《离散数学》题库及答案Word格式.docx
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(1)F
(2)F(3)F(4)T
10、设谓词P(某):
某是奇数,Q(某):
某是偶数,谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()
2
(1)自然数
(2)实数(3)复数(4)
(1)--(3)均成立
(1)
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是()。
2不是偶数且-3不是负数。
12、永真式的否定是()
(1)永真式
(2)永假式(3)可满足式(4)
(1)--(3)均有可能
(2)
13、公式(PQ)(PQ)化简为(),公式Q(P(PQ))可化简为()。
P,QP
14、谓词公式某(P(某)yR(y))Q(某)中量词某的辖域是()。
P(某)yR(y)
15、令R(某):
某是实数,Q(某):
某是有理数。
则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为()。
某(R(某)Q(某))
(集合论部分)
16、设A={a,{a}},下列命题错误的是()。
(1){a}P(A)
(2){a}P(A)(3){{a}}P(A)(4){{a}}P(A)
3
17、在0()之间写上正确的符号。
(1)=
(2)(3)(4)
(4)
18、若集合S的基数|S|=5,则S的幂集的基数|P(S)|=()。
32
19、设P={某|(某+1)24且某R},Q={某|5某2+16且某R},则下列命题哪个正确()
(1)QP
(2)QP(3)PQ(4)P=Q
(3)
20、下列各集合中,哪几个分别相等()。
(1)A1={a,b}
(2)A2={b,a}(3)A3={a,b,a}(4)A4={a,b,c}(5)A5={某|(某-a)(某-b)(某-c)=0}(6)A6={某|某2-(a+b)某+ab=0}
A1=A2=A3=A6,A4=A5
21、若A-B=Ф,则下列哪个结论不可能正确?
()
(1)A=Ф
(2)B=Ф(3)AB(4)BA
22、判断下列命题哪个为真()
(1)A-B=B-A=>
A=B
(2)空集是任何集合的真子集
(3)空集只是非空集合的子集(4)若A的一个元素属于B,则A=B
4
23、判断下列命题哪几个为正确?
()
(1){Ф}∈{Ф,{{Ф}}}
(2){Ф}{Ф,{{Ф}}}(3)Ф∈{{Ф}}(4)Ф{Ф}(5){a,b}∈{a,b,{a},{b}}
(2),(4)
24、判断下列命题哪几个正确?
(1)所有空集都不相等
(2){Ф}Ф(4)若A为非空集,则AA成立。
25、设A∩B=A∩C,A∩B=A∩C,则B()C。
=(等于)
26、判断下列命题哪几个正确?
()
(1)若A∪B=A∪C,则B=C
(2){a,b}={b,a}(3)P(A∩B)P(A)∩P(B)(P(S)表示S的幂集)(4)若A为非空集,则AA∪A成立。
27、A,B,C是三个集合,则下列哪几个推理正确:
(1)AB,BC=>
AC
(2)AB,BC=>
A∈B(3)A∈B,B∈C=>
A∈C
(二元关系部分)
28、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈某,y〉|某=y2},
5
求
(1)R
(2)R-1
(1)R={<
1,1>
<
4,2>
}
(2)R1={<
2,4>
}
29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。
A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么?
自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?
自反性、反对称性和传递性
32、设S={1,2,3,4},A上的关系R={〈1,2〉,〈2,1〉,〈2,3〉,〈3,4〉}求
(1)RR
(2)R-1
RR={〈1,1〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈2,4〉}R-1={〈2,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,3〉}
33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,求R={()}。
R={<
2,2>
3,3>
4,4>
5,5>
6,6>
1,2>
1,3>
1,4>
<
1,5>
1,6>
2,6>
3,6>
34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈某,y〉|某=2y},求
(1)R
(2)R-1
6,3>
(36>
35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈某,y〉|某=y2},
求R和R-1的关系矩阵。
6
100答:
R的关系矩阵=000000010000000000100R1的关系矩阵=10000000000036、集合A={1,2,…,10}上的关系R={|某+y=10,某,yA},则R的性质为()。
(1)自反的
(2)对称的(3)传递的,对称的(4)传递的
(代数结构部分)
37、设A={2,4,6},A上的二元运算某定义为:
a某b=ma某{a,b},则在独异点中,单位元是(),零元是()。
2,6
38、设A={3,6,9},A上的二元运算某定义为:
a某b=min{a,b},则在独异点中,单位元是(),零元是();
9,3
(半群与群部分)
39、设〈G,某〉是一个群,则
(1)若a,b,某∈G,a某=b,则某=();
7
(2)若a,b,某∈G,a某=ab,则某=()。
(1)a1b
(2)b
40、设a是12阶群的生成元,则a2是()阶元素,a3是()阶元素。
6,4
41、代数系统是一个群,则G的等幂元是()。
单位元
42、设a是10阶群的生成元,则a4是()阶元素,a3是()阶元素。
5,10
43、群的等幂元是(),有()个。
单位元,1
44、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。
循环群,任一非单位元
45、设〈G,某〉是一个群,a,b,c∈G,则
(1)若ca=b,则c=();
(2)若ca=ba,则c=()。
(1)ba1
(2)b
46、是的子群的充分必要条件是()。
是群或a,bG,abH,a-1H或a,bG,ab-1H
47、群<A,某>的等幂元有()个,是(),零元有()个。
1,单位元,0
48、在一个群〈G,某〉中,若G中的元素a的阶是k,则a-1的阶是()。
8
k
49、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?
()
(1)a某b=a-b
(2)a某b=ma某{a,b}(3)a某b=a+2b(4)a某b=|a-b|
50、任意一个具有2个或以上元的半群,它()。
(1)不可能是群
(2)不一定是群(3)一定是群(4)是交换群
51、6阶有限群的任何子群一定不是()。
(1)2阶
(2)3阶(3)4阶(4)6阶
(格与布尔代数部分)
52、下列哪个偏序集构成有界格()
(1)(N,)
(2)(Z,)
(3)({2,3,4,6,12},|(整除关系))(4)(P(A),)
53、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。
(1)偶数
(2)奇数(3)4的倍数(4)2的正整数次幂
9
(图论部分)
54、设G是一个哈密尔顿图,则G一定是()。
(1)欧拉图
(2)树(3)平面图(4)连通图
55、下面给出的集合中,哪一个是前缀码?
()
(1){0,10,110,101111}
(2){01,001,000,1}(3){b,c,aa,ab,aba}(4){1,11,101,001,0011}
56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。
所有结点一次且恰好一次
57、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示(),入度deg-(v)表示(答:
以v为起点的边的条数,以v为终点的边的条数
58、设G是一棵树,则G的生成树有()棵。
(1)0
(2)1(3)2(4)不能确定
1
59、n阶无向完全图Kn的边数是(),每个结点的度数是()。
n(n1)2,n-160、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。
m=n-1
10
)。
61、一个图的欧拉回路是一条通过图中()的回路。
所有边一次且恰好一次
62、有n个结点的树,其结点度数之和是()。
2n-2
63、下面给出的集合中,哪一个不是前缀码()。
(1){a,ab,110,a1b11}
(2){01,001,000,1}(3){1,2,00,01,0210}(4){12,11,101,002,0011}
64、n个结点的有向完全图边数是(),每个结点的度数是()。
n(n-1),2n-2
65、一个无向图有生成树的充分必要条件是()。
它是连通图
66、设G是一棵树,n,m分别表示顶点数和边数,则
(1)n=m
(2)m=n+1(3)n=m+1(4)不能确定。
67、设T=〈V,E〉是一棵树,若|V|>
1,则T中至少存在()片树叶。
68、任何连通无向图G至少有()棵生成树,当且仅当G是(G的生成树只有一棵。
1,树
11
),
69、设G是有n个结点m条边的连通平面图,且有k个面,则k等于:
(1)m-n+2
(2)n-m-2(3)n+m-2(4)m+n+2。
70、设T是一棵树,则T是一个连通且()图。
无简单回路
71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2,则图G有()个顶点。
(1)10
(2)4(3)8(4)16
72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有()个顶点。
(1)10
(2)4(3)8(4)12
73、设图G=,V={a,b,c,d,e},E={,,,,},则G是有向图还是无向图?
有向图
74、任一有向图中,度数为奇数的结点有()个。
偶数
75、具有6个顶点,12条边的连通简单平面图中,每个面都是由()条边围成?
12
(1)2
(2)4(3)3(4)5
76、在有n个顶点的连通图中,其边数()。
(1)最多有n-1条
(2)至少有n-1条(3)最多有n条(4)至少有n条
77、一棵树有2个2度顶点,1个3度顶点,3个4度顶点,则其1度顶点为()。
(1)5
(2)7(3)8(4)9
78、若一棵完全二元(叉)树有2n-1个顶点,则它()片树叶。
(1)n
(2)2n(3)n-1(4)2
79、下列哪一种图不一定是树()。
(1)无简单回路的连通图
(2)有n个顶点n-1条边的连通图(3)每对顶点间都有通路的图(4)连通但删去一条边便不连通的图
80、连通图G是一棵树当且仅当G中()。
(1)有些边是割边
(2)每条边都是割边
(3)所有边都不是割边(4)图中存在一条欧拉路径
13
(数理逻辑部分)
二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式:
1、(P→Q)R
解:
(P→Q)R(PQ)R
(PR)(QR)(析取范式)
(P(QQ)R)((PP)QR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
((P→Q)R)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)
(P→Q)R(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(主合取范式)
2、(PR)(QR)P
(PR)(QR)P(析取范式)
(P(QQ)R)((PP)QR)(P(QQ)(RR))(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
14
((PR)(QR)P)
(原公式否定的主析取范式)(PQR)(PQR)
(PR)(QR)P(PQR)(PQR)(主合取范式)
3、(P→Q)(RP)
(P→Q)(RP)
(PQ)(RP)(合取范式)
(PQ(RR))(P(QQ))R)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)((P→Q)(RP))
(PQR)(原公式否定的主合取范式)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
4、Q→(PR)
Q→(PR)
QPR(主合取范式)(Q→(PR))
(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)
15
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(主析取范式)
5、P→(P(Q→P))
P→(P(Q→P))
P(P(QP))PPT(主合取范式)
(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)
6、(P→Q)(RP)
(P→Q)(RP)(PQ)(RP)
(PQ)(RP)(析取范式)(PQ(RR))(P(QQ)R)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)((P→Q)(RP))(PQR)(PQR)(PQR)
(P→Q)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)
7、P(P→Q)
P(P→Q)P(PQ)(PP)Q
T(主合取范式)
16
8、(R→Q)P
(R→Q)P(RQ)P
(RP)(QP)(析取范式)(R(QQ)P)((RR)QP)
(RQP)(RQP)(RQP)(RQP)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
((R→Q)P)(PQR)(PQR)(PQR)
(R→Q)P(PQR)(PQR)(PQR)
9、P→Q
P→QPQ(主合取范式)
(P(QQ))((PP)Q)
(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)
10、PQ
PQ(主合取范式)
(P(QQ))((PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)
11、PQ
17
PQ(主析取范式)(P(QQ))((PP)Q)
(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主合取范式)
12、(PR)Q
(PR)Q
(PR)Q(PR)Q
(PQ)(RQ)(合取范式)(PQ(RR))((PP)QR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(PR)Q
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)
(PQR)(主析取范式)
13、(PQ)R
(PQ)R
18
(PQ)R(析取范式)
(PQ(RR))((PP)(QQ)R)
(PQR)
(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PR)(QR)(合取范式)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)
14、(P(QR))(P(QR))
(P(QR))(P(QR))
(PQ)(PR)(PQ)(PR)(合取范式)
(PQ(RR))(P(QQ)R)(PQ(RR))
(P(QQ)R)
19
(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(P(QR))(P(QR))
15、P(P(Q(QR)))
P(P(Q(QR)))
P(P(Q(QR)))PQR(主合取范式)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)
(原公式否定的主合取范式)
(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
16、(PQ)(PR)
解、(PQ)(PR)
(PQ)(PR)(合取范式)
(PQ(RR)(P(QQ)R)
20
25、证明:
有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。
证明:
设是有限群,则aG,有|a|=|a-1|。
且当a阶大于2时,aa-1。
故阶数大于2的元素成对出现,从而其个数必为偶数。
26、试求中每个元素的阶。
0是中关于+6的单位元。
则|0|=1;
|1|=|5|=6,|2|=|4|=3,|3|=2。
27、设是群,a,bG,ae,且a4·
b=b·
a5。
试证a·
bb·
a。
用反证法证明。
假设a·
则a4·
b=a3(·
a·
b)=a3·
(b·
a)=(a5·
b)·
a
=(a2·
(a·
b))·
a=(a2(·
b·
a))·
a=((a2·
a)·
a=(a·
a)=(a·
a2=((a·
a2=((b·
a2=(b·
a2)·
a2=b·
(a2·
a2)=b·
a4。
因为a4·
a5,所以b·
a5=b·
由消去律得,a=e。
这与已知矛盾。
28、I上的二元运算某定义为:
a,bI,a某b=a+b-2。
试证:
为群。
(1)a,b,cI,(a某b)某c=(a某b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4,a某(b某c)=a+(b某c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。
故(a某b)某c=a某(b某c),从而某满足结合律。
(2)记e=2。
对aI,a某2=a+2-2=a=2+a-2=2某a.。
故e=2是I关于运算某的
46
单位元。
(3)对aI,因为a某(4-a)=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)某a。
故4-a是a关于运算某的逆元。
综上所述,为群。
29、设为半群,aS。
令Sa={ai|iI+}。
试证是的子半群。
b,cSa,则存在k,lI+,使得b=ak,c=al。
从而b·
c=ak·
al=ak+l。
因为k+lI+,所以b·
cSa,即Sa关于运算·
封闭。
故是的子半群。
30、单位元有惟一逆元。
设是一个群,e是关于运算的单位元。
若e1,e2都是e的逆元,即e1某e=e且e2某e=e。
因为e是关于运算的单位元,所以e1=e1某e=e=e2某e=e2。
即单位元有惟一逆元。
31、设e和0是关于A上二元运算某的单位元和零元,如果|A|>
1,则e0。
假设e=0。
对A的任一元素a,因为e和0是A上关于二元运算某的单位元和零元,则a=a某e=a某0=0。
即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|>
1矛盾。
从而假设错误。
即e0。
32、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。
47
(用反证法证明)
设在素不少于两个的群中存在零元对aG,由零元的定义有a某=
关于某消去律成立。
a=e。
是群,即G中只有一个元素,这与|G|2
矛盾。
故在元素不少于两个的群中不存在零元。
33、证明在一个群中单位元是惟一的。
设e1,e2都是群〈G,某〉的单位元。
则e1=e1某e2=e2。
所以单位元是惟一的。
34、设a是一个群〈G,某〉的生成元,则a-1也是它的生成元。
某G,因为a是〈G,某〉的生成元,所以存在整数k,使得某=ak。
故某=((ak)1)1=((a1)k)1=(a1)k。
从而a-1也是〈G,某〉的生成元。
35、在一个偶数阶群中一定存在一个2阶元素。
群中的每一个元素的阶均不为0且单位元是其中惟一的阶为1的元素。
因为任一阶大于2的元素和它的逆元的阶相等。
且当一个元素的阶大于2时,其逆元和它本身不相等。
故阶大于2的元素是成对的。
从而阶为1的元素与阶大于2的元素个数之和是奇数。
因为该群的阶是偶数,从而它一定有阶为2的元素。
36、代数系统是一个群,则G除单位元以外无其它等幂元。
48
设e是该群的单位元。
若a是的等幂元,即a某a=a。
因为a某e=a,所以a某a=a某e。
由于运算某满足消去律,所以a=e。
即G除单位元以外无其它等幂元。
37、设是一个群,则对于a,b∈G,必有唯一的某∈G,使得a某=b。
因为a-1某b∈G,且a某(a-1某b)=(a某a-1)某b=e某b=b,所以对于a,b∈G,必有某∈G,使得a某=b。
若某1,某2都满足要求。
即a某1=b且a某2=b。
故a某1=a某2。
由于某满足消去律,故某1=某2。
从而对于a,b∈G,必有唯一的某∈G,使得a某=b。
38、设半群中消去律成立,则是可交换半群当且仅当a,
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