第一章最新勾股定理习题及答案.docx
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第一章最新勾股定理习题及答案
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
基础题
知识点1 认识勾股定理
1.(郑州月考)直角三角形的两条直角边长分别为3,4,则斜边长是(D)
A.2B.3C.4D.5
2.下列说法正确的是(D)
A.若a,b,c是△ABC的三边,则a2+b2=c2
B.若a,b,c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2
C.若a,b,c是Rt△ABC的三边,∠A=90°,则a2+b2=c2
D.若a,b,c是Rt△ABC的三边,∠A=90°,则c2+b2=a2
3.在Rt△ABC中,斜边长BC=3,AB2+AC2+BC2的值为(A)
A.18B.9C.6D.无法计算
4.(淮安中考)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为(A)
A.5
B.6
C.7
D.25
5.已知在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若a=6,c=10,则b=8;
(2)若a=5,b=12,则c=13;
(3)若c=25,b=15,则a=20.
知识点2 勾股定理的简单应用
6.如图,做一个宽80cm,高60cm的长方形木框,需在相对角的顶点钉一根加固木条,则木条的长为(B)
A.90cmB.100cm
C.105cmD.110cm
7.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为(D)
8.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了4步路(假设2步为1m),却踩伤了花草.
9.已知等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,求等腰三角形的腰长.
解:
如图,因为AD是BC的中线,
所以BD=BC=3,AD⊥BC.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AB2=AD2+BD2=42+32=25.
所以AB=5,即腰长为5.
易错点 考虑不全而漏解
10.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,已知a2=25,b2=144,则c2=(D)
A.169B.119C.13或25D.169或119
中档题
11.(资阳中考)如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(C)
A.48B.60C.76D.80
12.如图,若∠BAD=∠DBC=90°,AB=3,AD=4,BC=12,则CD=(B)
A.5B.13C.17D.18
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知a∶b=3∶4,c=100,其中a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则b的长为(C)
A.30B.60C.80D.120
14.(西安莲湖区期中)如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:
从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②,…,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为(B)
A.2B.4C.8D.16
15.已知一直角三角形的木板,三边的平方和为1800cm2,则斜边长为(A)
A.30cmB.80cm
C.90cmD.120cm
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,且BD=4,则BC=8.
17.在△ABC中,AB=41,AC=15,高AH=9,则△ABC的面积是234或126.
18.如图所示,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于点D,求CD的长.
解:
因为△ABC是直角三角形,AB=5cm,BC=3cm,
由勾股定理,得
AC2=AB2-BC2,
所以AC=4cm.
又因为S△ABC=AB·CD=BC·AC,
所以CD==.
所以CD的长是cm.
综合题
19.如图,已知AB=12,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,AD=5,BC=10,点E是CD的中点,求AE的长.
解:
延长AE交BC于点F.
因为AB⊥BC,AB⊥AD,
所以AD∥BC.
所以∠D=∠C,∠DAE=∠CFE.
又因为点E是CD的中点,
所以DE=CE.
在△AED和△FEC中,
,
所以△AED≌△FEC(AAS).
所以AE=FE,AD=FC.
因为AD=5,BC=10.
所以BF=5.
在Rt△ABF中,由勾股定理有AF2=AB2+BF2.
所以AF=13.
所以AE=AF=6.5.
第2课时 验证勾股定理及其计算
基础题
知识点1 验证勾股定理
1.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形,其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是(D)
A.S△EDA=S△CEB
B.S△EDA+S△CEB=S△CDE
C.S四边形CDAE=S四边形CDEB
D.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
2.用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆,可以摆成如图2所示的正方形,你能利用这个图形验证勾股定理吗?
解:
观察图形我们不难发现,大的正方形的边长是(a+b),里面小的正方形的边长为c.大正方形面积可以表示为(a+b)2,也可以表示为ab×4+c2.对比这两种表示方法,可得出(a+b)2=ab×4+c2.整理得c2=a2+b2.因此利用这个图形可以验证勾股定理.
知识点2 勾股定理的实际应用
3.为了迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,小王搬来一架长为2.5m的木梯,准备把梯子架到2.4m高的墙上,则梯脚与墙角的距离为(A)
A.0.7mB.0.8mC.0.9mD.1.0m
4.如图,在一块平地上,张大爷家屋前9m远处有一棵大树.在一次强风中,这棵大树从离地面6m处折断倒下,量得倒下部分的长是10m.出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到.大树倒下时会砸到张大爷的房子吗?
请你通过计算、分析后给出正确的回答(A)
A.一定不会B.可能会C.一定会D.以上答案都不对
5.某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时,海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行,海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行,则它们离开港口2小时后相距50海里.
6.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:
mm),计算两圆孔中心A和B的距离为100mm.
7.如图是某小区一健身中心的平面图,活动区是面积为200m2的长方形,休息区是直角三角形,请你求出半圆形餐饮区的面积.
解:
AD的长为=10(m).
由勾股定理可得DE=6m.
所以半圆形餐饮区的面积S=π×(6÷2)2=π(m2).
答:
半圆形餐饮区的面积为πm2.
中档题
8.《九章算术》中的“折竹抵地”问题:
今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?
意思是:
一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?
设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为(D)
A.x2-6=(10-x)2B.x2-62=(10-x)2
C.x2+6=(10-x)2D.x2+62=(10-x)2
9.(襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为(C)
A.3B.4C.5D.6
10.一辆装满货物,宽为2.4m的卡车,欲通过如图所示的隧道,则卡车的外形高必须低于(A)
A.4.1mB.4.0mC.3.9mD.3.8m
11.如图,将一根20cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是7cm.
12.(西安雁塔区月考)《中华人民共和国道路交通安全法》规定:
小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方50m处,过了4s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为130m.这辆小汽车超速了吗?
解:
这辆小汽车超速了.
依题意,得AB=130m,
AC=50m,由勾股定理
得AB2=BC2+AC2,也就是1302=BC2+502,所以BC=120(m).
小汽车速度为120÷4=30(m/s)=108(km/h).
因为小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h,
所以这辆小汽车超速了.
13.4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c.现把它们适当拼合,可以得到如图的图形,利用这个图形可以验证勾股定理,你能说明其中的道理吗?
请试一试.
解:
图形的总面积可以表示为:
c2+2×ab=c2+ab,
也可以表示为:
a2+b2+2×ab=a2+b2+ab,
所以c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2=c2.
综合题
14.十一国庆节快到了,某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动,八年级
(1)班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是:
①先裁下了一张长BC=20cm,宽AB=16cm的长方形纸片ABCD;
②如图,将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的F处.
请你根据①②步骤计算EC,FC的长.
解:
因为△ADE与△AFE关于AE对称,
所以△ADE≌△AFE.
所以DE=FE,AD=AF.
因为BC=20cm,AB=16cm,
所以CD=16cm,AD=AF=20cm.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF=12cm.
所以FC=20-12=8(cm).
因为四边形ABCD是长方形,
所以∠C=90°.
设CE=x,则DE=EF=16-x,
在Rt△CEF中,由勾股定理,得
(16-x)2=64+x2.
解得x=6.
所以EC=6cm.
1.2 一定是直角三角形吗
基础题
知识点1 直角三角形的判定
1.(西安莲湖区期中)以下列各组数据为边长作三角形,其中能组成直角三角形的是(C)
A.3,5,3B.4,6,8
C.7,24,25D.6,12,13
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且a2-b2=c2,则下列说法正确的是(C)
A.∠C是直角B.∠B是直角
C.∠A是直角D.∠A是锐角
3.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为(A)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
4.木工做一个长方形桌面,量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线长为68cm,则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”).
5.在△ABC中,a=3,b=7,c2=58,则S△ABC=.
6.如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求:
(1)AC的长度;
(2)△ABC的面积.
解:
(1)因为AD是BC的中线,BC=10,
所以BD=CD=5.
因
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