同济大学概率论期末复习题含答案.docx
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同济大学概率论期末复习题含答案
复习题
(1)--(A)
备用数据:
t0.995(8)
3.3554,
2
2.1797,
2
(8)17.5345,
0.025(8)
0.975
(1)0.8413,
(2)0.9772,(1.645)0.95.
一、填空题(18分)
1、(6分)已知
P(A)0.3,P(B)
0.4,P(AB)
0.32,则P(AB)_____
,
P(AB)
,P(A
B)
.
2、(6分)设一个袋中装有两个白球和三个黑球,现从袋中不放回地任取两个球,则取到
的两个球均为白球的概率为;第二次取到的球为白球的概率为;如
果已知第二次取到的是白球,则第一次取到的也是白球的概率为.
3、(6分)假设某物理量
X服从正态分布N(,
2),现用一个仪器测量这个物理量
9次,
由此算出其样本均值x
56.32,样本标准差s
0.22,则的置信水平0.99的双侧置信
区间为_____________,
的置信水平0.95的双侧置信区间为_______________.
二、(12分)设有四门火炮独立地同时向一目标各发射一枚炮弹,若有两发或两发以上的炮
弹命中目标时,目标被击毁.
(1)
如果每发炮弹命中目标的概率(即命中率)为
0.9,求目标被击毁的概率;
(2)
若四门火炮中有两门A型火炮和两门
B型火炮,A型火炮发射的炮弹的命中率
为0.9,B型火炮发射的炮弹的命中率为
0.8,求目标被击毁的概率.
三、(12分)设某保险公司开办了一个农业保险项目,共有一万农户参加了这项保险,
每户交保险费1060元,一旦农户因病虫害等因素受到损失可获1万元的赔付,假设各农户
是否受到损失相互独立.每个农户因病虫害等因素受到损失的概率为0.10.不计营销和管理
费用.(要求用中心极限定理解题)
(1)求该保险公司在这个险种上产生亏损的概率;
(2)求该保险公司在这个险种上的赢利不少于30万的概率.
四、(16分)设随机变量X的分布函数为
x2
2
F(x)
A
Be,x0.其中A,B为常数.
0,x
0
(1)
求常数A,B;
(2)
求X的概率密度函数;
(3)
求概率P(1X
2);(4)
求E(X),E(X2),D(X).
五、(16
分)若(X,Y)的联合密度函数为
1,yx且0x1
f(x,y)
0,其他
(1)
分别求X,Y边缘密度函数;
(2)
求E(X),E(Y),E(XY);
(3)
问:
X,Y是否相互独立?
X,Y是否相关?
为什么?
请说明理由.
(4)
求P(X
1,Y
1).
2
2
六、(12分)设X1,X2,L,X6是取自正态总体N(0,2)的简单随机样本,20,分别
求下列统计量服从的分布:
(1)T1
2(X12
X22)
X1
X2
X3
.
X32
X42
X52
X62
;
(2)T2
X52
X62
X42
七、(14分)设X1,X2,L,
Xn是取自总体X的样本,X的密度函数为
1e
x
f(x)
2,x
2
其中
未知.
0,x
(1)求的极大似然估计;
(2)问:
的极大似然估计是的无偏估计吗?
如果是,请给出证明;如果不是,请将其修正为的无偏估计.
参考答案:
一、1.
0.572
0.128
0.872
2.
0.1
0.4
0.25
3.
[56.0739,56.5660],
[0.1486,0.4215]
二、
(1)
0.9963
(2)0.9892
三、
(1)
1
(2)
(2)
(1)
x2
1
xe
2,
x
0
e2
四、
(1)A
1,B
1
(2)f(x)
(3)P(1X2)e2
0,
x
0
(4)E(X)
2
E(X2)
2,D(X)2
2
2
五、
(1)fX
2x,
0x1
fY
1|y|,
(x)
其余
(y)
0,
0,
(2)E(X)
2
0,E(XY)
0
E(Y)
3
(3)X
与不独立,因为
1
1
Y
f(,0)
fX()fY(0),
3
3
(4)P(|X|
0.5,|Y|
0.5)
0.25
0|y|1
其余
也不相关,因为E(XY)E(X)E(Y)
六、
(1)T1~F(2,4)
(2)T2~t(3)
七、
(1)
?
X
(1)
?
2
,所以不是无偏估计,
?
X
(1)
2
(2)E()
n
1
为无偏估计。
n
复习题
(1)(B)
备用数据:
t0.95(9)1.833,0.2
025(9)2.700,0.2
975(9)19.023,
(1)0.8413,
(2)0.9772,(1.645)0.95.F0.95(1,1)161.45.
一、填空题(18分)
1、(6分)掷一颗均匀的骰子两次,以x,y表示先后掷出的点数,记A(x,y):
xy10,
B(x,y):
xy则P(AB)_____,P(AB),
P(BA).
2、(6分)某公共汽车站从上午7:
00起每15分钟发一班车,如果小王是在7:
00到7:
30之间(等可能地)随机到达该汽车站的,则小王在车站的等候时间不超过5分钟的概率
为;小王在车站的平均等候时间为分钟,小王在车站的等候时间的标准
差为
分钟.
3、(6分)假设某物理量
X服从正态分布N(
2),现用一个仪器测量这个物理量
10次,
由此算出其样本均值
x
14.705,样本标准差
s
则的置信水平0.90的双侧置信
1.843
区间为_________________,
的置信水平0.95
的双侧置信区间为_______________.
二、(12分)某种电子元件在电源电压不超过200伏、200伏至240伏之间及超过240伏这
三种情况下使用时损坏的概率依次为0.1、0.001及0.2,设电源电压X~N(220,400).
(1)求此种电子元件在使用时损坏的概率;
(2)求此种电子元件在遭损坏时电源电压在200伏至240伏之间的概率.
三、(12分)每个正常男性成人血液中每毫升所含的白细胞数的数学期望为
7300,标准差为
700.现准备随机抽查
100个正常男性成人的血液,记第i个被抽查人的血液中每毫升所含的
白细胞数为X,
1
100
.求概率P7230X
7370的近似值.
1,2,,100.
记X
X
i
ii
100i1
(要求用中心极限定理解题)
四、(16
分)设随机变量X的密度函数为
3x2,1x
1
f(x)2
.
0,其他
记Y
X2
.
(1)求Y的概率密度函数;
(2)求E(X),E(Y),E(XY);
(3)问:
X,Y是否相互独立?
X,Y是否不相关?
请说明理由.
6
2
xy
且
五、(16分)若(X,Y)的联合密度函数为
(x
),0
x10y2
f(x,y)7
2
0,其他
(1)分别求X,Y边缘密度函数;
(2)求X,Y的协方差和相关系数;
(3)求P(X
1,Y
1).
2
2
六、(12分)
设X1,X2,X3,X4是取自正态总体N(0,
2)的简单随机样本,
2
0.
X1
X2
2
(1)
求统计量
服从的分布;
Y
X4
X3
(2)
求小于1
的常数C
使得P
(X1
X2)2
C0.05
.
(X1X2)2
(X3X4)2
七、(14分)设X1,X2,L,
Xn是取自总体X的样本,X的密度函数为
1
x
f(x;)
e其中未知,0.
2
(1)求的极大似然估计;
(2)问:
的极大似然估计是的无偏估计吗?
如果是,请给出证明;如果不是,请将其修正为的无偏估计.
参考答案:
一、
1.
8
1
2
1
15
18.75
;
9
9
3
2.
2
3
3.
[13.6367,15.7732],
[1.2677,3.364
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