第6课时 第三章 第二节 测量不确定度的评定与表示Word格式文档下载.docx
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测量黄铜棒的长度时,为考虑长度随温度的变化,要用到黄铜的线膨胀系数a,查数据手册可以得到所需的a值。
该值的不确定度是测量结果不确定度的一个来源。
9.测量方法和测量程序的近似和假设
被测量表达式的近似程度;
自动测试程序的迭代程度;
电测量中由于测量系统不完善引起的绝缘漏电、热电势、引线电阻等,均会引起不确定度。
10.在相同条件下被测量在重复观测中的变化
在实际工作中,通常多次测量可以得到一系列不完全相同的数据,测量值具有一定的分散性,这是由诸多的随机因素影响造成的,这种随机变化常用测量重复性表征,也就是重复性是测量结果的不确定度来源之一。
除此之外,如果已经对测量结果进行了修正,给出的是已修正测量结果,则还要考虑修正值不完善引入的测量不确定度。
通常,在分析测量结果的不确定度来源时,可以从测量仪器、测量环境、测量方法、被测量等方面全面考虑,应尽可能做到不遗漏、不重复。
特别应考虑对测量结果影响较大的不确定度来源。
(二)建立测量的数学模型
1.测量的数学模型
测量的数学模型是指测量结果与其直接测量的量、引用的量以及影响量等有关量之间的数学函数关系。
当被测量y由n个其他量xl,x2,…,xn的函数关系确定时,被测量的数学模型为
y=f(xl,x2,…,xn)
(3—54)
被测量的测量结果称输出量,输出量y的估计值y是由各输入量xi的估计值xi按数学模型确定的函数关系f计算得到
y=f(xl,x2,…,xn)
(3—55)
用测量电压v和电流i得到电路中的电阻r,则被测量r的数学模型可根据欧姆定律写出 r=v/i
式中:
r为输出量,v和i是输入量。
数学模型中输入量可以是:
(1)当前直接测量的量;
(2)由以前测量获得的量;
(3)由手册或其他资料得来的量;
(4)对被测量有明显影响的量。
数学模型r=r0[l+a(t-t0)]中,温度t是当前直接测量的影响量;
t0是规定的常量(如规定t0=200c;
r0是在t0时的电阻值,它可以是以前测得的,也可以是由测量标准校准给出的校准值(校准证书上给出);
温度系数a是从手册查到的。
当被测量y由直接测量得到,且写不出各影响量与测量结果的函数关系时,被测量的数学模型为
y=x
用温度计测量一杯水的温度,测量结果y就是温度计(测量器具)的示值x。
通常用多次重复测量的算术平均值作为被测量的测量结果。
2.关于数学模型的说明
(1)数学模型可以用已知的物理公式得到,也可以用实验方法确定,甚至只用数值方程给出。
(2)数学模型不是唯一的,对于同一个被测量采用不同的测量方法和不同的测量程序,就会有不同的数学模型。
(3)数学模型不一定是完善的,它与人们对规律的认识程度有关。
为了能在数学模型中充分反映实际的影响量,尽可能采用长期积累的数据建立经验模型。
(4)有时被测量y的输入量xl,x2,…,xn本身又取决于其他量,他们各自与其他量间有函数关系,还可能包含对系统影响修正的修正值或修正因子,导致十分复杂的函数关系。
这时候,数学模型可能是一系列关系式。
(5)如果数据表明数学模型中没有考虑某个具有明显影响的影响量时,应在模型中增加输入量,直至测量结果满足测量准确度的要求。
如果发现电阻的损耗功率与大气压力有关,最好在数学模型的输入量中增加压力量。
(三)标准不确定度分量的评定
l.标准不确定度分量的a类评定方法
对被测量x,在同一条件下进行n次独立重复观测,观测值为
(i=1,2,…,n),得到算术平均值
及实验标准偏差s(x)。
为测量结果(被测量的最佳估计值),算术平均值的实验标准偏差就是测量结果的a类标准不确定度u(x)
(3—56)
注意:
公式中的n为获得平均值时的测量次数。
(1)基本的标准不确定度a类评定流程
(1)基本的标准不确定度a类评定流程(见图3-14)
图3-l4标准不确定度a类评定流程图
[案例]对一等活塞压力计的活塞有效面积检定中,在各种压力下,测得10次活塞有效面积与标准活塞面积之比l(由l的测量结果乘标准活塞面积就得到被检活塞的有效面积)如下:
0.250670,0.250673,0.250670,0.250671,0.250675,0.250671,0.250675,0.250670,0.250673,0,250670
问:
l的测量结果及其a类标准不确定度。
【案例分析】由于n=10,l的测量结果为
,计s算如下
由贝塞尔公式求单次测量值的实验标准差
由测量重复性导致的测量结果l的a类标准不确定度为
(2)测量过程的a类标准不确定度评定
对一个测量过程,如果采用核查标准核查的方法使测量过程处于统计控制状态,则该测量过程的实验标准偏差为合并样本标准偏差sp。
若每次核查时测量次数n相同(即自由度相同),每次核查时的样本标准偏差为si,共核查k次,则合并样本标准偏差sp为
(3—57)
此时sp的自由度v=(n-1)k。
则在此测量过程中,测量结果的a类标准不确定度为
式中的n′为获得测量结果时的测量次数。
【案例】对某测量过程进行过2次核查,均在受控状态。
第一次核查时,测4次,n=4,得到测量值:
0.250mm,0.236mm,0.213mm,0.220mm
;
第二次核查时,也测4次,求得s2=0.015mm。
在该测量过程中实测某一被测件,测量6次,问测量结果y的a类标准不确定度。
【案例分析】
根据第一次核查的数据,用极差法求得实验标准差:
查表得d4=2.06,
s1=(0.250—0.213)mm/2.06=0.0l8mm
同理,第二次核查时,也测4次,求得s2=0.0l5mm。
共核查2次,即k=2,则该测量过程的合并样本标准偏差为
在该测量过程中实测某一被测件,测量6次,测量结果y的a类标准不确定度为
其自由度为v=(n-1)k=(4-1)×
2=6。
(3)规范化常规测量时a类标准不确定度评定
规范化常规测量是指已经明确规定了测量程序和测量条件下的测量,如日常按检定规程进行的大量同类被测件的检定,当可以认为对每个同类被测量的实验标准偏差相同时,通过累积的测量数据,计算出自由度充分大的合并样本标准偏差,以用于评定每次测量结果的a类标准不确定度。
在规范化的常规测量中,测量m个同类被测量,得到m组数据,每组测量n次,第j组的平均值为
,则合并样本标准偏差
(3—58)
对每个量的测量结果
的a类标准不确定度
(3—59)
自由度为v=m(n-1)。
若对每个被测件的测量次数nj不同,即各组的自由度vj不等,各组的实验标准偏差为sj,则
(3—60)
式中,vj=nj-1。
对于常规的计量检定或校准,当无法满足n≥10时,为使得到的实验标准差更可靠,如果有可能,建议采用合并样本标准差sp作为由重复性引入的标准不确定度分量。
【案例】对一批共10个相同准确度等级的10kg砝码校准时,对每个砝码重复测4次
(n=4),测量值为xi(i=1,2,3,4);
共测了10个砝码(m=10),得到10组测量值xij,数据如表3-09。
问这种常规的砝码校准中砝码校准值的a类标准不确定度。
【案例分析】这种情况下可以用10个砝码校准的合并样本标准偏差计算校准值的a类标准不确定度,这样可以增加自由度,也就提高了所评定的a类标准不确定度的可信度。
合并样本标准偏差可由式(3-58)计算,计算结果列入表3-10。
(4)由最小二乘法拟合的最佳直线上得到的预期值的a类标准不确定度
由最小二乘法拟合的最佳直线的直线方程:
y=a+bx
预期值yi的实验标准偏差为
(3-61)
式中,r(a,b)为a和b的相关系数;
和
分别为a,b和x的实验标准偏差。
预期值yi的a类标准不确定度为
。
2.标准不确定度分量的b类评定方法
标准不确定度的b类评定是借助于一切可利用的有关信息进行科学判断,得到估计的标准偏差。
①根据有关信息或经验,判断被测量的可能值区间(-a,a);
②假定被测量值的概率分布;
③根据概率分布和要求的置信水平p估计置信因子k,则b类标准不确定度ub为
ub=a/k
式中a为被测量可能值区间的半宽度;
k为置信因子或包含因子。
标准不确定度的b类评定流程见图3-15。
图3-15标准不确定度b类评定流程
(1)b类评定时可能的信息来源及如何确定可能值的区间半宽度
区间半宽度b值是根据有关的信息确定的。
一般情况下,可利用的信息包括:
①以前的观测数据;
②对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验;
③生产部门提供的技术说明文件(制造厂的技术说明书);
④校准证书、检定证书、测试报告或其他提供的数据、准确度等级等;
⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度;
⑥规定测量方法的校准规范、检定规程或测试标准中给出的数据;
⑦其他有用信息。
①制造厂的说明书给出测量仪器的最大允许误差为±
δ,并经计量部门检定合格,则可能值的区间为(y-δ,y+δ),区间的半宽度为a=δ
②校准证书提供的校准值,给出了其扩展不确定度为u,则区间的半宽度为a=u
③由手册查出所用的参考数据,同时给出该数据的误差不超过±
δ,则区间的半宽度为
a=δ
④由有关资料查得某参数x的最小可能值为a-和最大可能值为a+,区间半宽度可以用下式确定a=
⑤数字显示装置的分辨力为1个数字所代表的量值δx,则取
⑥当测量仪器或实物量具给出准确度等级时,可以按检定规程或有关规范所规定的该等别或级别的最大允许误差或测量不确定度进行评定。
⑦根据过去的经验判断某值不会超出的范围来估计区间半宽度a值。
⑧必要时,用实验方法来估计可能的区间。
(2)b类评定时如何假设可能值的概率分布和确定k值
①概率分布的假设(最好的办法:
历史数据画直方图)
a.被测量受许多相互独立的随机影响量的影响,这些影响量变化的概率分布各不相同,但各个变量的影响均很小时,被测量的随机变化服从正态分布。
b.如果有证书或报告给出的扩展不确定度是u90。
、u95或u99,除非另有说明,可以按正态分布来评定b类标准不确定度。
c.一些情况下,只能估计被测量的可能值区间的上限和下限,测量值落在区间外的概率几乎为零。
若测量值落在该区间内的任意值的可能性相同,则可假设为均匀分布。
d.若落在该区间中心的可能性最大,则假设为三角分布。
e.若落在该区间中心的可能性最小,而落在该区间上限和下限处的可能性最大,则假设为反正弦分布。
f.对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解时,一般假设为均匀分布。
实际工作中,可依据同行专家的研究和经验来假设概率分布。
无线电计量中失配引起的不确定度为反正弦分布;
几何量计量中度盘偏心引起的测角不确定度为反正弦分布;
测量仪器最大允许误差、分辨力、数据修约、度盘或齿轮回差等导致的不确定度按均匀分布考虑;
两个量值之和或差的概率分布为三角分布;
按级使用量块时,中心长度偏差导致的概率分布为两点分布。
在jjfl059一1999的附录b中给出了各种情况下概率分布的估计,包括正态分布、均匀分布、三角分布、反正弦分布、两点分布、投影分布的情况。
②k值的确定
a.已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时,则该倍数(包含因子)就是k值。
b.假设概率分布后,根据要求的置信概率查表得到置信因子k值。
如果数字显示仪器的分辨力为δx,则区间半宽度a=δx/2,可假设为均匀分布,查表得
,由分辨力引起的标准不确定度分量为
若某数字电压表的分辨力为1μv(即最低位的一个数字代表的量值),则由分辨力引起的标准不确定度分量为:
u(v)=0.29
×
1μv=0.29μv。
被测仪器的分辨力会对测量结果的重复性测量有影响。
在测量不确定度评定中,当重复性引入的标准不确定度分量大于被测仪器的分辨力所引入的不确定度分量时,可以不考虑分辨力所引入的不确定度分量。
但当重复性引入的不确定度分量小于被测仪器的分辨力所引入的不确定度分量时,应该用分辨力引入的不确定度分量代替重复性分量。
若被测仪器的分辨力为δx,则分辨力引入的标准不确定度分量为0.29δx。
③常用的概率分布与置信因子的关系见表3-12和表3-13。
表3-11正态分布的k值与概率p的关系
p
0.50
0.90
0.95
0.99
0.9973
k
0.676
1.64
1.96
2.58
3
表3-12几种非正态分布时k的值
概率分布
均匀分布
反正弦分布
三角分布
梯形分布
两点分布
k(p=100%)
1
注:
β为梯形上底半宽度与下底半宽度之比。
④标准不确定度b类评定的实例
【案例1】校准证书上给出标称值为1000g的不锈钢标准砝码质量ms的校准值为l000.000325g,且校准不确定度为24μg(按三倍标准偏差计),求砝码的标准不确定度。
【案例分析】标准不确定度的评定:
由于a=u=24μg,k=3,则砝码的标准不确定度为u(ms)=24μg/3=8μg。
【案例2】校准证书上说明标称值为10ω的标准电阻在230c时的校准值为10.000074ω,扩展不确定度为90μω,置信水平为99%,求电阻的相对标准不确定度。
由校准证书的信息可知
a=
u99=90μω
p=0.99
假设为正态分布,查表得到k=2.58;
则电阻校准值的标准不确定度为
ub(rs)=90μω/2.58=35μω
相对标准不确定度为:
ub(rs)/rs=3.5×
10-6。
【案例3】手册给出了纯铜在200c时线热膨胀系数a20(cu)为16.52×
10-6
0c-1,并说明此值的误差不超过±
0.40
0c-1,求a20(cu)的标准不确定度。
根据手册,a=0.40×
0c-1,依据经验假设为等概率地落在区间内,即均匀分布,查表得
,铜的线热膨胀系数的标准不确定度为
u(a20)=0.40×
0c-1/
=0.23×
0c-1
⑤b类标准不确定度的自由度
b类标准不确定度的自由度可由式(3-63)估计
(3—63)
的估计为
,根据经验,按所依据的信息来源的不可信程度来判断
的相对标准不确定度,然后按式(3-63)计算出自由度v列于表3-14。
表3-14
b类标准不确定度的自由度估计
0.10
0.20
0.25
0.30
0.40
v
∞
50
12
8
6
2
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