黄力宏习题8.docx
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黄力宏习题8.docx
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黄力宏习题8
习题十一
1.设L为xOy面内直线x=a上的一段,证明:
其中P(x,y)在L上连续.
证:
设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段,
则L:
,始点参数为t=b1,终点参数为t=b2故
2.设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线,证明:
,其中P(x,y)在L上连续.
证:
L:
,起点参数为x=a,终点参数为x=b.
故
3.计算下列对坐标的曲线积分:
(1),其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;
(2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
(3),其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到的一段弧;
(4),其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行);
(5),其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧;
(6),其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线;
(7),其中Γ为有向闭拆线ABCA,这里A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);
(8),其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧.
解:
(1)L:
y=x2,x从0变到2,
(2)如图11-1所示,L=L1+L2.其中L1的参数方程为
图11-1
L2的方程为y=0(0≤x≤2a)
故
(3)
(4)圆周的参数方程为:
x=acost,y=asint,t:
0→2π.
故
(5)
(6)直线Γ的参数方程是t从1→0.
故
(7)(如图11-2所示)
图11-2
,x从0→1
.
,z从0→1
,x从0→1
.
故
(8)
4.计算,其中L是
(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;
(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;
(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线;
(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.
解:
(1)L:
,y:
1→2,故
(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2,y:
1→2
故
(3)设从点(1,1)到点(1,2)的线段为L1,从点(1,2)到(4,2)的线段为L2,则L=L1+L2.且
L1:
,y:
1→2;L2:
,x:
1→4;
故
从而
(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0,终点(4,2)对应的参数t2=1,故
5.设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b),求力所做的功.
解:
依题意知F=kxi+kyj,且L:
,t:
0→
(其中k为比例系数)
6.计算对坐标的曲线积分:
(1),Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆,方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限;
(2),Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线,方向按曲线依次经过xOy平面部分,yOz平面部分和zOx平面部分.
解:
(1)Γ:
即
其参数方程为:
t:
0→2π
故:
(2)如图11-3所示.
图11-3
Γ=Γ1+Γ2+Γ3.
Γ1:
t:
0→,
故
又根据轮换对称性知
7.应用格林公式计算下列积分:
(1),其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界;
(2),其中L为正向星形线;
(3),其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(,1)的一段弧;
(4),L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧;
(5),其中m为常数,L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线(a为正数).
图11-4
解:
(1)L所围区域D如图11-4所示,P=2x-y+4,
Q=3x+5y-6,,,由格林公式得
(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex,Q=x2sinx-2yex,
则,
.
从而,由格林公式得.
(3)如图11-5所示,记,,围成的区域为D.(其中=-L)
图11-5
P=2xy3-y2cosx,Q=1-2ysinx+3x2y2
,
由格林公式有:
故
(4)L、AB、BO及D如图11-6所示.
图11-6
由格林公式有
而P=x2-y,Q=-(x+sin2y).
,,即,
于是
从而
(5)L,OA如图11-7所示.
图11-7
P=exsiny-my,
Q=excosy-m,
,
由格林公式得:
于是:
8.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)星形线x=acos3t,y=asin3t2ex2;
(2)双纽线r2=a22cos2θ;
(3)圆x2+y2=2ax.
解:
(1)
(2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ,y=rsinθ得
,
从而xdy-ydx=a2cos2θdθ.
于是面积为:
(3)圆x2+y2=2ax的参数方程为
故
9.证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值:
(1);
(2);
(3)沿在右半平面的路径;
(4)沿不通过原点的路径;
证:
(1)P=x-y,Q=y-x.显然P,Q在xOy面内有连续偏导数,且,故积分与路径无关.取L为从(0,0)到(1,1)的直线段,则L的方程为:
y=x,x:
0→1.于是
(2)P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2.显然P,Q在xOy面内有连续偏导数,且,,有,所以积分与路径无关.
取L为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线,则
(3),,P,Q在右半平面内有连续偏导数,且,,在右半平面内恒有,故在右半平面内积分与路径无关.
取L为从(1,1)到(1,2)的直线段,则
(4),,且在除原点外恒成立,故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关,
取L为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线,则
10.验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个函数u(x,y):
(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;
(2)2xydx+x2dy;
(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy;
(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy.
解:
证:
(1)P=x+2y,Q=2x+y.
,所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分.
(2)P=2xy,Q=x2,,故2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分.
(3)P=3x2y+8xy2,Q=x3+8x2y+12yey,,故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个定义在整个xOy面内函数u(x,y)的全微分,
(4)P=2xcosy+y2cosx,Q=2ysinx-x2siny,,,
有,故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分,
11.证明:
在整个xOy平面内除y的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数.
证:
,,显然G是单连通的,P和Q在G内具有一阶连续偏导数,并且.
,(x,y)∈G
因此在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分.
由
知.
12.设在半平面x>0中有力构成力场,其中k为常数,,证明:
在此力场中场力所做的功与所取的路径无关.
证:
场力沿路径L所作的功为.
其中,,则P、Q在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数,并且
因此以上积分与路径无关,即力场中场力所做的功与路径无关.
13.当Σ为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?
解:
因为Σ:
z=0,在xOy面上的投影区域就是Σ
故
当Σ取的是上侧时为正号,Σ取的是下侧时为负号.
14.计算下列对坐标的曲面积分:
(1),其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧;
(2),其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧;
(3),其中f(x,y,z)为连续函数,Σ是平面x-y+z=1在第Ⅳ封限部分的上侧;
(4),其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧;
(5),其中Σ为曲面与平面z=h(h>0)所围成的立体的整个边界曲面,取外侧为正向;
(6),其中Σ为x=y=z=0,x=y=z=a所围成的正方体表面,取外侧为正向;
解:
(1)Σ:
,下侧,Σ在xOy面上的投影区域Dxy为:
x2+y2≤R2.
(2)Σ如图11-8所示,Σ在xOy面的投影为一段弧,
图11-8
故,Σ在yOz面上的投影
Dyz={(y,z)|0≤y≤1,0≤z≤3},此时Σ可表示为:
,(y,z)∈Dyz,
故
Σ在xOz面上的投影为Dxz={(x,z)|0≤x≤1,0≤z≤3},此时Σ可表示为:
,(x,z)∈Dxz,
故
因此:
(3)Σ如图11-9所示,平面x-y+z=1上侧的法向量为
n={1,-1,1},n的方向余弦为
,,,
图11-9
由两类曲面积分之间的联系可得:
(4)如图11-10所示:
图11-10
Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4.其方程分别为Σ1:
z=0,Σ2:
x=0,Σ3:
y=0,Σ4:
x+y+z=1,
故
由积分变元的轮换对称性可知.
因此.
(5)记Σ所围成的立体为Ω,由高斯公式有:
(6)记Σ所围的立方体为Ω,
P=y(x-z),Q=x2,R=y2+xz.
由高斯公式有
15.设某流体的流速V=(k,y,0),求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量.
解:
设球体为Ω,球面为Σ,则流量
(由高斯公式)
16.利用高斯公式,计算下列曲面积分:
(1),其中Σ为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;
(2),其中Σ为球面x2+y2+z2=a2的外侧;
(3),其中Σ为上半球体x2+y2≤a2,的表面外侧;
(4),其中Σ是界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2=9的整个表面的外侧;
解:
(1)由高斯公式
(2)由高斯公式:
(3)由高斯公式得
(4)由高斯公式得:
17.利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分:
(1),其中Γ为圆周x2+y2+z2=a2,x+y+z=0,若从x轴的正向看去,这圆周是取逆时针的方向;
(2),其中Γ是用平面截立方体:
0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1的表面所得的截痕,若从Ox轴的正向看去,取逆时针方向;
(3),其中Γ是圆周x2+y2=2z,z=2,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;
(4),其中Γ是圆周x2+y2+z2=9,z=0,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向.
解:
(1)取Σ为平面x+y+z=0被Γ所围成部分的上侧,Σ的面积为πa2(大圆面积),Σ的单位法向量为
.
由斯托克斯公式
(2)记为Σ为平面被Γ所围成部分的上侧,可求得Σ的面积为(是一个边长为的正六边形);
Σ的单位法向量为
.
由斯托克斯公式
(3)取Σ:
z=2,Dxy:
x2+y2≤4的上侧,由斯托克斯公式得:
(4)圆周x2+y2+z2=9,z=0实际就是xOy面上的
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