高中数学 222 平面与平面平行的判定能力强化提升 新人教A版必修2.docx
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高中数学222平面与平面平行的判定能力强化提升新人教A版必修2
【成才之路】2014高中数学2-2-2平面与平面平行的判定能力强化提升新人教A版必修2
一、选择题
1.如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面( )
A.平行B.相交
C.垂直D.都可能
[答案] D
[解析] 过直线的平面有无数个,考虑两个面的位置要全面.
2.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列正确的是( )
A.平面ABCD∥平面ABB′A′
B.平面ABCD∥平面ADD′A′
C.平面ABCD∥平面CDD′C′
D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′
[答案] D
3.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.不确定
[答案] A
[解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,
∴A1D1∥E1F1,又A1D1⊄平面BCF1E1,E1F1⊂平面BCF1E1,
∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分别是A1B1和AB的中点,
∴A1E1綊BE,∴四边形A1EBE1是平行四边形,
∴A1E∥BE1,
又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,
∴A1E∥平面BCF1E1,
又A1E⊂平面EFD1A1,A1D1⊂平面EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
4.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.l∥β,l⊂α⇒α∥β
B.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β
C.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥β
D.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β
[答案] D
[解析] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.
5.下列结论中:
(1)过不在平面内的一点,有且只有一个平面与这个平面平行;
(2)过不在平面内的一条直线,有且只有一个平面与这个平面平行;
(3)过不在直线上的一点,有且只有一条直线与这条直线平行;
(4)过不在直线上的一点,有且仅有一个平面与这条直线平行.
正确的序号为( )
A.
(1)
(2)B.(3)(4)
C.
(1)(3)D.
(2)(4)
[答案] C
6.若平面α∥平面β,直线a∥α,点B∈β,则在平面β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
[答案] A
[解析] 当直线a⊂β,B∈a上时满足条件,此时过B不存在与a平行的直线,故选A.
7.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A.4条B.6条
C.8条D.12条
[答案] D
[解析] 如图所示,以E为例,易证EI,EQ∥平面DBB1D1.
与E处于同等地位的点还有F、G、H、M、N、P、Q,故有符合题意的直线=8条.以I为例,易证IE∥平面DBB1D1,与I处于同等地位的点还有J,K,L,故有符合题意的直线4条.∴共有8+4=12(条).
8.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;
②平面PAD∥BC;
③平面PCD∥AB;
④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有( )
A.①③B.①④
C.①②③D.②③
[答案] C
[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交.
∵AB∥CD,
∴平面PCD∥AB.
同理平面PAD∥BC.
二、填空题
9.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是________.
[答案] 平行
10.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).
[答案] 平行
[解析] 假若α∩β=l,则在平面α内,与l相交的直线a,设a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
11.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足________时,有MN∥平面B1BDD1.
[答案] 点M在FH上
[解析] ∵FH∥BB1,HN∥BD,FH∩HN=H,
∴平面FHN∥平面B1BDD1,
又平面FHN∩平面EFGH=FH,
∴当M∈FH时,MN⊂平面FHN,
∴MN∥平面B1BDD1.
12.如下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
①BM∥平面DE;
②CN∥平面AF;
③平面BDM∥平面AFN;
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
[答案] ①②③④
[解析] 展开图可以折成如图a所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图b所示.
∵AB∥MN,且AB=MN,
∴四边形ABMN是平行四边形.
∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴①②正确;
如图c所示,连接NF,BE,BD,DM,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.
三、解答题
13.在三棱锥P-ABC中,E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上,且===,求证平面EFG∥平面ABC.
[分析] 要证平面EFG∥平面ABC,依据判定定理需在平面EFG内寻找两条相交直线分别与平面ABC平行,考虑已知条件的比例关系可产生平行线,故应从比例关系入手先找线线平行关系.
[证明] 在△PAB中,∵=,∴EF∥AB,
∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
∴EF∥平面ABC,同理FG∥平面ABC,
∵EF∩FG=F,且FG⊂平面EFG,EF⊂平面EFG,
∴平面EFG∥平面ABC.
总结评述:
欲证“面面平行”,可证“线面平行”;证“线面平行”,可通过证“线线平行”来完成,这是立体几何最常用的化归与转化的思想.
14.如图,F,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中点,求证:
平面BDF∥平面B1D1H.
[证明] 取DD1中点E,
连AE、EF.
∵E、F为DD1、CC1中点,
∴EF綊CD.
∴EF綊AB,
∴四边形EFBA为平行四边形.
∴AE∥BF.
又∵E、H分别为D1D、A1A中点,
∴D1E綊HA,∴四边形HAED1为平行四边形.
∴HD1∥AE,
∴HD1∥BF,
由正方体的性质易知B1D1∥BD,且已证BF∥D1H.
∵B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,
∴B1D1∥平面BDF.
∵HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,
∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1=D1,
∴平面BDF∥平面B1D1H.
15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC和SC的中点,求证:
(1)直线EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
[证明]
(1)如图所示,连接SB.
∵E,G分别是BC,SC的中点,
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD.∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
16.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点,当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
[解析] =1.
证明如下:
如图所示,
此时D1为线段A1C1的中点,连接A1B交AB1于O,连接OD1.
由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,
∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
∴OD1∥BC1.
又∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当=1时,BC1∥平面AB1D1.
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