两条直线的位置关系.docx
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两条直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在,设为k1、k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离d=.
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=.
【知识拓展】
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
2.两直线平行或重合的充要条件
直线l1:
A1x+B1y+C1=0与直线l2:
A2x+B2y+C2=0平行或重合的充要条件是A1B2-A2B1=0.
3.两直线垂直的充要条件
直线l1:
A1x+B1y+C1=0与直线l2:
A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.
4.过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件:
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × )
(3)已知直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( √ )
(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(6)若点A,B关于直线l:
y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( √ )
1.(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
答案 A
解析 直线x-2y-2=0可化为y=x-1,
所以过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程可设为y=x+b,
将点(1,0)代入得b=-.
所以所求直线方程为x-2y-1=0.
2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:
x-y+3=0的距离为1,则a等于( )
A.B.2-
C.-1D.+1
答案 C
解析 依题意得=1.
解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+.
3.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )
A.x+y-2=0B.x-y+2=0
C.x+y-3=0D.x-y+3=0
答案 D
解析 圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),
又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,
所以直线l的斜率k=1.
由点斜式得直线l:
y-3=x-0,化简得x-y+3=0.
4.(2017·朝阳调研)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3,若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( )
A.-10B.-2C.0D.8
答案 A
解析 ∵l1∥l2,∴kAB==-2,解得m=-8.
又∵l2⊥l3,∴(-)×(-2)=-1,
解得n=-2,∴m+n=-10.
5.(教材改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________.
答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1
(1)设不同直线l1:
2x-my-1=0,l2:
(m-1)x-y+1=0.则“m=2”是“l1∥l2”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 当m=2时,代入两直线方程中,
易知两直线平行,即充分性成立.
当l1∥l2时,显然m≠0,从而有=m-1,
解得m=2或m=-1,
但当m=-1时,两直线重合,不合要求,
故必要性成立,故选C.
(2)已知直线l1:
ax+2y+6=0和直线l2:
x+(a-1)y+a2-1=0.
①试判断l1与l2是否平行;
②当l1⊥l2时,求a的值.
解 ①方法一 当a=1时,l1:
x+2y+6=0,
l2:
x=0,l1不平行于l2;
当a=0时,l1:
y=-3,
l2:
x-y-1=0,l1不平行于l2;
当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:
y=-x-3,
l2:
y=x-(a+1),
l1∥l2⇔解得a=-1,
综上可知,a=-1时,l1∥l2.
方法二 由A1B2-A2B1=0,
得a(a-1)-1×2=0,
由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,
∴l1∥l2⇔
⇔⇒a=-1,
故当a=-1时,l1∥l2.
②方法一 当a=1时,l1:
x+2y+6=0,l2:
x=0,
l1与l2不垂直,故a=1不成立;
当a=0时,l1:
y=-3,l2:
x-y-1=0,l1不垂直于l2;
当a≠1且a≠0时,
l1:
y=-x-3,l2:
y=x-(a+1),
由(-)·=-1⇒a=.
方法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0⇒a=.
思维升华
(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
已知两直线l1:
x+ysinα-1=0和l2:
2x·sinα+y+1=0,求α的值,使得:
(1)l1∥l2;
(2)l1⊥l2.
解
(1)方法一 当sinα=0时,直线l1的斜率不存在,
l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.
当sinα≠0时,k1=-,k2=-2sinα.
要使l1∥l2,需-=-2sinα,即sinα=±.
所以α=kπ±,k∈Z,此时两直线的斜率相等.
故当α=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
方法二 由A1B2-A2B1=0,得2sin2α-1=0,
所以sinα=±,所以α=kπ±,k∈Z.
又B1C2-B2C1≠0,所以1+sinα≠0,即sinα≠-1.
故当α=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
(2)因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,
所以2sinα+sinα=0,即sinα=0,所以α=kπ,k∈Z.
故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
题型二 两条直线的交点与距离问题
例2
(1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l1:
x+y-4=0和l2:
x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________________.
(2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________________.
答案
(1)x+2y-7=0
(2)x+3y-5=0或x=-1
解析
(1)由得
∴l1与l2的交点坐标为(1,3).
设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,
则1+2×3+c=0,∴c=-7.
∴所求直线方程为x+2y-7=0.
(2)方法一 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意知=,
即|3k-1|=|-3k-3|,
∴k=-.
∴直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
方法二 当AB∥l时,有k=kAB=-,
直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4).
∴直线l的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
思维升华
(1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意:
①点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.
(1)如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l1:
x+2y-1=0,l2:
x+2y-3=0所截的线段的中点在直线l3:
x-y-1=0上,求其方程.
解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x+2y-2=0.
设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0,
即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1),
∴(1+λ)(-1)+(2-λ)·1-2-λ=0.
解得λ=-.∴所求直线方程为2x+7y-5=0.
(2)(2016·济南模拟)若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:
x-y-5=0,l2:
x-y-15=0上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )
A.B.5C.D.15
答案 B
解析 设P1P2的中点为P(x,y),则x=,y=.
∵x1-y1-5=0,x2-y2-15=0.
∴(x1+x2)-(y1+y2)=20,即x-y=10.
∴y=x-10,∴P(x,x-10),
∴P到原点的距离d=
=≥=5.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例3 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:
2x+y-8=0和l2:
x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.
答案 x+4y-4=0
解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
命题点2 点关于直线对称
例4 如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.3B.6C.2D.2
答案 C
解析 直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0).则光线经过的路程为|CD|==2.
命题点3 直线关于直
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