方程(不计空气阻力) (2)若K=100n? /5,a=-f当炮弹发出2秒时, 6 1求炮弹高度 2求出炮弹的射程 例2.求椭圆的参数方程(见教材P.40) 椭圆{+.=1参数方程? =fcosf(&为参数) crZr[y=bsmO 变式训练1.己知椭圆(。 为参数)y=2sin& 求 (1)0=-时对应的点P的坐标 6 (2)直线OP的倾斜角 变式训练2A点椭圆长轴一个端点,若椭圆上存在一点P,使ZOPA=90°,其中O为椭圆中心,求椭圆离心率£的取值围。 例3.把圆x2+y2-6x=0化为参数方程 (1)用圆上任一点过原点的弦和X轴正半轴夹角8为参数 (2)用圆中过原点的弦长f为参数 三、巩固与练习 四、小结: 本节课学习了以下容: 1.选择适当的参数表示曲线的方程的方法; 2.体会参数的意义 五、课后作业: 教材P34习题2.2 教学目的: 知识与技能: 利用圆锥曲线的参数方程來确定最值,解决有关点的轨迹问题过程与方法: 选择适当的参数方程求最值。 情感、态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点: 选择适当的参数方程求最值。 教学难点: 正确使用参数式來求解最值问题 授课类型: 新授课 教学模式: 讲练结合 教学过程: 一、复习引入: 通过参数0简明地表示曲线上任一点坐标将解析儿何中以计算问题化为三角问题,从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值,参数取值围等问题。 二、讲解新课: 例1.求椭圆的接矩形面积的最大值 变式训练1 JJ 椭圆^+t^=1(d>b>0)与x轴正向交于点A,若这个椭圆上存在点P,使0P丄AP,(0cr 为原点),求离心率£的围。 例2.AB为过椭圆务+話“中心的弦,「F,为焦点,求M眄面积的最大值。 例3.抛物线r=4x的接三角形的一个顶点在原点,其重心恰是抛物线的焦点,求接三角形的周长。 例4、过P(0,1)到双曲线X2-y2=1最小距离 变式训练2: 设P为等轴双曲线x2-y2=l±的一点,耳,厲为两个焦点,证明|7\P|-|F2P|=|OP|2
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- 关 键 词:
- 曲线 参数 方程