特殊平行四边形710特殊的尖子班教师版.docx
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特殊平行四边形710特殊的尖子班教师版
第十讲特殊的平行四边形
【例1】考点突破——矩形
⑴已知矩形ABCD中,两条对角线的交点为O,若OA5,AB6,则BC.
⑵如图,矩形ABCD中,DF平分交AC于E,交BC于F,若,则.
⑶四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,能判定它是矩形的是()
A.,B.,
C.,D.
考点突破——菱形
⑷在菱形ABCD中,AB,则对角线AC等于()
A.20B.15C.10D.5
⑸菱形的一个内角为,周长为cm,则菱形的面积为.
⑹如图,四边形ABCD是菱形,△AEF是等边三角形,点E、F分别在边BC、CD上,且,则等于.
⑺下列给出的条件,能判定一个四边形为菱形的是()
A.有一组对边平行且相等,有一个角是直角
B.有一组对边平行,另一组对边相等,两条对角线互相垂直
C.两组对边分别相等,且有一组相邻的角相等
D.一组对边相等,一组相邻的边相等,一组对角相等
考点突破——正方形
⑻如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转,则这两个正方形重叠部分的面积是.
⑼如左下图,直线过正方形ABCD的顶点A,点B、D到直线的距离分别是3和4,则正方形的边长为.
⑽如右下图,以正方形ABCD的一边向正方形外作等边三角形ABE,BD与EC交于F,则等于()
A.B.C.D.
【解析】⑴矩形的对角线互相平分,OA=OC=5,∴AC=10,在Rt△ABC中,由勾股数得BC=8.
⑵∵∠ADC=90︒,DF平分∠ADC,∴∠CDF+∠BDF=60︒,∵OC=OD,∴∠DOC=60︒.
⑶D.考查矩形的判定:
对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
⑷D.菱形的对角线平分对角,要熟记由两个全等等边三角形组成的含有60︒和120︒的菱形.
⑸.提示:
作高构造含30︒、60︒、90︒特征直角三角形.(此题也可求两条对角线的长)
⑹设∠B=∠D=x︒,则∠BAE=∠DAF=180︒-2x︒,则x+2(180-2x)+60=180,得x=80.
⑺D.提示:
A、C的反例为矩形,B的反例为对角线垂直的等腰梯形,D的证明如下:
由题意知,三条边相等,一组对角相等.如图,不妨设AB=AD=BC,∠ABC=∠ADC,连结BD.
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,又∵∠ABC=∠ADC,
∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC,∴AB=AD=BC=DC.
⑻.提示:
点D'在对角线AC上,且△CED'是直角边长为的等腰直角三角形.阴影面积为S△ABC-S△CED'.
⑼5.提示:
Rt△ADM≌RtBAN,∴AM=BN=3,∴AD=5.
⑽A.在顶角为150︒的等腰△BCE中,底角∠BCE为15︒,∴∠DFC=∠CBD+∠BCE=60︒,利用对称性∠AFD=60︒.
【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P在AD上,于M,
于点N.若AB,则.
【解析】连结PO.∵AB6,BC8,
∴,∴
∵
又∵
∴
【例3】如图,矩形ABCD内有一点P.
求证:
⑴;⑵
【解析】⑴如图1,过点P作,交AB、CD于点E、F.
,
同理可证.
⑵方法一:
如图1,在Rt△AEP、Rt△BPE、Rt△CPF、Rt△FPD中
,,,
∵,
∴.
方法二:
如图2,过点P作且,连结。
由辅助线的作法,可知四边形是平行四边形
∴,∵
∴由铺垫的结论可得,即.
【点评】建议老师讲解第二种方法,方法二涉及了构造平行四边形.
【例4】如图,以△ABC的边AC、AB为一边,分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE,
正方形ACFG和正方形ABDE的中心分别为,点M为BC的中点.求证:
1,
【解析】连结BG、BE、CE、CG,CE交AB于点H.
在△CAE和△GAB中
∴△CAE≌△GAB
∴BG=CE,∠AEC=∠ABG
又∵∠AHE=∠MHB,∠AHE+∠AEC=90︒
∴∠MHB+∠ABG=90︒
∴∠HMB=90︒,即EC⊥BG
分别是△BCG和△BCE的中位线
∴
∴
∵
又∵EC^BG,∴
【例5】如图,以△ABC的边AB、AC、BC为一边,分别向三角形的外侧作正方形ABMN、正方
形ACHK、正方形BCFE,它们中心为.求证:
.
【解析】取AB中点D,连接.与交于点S.
∵,
∴,
同理,,由上题可知,,
∴,
∵
∴
∵
∴
∴,
∴
∵
∴
【点评】上面的例题一再体现一个模型“两条相等的线段互相垂直”.
【例6】如图,以△ABC的边AC、AB为一边,分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE,连结EG.求证:
.
【解析】思路一:
过B、E分别作AC、AG的垂线,只需证明△BAQ≌△EAK得BQEK从而得证.
证:
过B作BQ垂直AC的延长线于点Q,过点E作EK垂直AG于K.
∵,
∴
在△ABQ和△AEK中
∴△ABQ≌△AEK
∴BQ=EK
又∵S△ABC=AC⋅BQ,S△AEG=AG⋅EK
∴.
思路二:
将△AEG绕点A旋转,,点A是BN中点,从而得证.
证:
延长BA到N,使ABAN,连结CN.
显然
∵
∴
在△ACN和△AGE中
∴△ACN≌△AGE
∴
∴.
【例7】如图,以△ABC的边AB、AC、BC为一边,分别向三角形的外侧作正方形ABDE、正方形ACGF、正方形BCMN.
⑴以EF、DN、GM为边能否构成三角形?
为什么?
⑵若能,试探究以EF、DN、GM为边构成的三角形的面积与△ABC的面积关系.
【解析】⑴过点E作PE∥DN,过点N作PN∥DE,PE与PN交于点P,连结PM、PF.
∵PE∥DN,DE∥PN
∴DE=PN,PE=DN
∵AB∥DE,PN∥DE
∴AB∥PN
∵BC∥MN
∴∠ABC=∠PNM
∵AB=DE=PN,BC=NM
∴△ABC≌△PNM
∴AC=PM=FG,∠ACB=∠PMN
∴AC∥FG∥PM
∴四边形FGMP是平行四边形
∴MG=PF
∴△PEF就是以EF、DN、GM的长为边的三角形.
⑵连结AP.
AE∥BD,PE∥ND
∴
∵AEBD,PEND
∴△AEP≌△BDN
∴,同理
利用上题结论,
S△ABC=S△AEF=S△CGM=S△BDN,
∴S△PEF=3S△ABC。
【例8】已知△ABC,,以为边向三角形外作正方形ABDE和ACFG,延长BA交EG于H,则BC2AH
【解析】方法一:
延长EA到K,使AKAE,即AKAB.
又∵AGAC,
∴
有△AGK≌△ACB,,GKBC
又∵,AKAE
∴,AH∥GK,GK2AH
故BC2AH.
方法二:
由G作,垂足为K.
在Rt△GKA和Rt△ABC中
∴,有Rt△GKARt△ABC
∴AKBC,GKABAE
显然Rt△GKH≌Rt△EAH
∴AHKH,AK2AH,故BC=2AH.
方法三:
在BC上截取CK=AH,连结AK.
∵
∴
又∵ACGA,∴,△KCA≌△HAG,
在Rt△ABK和Rt△EAH中
∵ABEA
∴
∴Rt△ABK≌Rt△EAH,有BKAH
∴BC=2AH
1.⑴如图所示,矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于点O,过点O作AC的垂线EF,
分别交AD、BC于E、F,连结CE,则△CDE的周长为()
5cmB.8cmC.9cmD.10cm
⑵如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,AE平分∠BAD交BC于E,则∠BOE.
【解析】⑴选D.
⑵由AE平分∠BAD可知,,又,故,从而ABBEOB,故.
2.如图,两段宽度一样的直尺重合在一起,则重叠部分的四边形ABCD是.
【解析】首先四边形ABCD肯定是平行四边形,由于宽度一样即可证明一组邻边相等,则四边形ABCD是菱形.
3.如图,四边形ABCD为矩形,H、F分别为AD、BC边的中点,四边形EFGH为矩形,E、G分别在AB、CD边上,则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为.
【解析】1∶1.提示:
连结HF,过点E、G引HF的垂线段,把长方形ABCD分成四个矩形,然后再利用对角线平分矩形的面积即可得答案.
4.如图,P为正方形ABCD对角线上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F.求证:
APEF.
【解析】连接PC
∵ABCD为正方形
∴A、C关于BD对称
∴PAPC
∵PE⊥BC,PF⊥CD,BC⊥CD
∴四边形PECF为矩形
∴PCEF
∴PAEF.
5.如图,以△ABC的边AC、AB为一边,分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE,
再以EA、AG为边向外作平行四边形AEHG,并使AD、BE交于点O,求证:
CO⊥OH,
COOH.
【解析】∵四边形ACFG是正方形
∴ACAG,EOAO,∠EOA
∴∠OEA∠OAE
∵四边形AEHG是平行四边形
∴AGEH,∠HEA∠EAG
∴ACAGEH
又∵∠EAG∠BAC
∴∠HEA∠BAC
∴∠HEO∠HEA∠AEO∠BAC∠EAO
∠CAO
在△HEO和△CAO中
∴△HEO≌△CAO
∴HO=CO,∠EOH=∠AOC
又∵∠EOA=∠EOH+∠HOA=∠COA+∠AOH=∠COH=90︒
∴CO⊥HO.
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