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截得的棱锥的体积与原棱锥的体
积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;
正棱锥侧面积:
(为底周长,为斜高)
体积:
(为底面积,为高)
正四面体:
对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。
对棱间的距离为(正方体的边长)
正四面体的高()
正四面体的体积为()
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为()
3、棱台的结构特征
3.1棱台的定义:
用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
3.2正棱台的结构特征
1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;
2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;
3)正棱台的对角面也是等腰梯形;
4)各侧棱的xx交于一点。
4、圆柱的结构特征
4.1圆柱的定义:
以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
4.2圆柱的性质
1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆;
2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
4.3圆柱的侧面展开图:
圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
4.4圆柱的面积和体积公式
S圆柱侧面二2n•r•h(r为底面半径,h为圆柱的高)
S圆柱全=2nrh+2nr2
V圆柱=S底h=nr2h
5、圆锥的结构特征
5.1圆锥的定义:
以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
5.2圆锥的结构特征
1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于
2)轴截面是等腰三角形;
3)母线的平方等于底面半径与高的xx:
l2=r2+h2
5.3圆锥的侧面展开图:
圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
6.1圆台的定义:
用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6.2圆台的结构特征
⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;
⑵圆台的截面是等腰梯形;
⑶圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。
6.3圆台的面积和体积公式
V圆台二1/3(nr2+
nR2+nrR)h(h为圆台的高)
7球的结构特征
7.1球的定义:
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转周形成的旋转体叫做球体。
空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体。
7-2球的结构特征
⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面;
⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:
r2=R2
d2
★7-3球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是:
⑴根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形;
⑵找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后做出剖面图;
⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题;
⑷注意圆与正方体的两个关系:
球内接正方体,球直径等于正方体对角线;
球外切正方体,球直径等于正方体的边长。
7-4球的面积和体积公式
S球面二4nR2(R为球半径)
V球二4/3nR3
三)空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积:
各个面面积之和
圆柱的表面积:
圆锥的表面积:
圆台的表面积:
球的表面积:
空间几何体的体积
柱体的体积:
锥体的体积:
台体的体积:
球体的体积:
四)空间几何体的三视图和直观图
★画三视图的原则:
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注:
球的三视图都是圆;
长方体的三视图都是矩形
直观图:
斜二测画法
斜二测画法的步骤:
1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2)平行于y轴的线XX变半,平行于X,z轴的线XX不变;
(3)画法要写好
用斜二测画法画出长方体的步骤:
(1)画轴
(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
、点、直线、平面之间的关系
(一)、立体几何网络图:
⑹
1、线线平行的判断:
(1)、平行于同一直线的两直线平行。
(3)、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个
平面相交,那么这条直线和交线平行。
(6)、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的
交线平行。
(12)、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断:
7)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂
直,那么它也和这条斜线垂直。
8)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那
么它和这条斜线的射影垂直。
10)、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直
线。
补充:
一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断:
2)、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条
直线和这个平面平行。
5)、两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个
平面。
判定定理:
性质定理:
★判断或证明线面平行的方法
利用定义(反证法):
,则//a(用于判断);
利用判定定理:
线线平行线面平行(用于证明);
利用平面的平行:
面面平行线面平行(用于证明);
利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2线面斜交和线面角:
na=A
2.1直线与平面所成的角(简称线面角):
若直线与平面斜交,则平
面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角0。
2.2线面角的范围:
0€[0°
90°
]
注意:
当直线在平面内或者直线平行于平面时,0=0°
当直线垂直于平面时,0=90°
4、线面垂直的判断:
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。
(11)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
圍一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
(16)如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂
直于另—个平面。
(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一
条直线。
即:
2)垂直于同一平面的两直线平行。
★判断或证明线面垂直的方法
⑴利用定义,用反证法证明。
⑵利用判定定理证明。
⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。
⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。
⑸如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该
直线垂直于另一平面。
★1.5三垂线定理及其逆定理
⑴斜线定理:
从平面外一点向这个平面所引的所有线段中,斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。
如图:
⑵三垂线定理及其逆定理
已知POLa,斜线PA在平面a内的射影为0Aa是平面
a内的一条直线。
三垂线定理:
若a丄0A则a丄PA即垂直射影则垂直斜线。
三垂线定理逆定理:
若a丄PA则a丄0A即垂直斜线则垂直
射影。
三垂线定理及其逆定理的主要应用证明异面直线垂直;
作出和证明二面角的平面角;
作点到线的垂线段。
5、面面平行的判断:
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。
(13)垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断:
(15)—个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
判定定理:
性质定理:
⑴若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为90°
图2-10面面垂直性质2
图2-11面面垂直性质3
(二)、其他定理:
(1)确定平面的条件:
①不公线的三点;
②直线和直线外一点;
③相交直线;
(2)直线与直线的位置关系:
相交;
平行;
异面;
直线与平面的位置关系:
在平面内;
相交(垂直是
它的特殊情况)
平面与平面的位置关系:
;
(3)等角定理:
如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么
这两个角相等;
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,
那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
(4)射影定理(斜线长、射影长定理):
从平面外一点向这个平面
所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等;
射影较长的斜线段也较长;
反之,斜线段相等的射影相等;
斜线段较长的射影也较长;
垂线XX任何一条斜线段都短。
5)最小角定理:
斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它
在平面内射影所成的角。
6)异面直线的判定:
1反证法;
2过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线。
7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂
直平面内。
8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两
个平面的交线。
三)、唯一性定理:
1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。
2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。
3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
四、空间角的求法:
(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形)
1)异面直线所成的角:
通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围:
(2)线面所成的角:
①线面平行或直线在平面内:
线面所成的角为;
②线面垂直:
3斜线与平面所成的角:
范围;
即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围
(3)二面角:
关键是找出二面角的平面角。
方法有:
①定义法;
②三垂线定理法;
③垂面法;
二面角的平面角的范围:
;
五、距离的求法:
1)点点、点线、点面距离:
点与点之间的距离就是两点之间
线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。
求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算。
求点到面的距离的方法:
1直接法:
直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上);
2转移法:
转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质);
③体积法:
利用三棱锥体积公式。
2)线线距离:
关于异面直线的距离,常用方法有:
①定义法,关键是确定出的公垂线段;
②转化为线面距离,即转化为与过而平行于的平面之间的距离,关键是找出或构造出这个平面;
③转化为面面距离;
3)线面、面面距离:
线面间距离面面间距离与线线间、点线
间距离常常相互转化;
六、常用的结论:
1)若直线在平面内的射影是直线,直线是平面内经过的斜足
的一条直线,与所成的角为,与所成的角为,与所成的角为,则这三个角之间的关系是;
2)如何确定点在平面的射影位置:
①I、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在
平面上的射影在这个角的平分线上;
H、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这
个角的两边夹角相等,那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上;
皿、如果平面外一点到平面上两点的距离相等,则这一点在平面
上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分线上。
②垂线法:
如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直,那
么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理);
③垂面法:
如果两平面互相垂直,那么一个平面内任一点在另一平
面上的射影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理);
④整体法:
确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜线这一整体
在平面内的射影。
3)在四面体中:
①若,贝y;
且在平面上的射影是的垂心。
②若,则在平面上的射影是的外心。
3若到边的距离相等,则在平面上的射影是的内心。
4)异面直线上两点间的距离公式:
若异面直线所成的角为,它们
公垂线段的长为,在上分别取一点,设,;
(如果为锐角,公式中取负号,如果为钝,公式中取正号)
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