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2.已知下列句子:
①延长线段AB到C;
②垂线段最短;
③过点A画直线EF;
④将4开平方.其中是命题的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式,正确的是()
A.如果同角,那么相等;
B.如果同角,那么补角相等;
C.如果同角的补角,那么相等;
D.如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等.
4.指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式.
(1)两直线平行,内错角相等;
(2)全等三角形的面积相等.
5.正确的命题称为______命题,不正确的命题称为_______命题.
命题“如果ab=0,那么a=0”是________命题;
命题“如果a=0,那么ab=0”是________命题.
6.下列说法正确的是()
A.定理不一定是真命题;
B.真命题不一定正确
C.假命题不一定错误;
D.公理一定是真命题
7.
(1)命题“若a>
3,则
=a-3”是真命题还是假命题?
请说明理由.
(2)命题“如果ab>
0,则a>
0且b>
0”是真命题还是假命题?
8.命题“在一个三角形中,等边对等角”的条件是:
____________,结论是:
_______________,它是______命题.
9.如图,△ABC中,∠B=∠C,AD∥BC,则AD平分△ABC的外角∠EAC.用推理的方法说明它是一个真命题.
◆综合提高
10.指出下列命题的题设和结论,并把它改写成“如果……那么……”的形式.
(1)三角形两边之和大于第三边;
(2)三角形的内角和等于180°
.
11.观察下列给出的方程,找出它们的共同特征,试给出名称,并作出定义.
x3+x2-3x+4=0,x3+x-1=0,x3-2x2+3=x,y3+2y2-5y-1=0.
12.已知下列命题:
①有一个内角是60°
的三角形是等边三角形;
②有一个内有是60°
的等腰三角形是等边三角形;
③有两个内角是60°
④三个内角相等的三角形是等边三角形.其中真命题有()
13.下列命题中,哪些是真命题?
哪些是假命题?
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角.
(2)关于x的方程ax2-x=0(a≠0)必有两个不相同的实数解.
14.下列关于代数式x2-4x+8的三个命题:
①该代数式的值必定大于8;
②该代数式的值必定大于4;
③该代数式的值必定大于2.其中是真命题的有_______.(填序号)
知识点二:
证明
要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、公理、定理,一步一步推得结论成立,这样的推理过程就叫做证明
注:
证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由可以写在每一步后的括号内
证明命题的一般步骤:
(1)根据题意,画出图形;
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论;
(3)在“证明”中写出推理过程.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
检查表达过程是否正确、完善.
证明几何命题时,表述要按照一定的格式,一般为:
(1)按题意画出图形;
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论
(3)在“证明”中写出推理过程.
注意:
1.要严格按规定的格式书写;
2.如果给出的几何命题已包括了相应的图形.已知及求证,则可在表述时直接写出证明的推理过程.
数学证明题的基本思路:
由“因”导“果”,执“果”索“因”
关于辅助线:
1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.(辅助线通常画成虚线)
2.它的作用是把分散的条件集中,把隐含的条件显现出来,起到牵线搭桥的作用.
3.添加辅助线,可构造新图形,形成新关系,找到联系已知与未知的桥梁,把问题转化,但辅助线的添法没有一4.定的规律,要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
针对练习
1.下列说法正确的是()
A.有公共顶点,且相等的两个角是对顶角;
B.一条直线只有一条垂线;
C.垂线段最短;
D.一条直线的垂直平分线只有一条
2.如图1,在下列给出的条件中,不能判定AB∥DF的是()
A.∠A+∠2=180°
B.∠A=∠3C.∠1=∠4D.∠1=∠3
3.直角三角形斜边上的高与中线长分别为4cm,5cm,则这个直角三角形的面积为________.
4.如图,△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,且AD=DB=BC,则∠A=_______.
5.在△ABC中,D是BC边上一点,DE垂直平分AC,△ABD的周长是9cm,AC=3cm,则△ABC的周长是_________.
6.若三角形两边的长分别为7cm,2cm,第三边长为奇数,则第三边的长为()
A.3cmB.9cmC.7cmD.不能确定
7.已知△ABC的三个内角度数比为2:
3:
4,则这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°
,那么这个等腰三角形的顶角为______.
9.如图,在△ABC中,∠ABC=70°
,∠A=50°
,AB的垂直平分线交AC于D,则∠DBC=_________.
综合应用
10.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在AB上,DE和CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线,求∠DEC的度数.
11.证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”.
12.“有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题?
试说明理由.
13.如图,已知△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P,∠A=50°
.求∠BPC的度数.
14.如图,已知在△ABC中,O为∠B和∠C平分线的交点,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,若BC=10cm,求△OEF的周长.
15.如图,已知等腰△ABC,BD和CE分别是∠B和∠C的平分线,求证:
BD=CE.
16.如图,已知△ABC中,AB=AC,延长BA至点D,点E在边AC上,AD=AE,延长DE交BC于点F,求证:
DF⊥BC.
17.如图,以△ABC的边AB和AC向外作等边三角形△ABD和等边三角形△ACE,连结CD和BE.试问:
CD与BE所夹的锐角等于多少度?
请证明你的结论.
18.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE的内部A1时,请你探究∠A1,∠1,∠2之间的关系.
知识点三:
反例与证明
归纳:
判断命题的真假;
运用反例证明假命题;
反例必须具备命题的条件,却不具备命题的结论,从而说明命题是错误的;
说明一个命题是假命题,通常只用找出反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子.
1.以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”为假命题的反例是()
A.3B.4C.5D.6
2.一个三角形中的内角小于90°
的角至少有()
A.1个B.2个C.3个D.0个
3.能说明命题“如果两个角互补,那么这两个角一定是锐角,另一个是钝角”为假命题的两个角是()
A.120°
,60°
B.95.1°
,104.9°
C.30°
D.90°
,90°
4.用反例来证明下列命题是假命题.
(1)若xy=0,则x,y同时为零.
(2)两个负数的差一定是负数.
(3)两个锐角的和一定大于直角.(4)任何有理数都有倒数.
5.可以用来证明命题“两个无理数的和仍是无理数”为假命题的反例是________.
6.请用反证证明下列命题是假命题.
(1)任何两个实数的平方和大于零.
(2)A,B,C是同一直线上的三点,则AB+BC=AC.
7.判断下列命题的真假,并给出证明.
(1)正比例函数的函数值随着自变量的增大而增大.
(2)有一个角为60°
的等腰三角形是等边三角形.
(3)一个角的补角大于这个角.
(4)若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等.
(5)如果n是整数,那么n2+3n+2是偶数.
8.判断命题“若∠1=∠2是同位角,∠2与∠3也是同位角,那么∠1与∠3是同位角”的真假,画出图形,并给出证明.
9.判断命题“a,b,c是三条线段,若a+b>
c,则a,b,c必能组成三角形”的真假,并给出证明.
10.已知x和y是实数,举例说明下列说法是错误的.
(1)│x+y│=│x│+│y│;
(2)若x≤y,则x2≤y2.
11.命题“有两边相等的两个直角三角形全等”是真命题还是假命题?
请给出证明.
12.当n是正整数时,n(n+1)+1一定是()
A.奇数B.偶数C.素数D.合数
13.用反例证明“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题.
14.甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍,忽听“砰”的一声,讲台上的花盆被打破了.甲说:
“是乙不小心闯的祸.”乙说“是丙闯的祸.”丙说:
“乙说的不是实话.”丁说:
“反正不是我闯的祸”.如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话,那么这个小朋友是谁?
谁闯了祸?
知识点四:
反证法
在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。
这种证明方法叫做反证法。
反证法的步骤:
提出假设;
推理论证;
得出矛盾;
结论成立
常用互为否定的表用方式:
是——不是存在——不存在平行——不平行
垂直——不垂直等于——不等于都是——不都是大于——不大于
小于——不小于至少有一个——一个也没有至少有三个——至多有两个
至少有三个——至多有两个至多有一个---至少有两个至少有一个---一个也没有
宜用反证法证明的题型:
(1)以否定性判断作为结论的命题;
(2)某些定理的逆命题;
(3)以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题;
(4)关于“唯一性”结论的命题;
(5)解决整除性问题;
(6)一些不等量命题的证明;
(7)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段;
(8)涉及各种“无限”结论的命题等等。
用反证法证题时,应注意的事项:
(1)周密考察原命题结论的否定事项,防止否定不当或有所遗漏;
(2)推理过程必须完整,否则不能说明命题的真伪性;
(3)在推理过程中,要充分使用已知条件,否则推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是错误的。
针对练习:
1.“a<
b”的反面应是()
A.a≠bB.a>
bC.a=bD.a=b或a>
b
2.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设()
A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于cC.a⊥bD.a与b相交
3.用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等”时,应假设___________.
4.用反证法证明“若│a│<
2,则a<
4”时,应假设__________.
5.请说出下列结论的反面:
(1)d是正数
(2)a≥0(3)a<
5
6.如下左图,直线AB,CD相交,求证:
AB,CD只有一个交点.
证明:
假设AB,CD相交于两个交点O与O′,那么过O,O′两点就有_____条直线,这与“过两点_______”矛盾,所以假设不成立,则________.
7.完成下列证明.
如上右图,在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角.
证明:
假设结论不成立,则∠B是______或______.
当∠B是____时,则_________,这与________矛盾;
当∠B是____时,则_________,这与________矛盾.
综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
8.如图,已知AB∥CD,求证:
∠B+∠D+∠E=360°
9.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°
”,应先假设这个三角形中()
A.有一个内角小于60°
B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
10.若用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°
”时,应假设_______________.
11.用反证法证明:
两直线平行,同旁内角互补.
12.用反证法证明:
是一个无理数.(说明:
任何一个有理数均可表示成
的形式,且a,b互质)
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