常微分方程 习题答案Word格式.docx
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(1+=2x的通解,并求出满足初始条件y(0)=3的解.
解:
从函数方程解出C,得(y-22)/(1-x2)=c2,两边关于求
导,得2[(1-x�)(y-2)dy/dx+(y-2)'
�x\/{l-=0,经整理得微分
方程(1-;
c2)dy/da;
+rry=2a;
.(注:
一般的方法是将函数中的任意
常数C解出,对0:
求导后的微分方程就不含C了)再由初始条件:
3=y(0)=2+C得C=1,满足初始条件的解是y=2+
4.验证ey-e-=c(这里c为任意常数)是否为方程,-“
的通解.
是.以expO表示指数函数.设由方程exp(y)-exp(x)=c
决定了一个函数?
/⑷,即exp(y(;
c))-exp(x)=c,边对a;
求导得,
exp(y(x))dy/dx-exp(x)=0,整理后就得dy/da;
=exp(a;
-y),即含有
一个任意常数C的隐函数exp(y)-exp⑷=C满足一阶微分方程,按
yp々PXDI'
7/)—PXDI'
-Mr1甬
5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等
于定长Z,试求出此平面曲线应满足的微分方程.
设(X,y)为切线上的点,过切点(x,y)的切线方程为
r-y=y'
(X-a;
),它与a:
与y轴的交点分别为(jc—y/y'
,0)与
2)-�+2y—+3xy=0:
(0,y-xy'
),所以所求的方程为(a:
-y/y〒+(y—xy'
f=P.
6.已知平面曲线上任一点的切线与该点和原点的连线之间的
夹角均为常g«
试求出此平面曲线应满足的方程.一
由题意,tan(arctany'
—arctan(y/x))=tana=k,故由三角公式
得所求方程为iy'
-yM=Ki+yy'
\/x).
7.求出曲线族Or-ci)2+{y-=4所满足的微分方程,其中
Cl,C2,C3为任意常教.
方程两边对求导一次得♦-Cl)+2(y-C2)y'
=0,再对a;
求导一次得2+2y'
2+2{y-C2)y〃,解出C2:
C2=y+(1+对其
关于T求导一次得所求的微分方程y'
+[(1+y'
�)/y"
]'
=0.
8.一个容器盛盐的水溶液100升,净含盐10千克.现以每分钟3升
的流量注入净水使盐水冲淡,同时以每分钟2升的流量让盐水流出.
设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均勾的,求出任意时刻t容
器中净盐量所满足的微分方程和定解条件.
设在t分钟时净盐量为⑴千克,定解条件为初始条件:
x(0)=10(千克),在时刻t(分)时,水溶液体积为(100+t)(升),盐浓
度为(千克/升),按题意,净盐量变化率g这就
是所求的微分方程.
9*.假设赛艇在水中运动时主要受到两个力的作用,即由于运
动员划黎所产生的牵引力r和水的阻力D.记赛艇的速度为U.如
果运动员和赛艇一起的总质量为m,运动员为赛艇提供的不变有
Z■功率为P,阻力与〃2成正比,试建立赛艇速度的运动方程.提
不:
Tu=p.
设D=ku\k是比例系数,由牛顿第二定律得运动方程,
mdu/dt=p/u—kv?
.
习题1.2
常数变易公式:
一阶线性非齐次方程cb/dt+p⑴0;
=的一
切解可以表示为洲=m{c+Jlq{s)/h{s)ds)其中h[t)是对应的
线性齐次方程cLc/di+p(t);
c=0的任一个确定的非零特解,可取
h{t)=exp(f-p(t)dt)中一个特定的函数.其中expO)=表示指数
函数.C为任意常数.注意公式中的两个函数⑴必须取同一个函
数.
1.用分离变量法求解下列方程或初值问题:
1)恙+=◦
y=cexp(/—e2zda:
)=cexp(—e2T/2)
2)sec�Xtanydx-hsec�ytanxdy=0
原方程可化为tanydtana:
+tanxdtany=0,从而
d(tanXtan=0,积分得通解tana:
:
tany=c.
3)Or+1)惡+I=2e1
将原方程化为(a;
+l)e"
dy+(e"
-2)dx=0,进而化为
(x+l)d(e"
—2)+(e"
-2)d(x+1)=0,即d[(;
c+l)(e"
-2)]=0,积分得
通解+1)(e"
—2)=c.
4)�+32;
=0
axy
将原方程化为6e3Tck:
+6yei2dy=0,积分得通解
2e3T-Se-y"
=c.
ft方程化为dy—dx=0,积分得通解e"
-eT=c.
6)x�(l—y)dy+?
/�(l+x)da;
M-—ajy一0时,#方程化为+l/x)dx+(l/y2-1/y)dy=0.
积分得通解l/a;
+l/y+ln[y/{cx)]=0.还有两个特解,x=0Ry=0,
它们不包括在通解中.
7)3e®
tanydx+(1—e工)sec�ydy=0,y⑴=7r/4
M-将原方程化为-3tanyd(e®
-l)+(eLl)dtany=0,方程两边乘
以(6工—1)-4,得d[(e工—l)"
�tan?
/j=0,积分得通解(e®
—l)"
�tany=c,
即tany=c(e�-1)�,初值问题的解为y=arctan[[e�-1)�/(e—if].
8)x\J\+y2+yVl+=0,y(0)=1
通解为a/1+;
c2++y2=�
初值问题的解为y=\j(Vl+a?
-1-"
“~i.
9)(1+x)ydx+a;
(1-y)dy=0,y
(2)=0
初值问题的_为y=0(不能从通解ln((a;
y)/c)=y-x中得
到).
10)a;
y(1+;
c2)盖=1+y2,y⑴=0.
将方程化为i(l+y2)/d(x2)=(1+y'
'
)/[x\l+�2)],分离变量得
d(l+y2)/(l+y2)=[1/�2一1/(1+�2)]d(a;
2),积分得通解为
5)p-=e�-y
(1+X�){1+y2)=cx�,初值问题的解为(1+X�){1+y2)=2a;
2解出y
得y=士[(3�2-l)/(a;
2+
2.将卞列方—化为爹量分离方程后求解:
1)(xy)dx—(x—y)dy=0
将方程两边乘以2,再重新组合化为
2{xdx+ydy)-2{xdy-ydx)=0,可见,可凑成微分
d+y2)—2(x�+y�)darctan(y/a;
)=0,两边同以a;
2+得:
d(x�+y�)/{x�+y2)—2darctan(y/x)=0,积分得ffl解:
ln(x2+?
_2arctan(y/x)=c,(注:
本题是齐次方程,也可按齐次方
程的通常解法求解,但较繁).
2)da;
+(a;
2—xy)dy=0
M-将方程重新纟合化为—y(xdy-ydx)+dy=0,凑微分得
-x�yd{y/x)+dy=0,当;
ry/0时,两边同除以;
得:
-d{y/x)+dy/y=0,积分得解:
-y/x+ln(y/c)=0,或化为
y=cexp(y/x);
还有特解=0不包括在通解中.特解y=0可以包
含在通解的后一种形式中.
(注:
本题是齐次方程,也可按齐次方程的通常解法求解).
3)化=V-xy
—xy+
方程是齐次方程,引进新的未知函数U,满足关系式y=XU,
对a;
求导得关系式dy/da;
=u+xdv�x,将这两式代入方_,得:
U+xdu/dx=(2u�—u)/{l—u+u�),分离变量得:
[2/(u-1)-1/u-3/(u-2)]du=2dx/x,|r分得
ln[(u—1)2/(cu(m—2)3)]=Inx"
�,或化为(u—1)2=cx�u{u—2)�,以u=y/x
代入得通知(y-x)�=cy{y-2x)3,还有两个特解y=0,及y=2a;
,它
们不包括在通解中,分别对应于=0和=2(注:
与U=1对应的
解y=;
c可以包含在通解中(c=0时)).
4)xdy/dx=xexp(y/x)y-\-x
方程是齐?
方变量代换y=XU,得变量分离方程
=exp(w)+l,进而写成d:
c/a:
+dexp(—w)/(exp(—w)+l)=0,积分
ln(x(exp(-u)+l)/c)=0,代回原变量得通解:
c(l+exp(-=c,
5)x(lnX—In�dx=0
方程是齐次方程,用变量代换y、=xu�得变量分离方程:
xdu/dx=—u{l+Inw)/lnti,7�1/e时,化为:
dx/xH-Inwdlnii/(l+Inu)=0,积分得ln[c;
rw/(l+Inw)]=0,代回原变
量得通解cy=1+ln�-lnx,特y=x/e4含在通扁中.
6)dy/dx={2x—y-\-l)/{x—2y1)
将方程化为微分形式并分组得:
[{2x+l)dx+{2y—1)d�]-(xdy-\-ydx)=0,进而得
d(x�-y)-d{xy)=0,|R分得ffl解:
〜(注:
本题也可化为g=y++i;
后按齐次方程的解法来求解,但较繁).
7)dy/dx={2x++4)/(4x+6�+5)
令w=2a;
+3y,故du/dx=2+3dy/dx=2+3(u+4)/(2w+5),
即cki)da;
=(7u+22)/(2w+5),7w+22=0bJ,得特解14a;
+21y+22=0,
7«
+22/0时,分离变量得[2-9/(7u+22)]du=7dx„积分得,
2u-9/71n[(7u+22)/c]=7x,代回原变量整理得通解
7(2y-x)-31n[(14x+21y+22)/c]=0.另一形式为
14a;
+21y+22=cexp(7(2y—x)/3),特解14;
c+21y+22=0包含在通
解的后一形式中.
8)dy/dx=(x+1)�+(4y+1)2+8xy+1
见dy/da;
=(x+4y+1)2+2,故令=a:
+4y+1,从
du/dx=1+4dy/dx=1+4(u�+2)=Av?
+9,即du/da;
=4u�+9,分离
变量得3d(2u)/(4w2+9)=6dx,积分得:
arctan(2w/3)=Ga;
+c,代[�原
变量整理得j�_解arctan((2;
z;
+8y+2)/3)=6x+c.
Q、r]7//r]T�f7/�—/f�T?
/�-U\
、解:
将原方程化为Ci(y3)/d:
r=3[(y3)2—2x2]/(2xy3+
得齐次方程clu/cLc=3(t|2-2x�)/{2xv+a:
。
),故令对a;
求
导得dti/da;
=u+xdu/dx=Z{v?
-2)/{2u+1).即得变量分离方程
xdu/dx=(u-3)(u+2)/(2u+1),分离务量得
[7/(u-3)+3/(u+2)]du=Mx/x.积务得71n|u—3|+31n|u+2|=51n(cx).
k回原变量得通if(y�-3x)�(y3+2xf=cx��.胜:
)��应年u=3左
u=-2的特解包含在通解中).
10)dy/dx=(2a;
3+3xy�+x)/{3x'
�y+2y�—y).
将原方程化为
d(y2)/d(x2)=[2(x2—1)+3(y2+1)]/[3(�2-1)+2{y�+1)].从而可令
w=a;
2-1,"
u=y2+1,原方程化为齐次方程clu/du={2u+3v){3u+2v),
令=uw,对u求导得,dti/cki=w+udw/du={3w+2)/{2w+3).即
得变量分离方程udw/du=2(1-w�)(2w+3).分离变量得
[l/{w+1)—h/{w—1)]du)=4du/u,积分得:
ln|«
;
+l|-51n|u;
-l|=41n|u|+c,代回原变量整理得通解
(y2一p+2)5=c(x2+y2).(注:
对应于w=1的特解包含在通解中)
3.用常数变易公式求解下列(可化为)线性方程或Bernoulli方
程的通解或初值问题:
1)dy/dx=y+sina;
取线性齐次方程dy/cLc1=0的一个特解/I⑷=exp(x),应
用常数变易公式得:
y=exp(x)[c+fsinxexp(—x)dx]=cexp(x)—(sinx+cosx)/2.
2)dx/dt=exp(2t)—3x
取对应的齐次方程的一个特解为/i(t)=exp(-3t),应用常数
变易公式得:
X=exp(—3t)[c+/exp(5t)dt]=cexp(—3t)H-exp(2t)/5.
3)dy/dx—ny/x=exp(x)
备y=x�{c+exp(x)).
4)dy/dx+(1—2x)y/x�—1=0
取对应的齐次方程的一个特解/i(x)=x2exp(l/x),应用常数
变易公式得y=x2exp(l/x)[c+/exp(-l/a;
)d(-l/x)]=x�[cexp(l/x)+l].
5)dy/dx=ytanx+cosx
取对应的齐次方程的一个特解为=1/cosx=secx,应
用常数变易公式得y=secx[c+fcos�Xdx]=[(x+2c)secx+sinx]/2,
6)dy/dx—y=2xexp(2x),�(0)=1
答:
■解为y=cexp(x)+2{x-l)exp(2x),初值问题的解为
y=3exp(x)+2(x—1)exp(2x).
7)xyInydx+—Iny)dy=0
M-方程两边同乘2/y方程化为lnyd(a;
2)+2{x'
�-Iny)dlny=0,
y7�1时,进而化为线性程d(a;
2)/dlny+2;
r2/lny=2,利用常数变
易公式得通解,=c/ln2y+2/3Iny,特解y=1木包含在通解中.
8)dy/dx+2y/(a;
+1)=(x+1)3
參:
y=c{x+l)-2+(x+1)4/6.
9)同例1.6,略
10)dy/dx+xy=
是Bernoulli方程,当y/0时,先将它化为线性方程
d(y"
2)/dx=-2a;
3,应用常数变易公式得通解为
y-2=cexp(x2)++1,还有特解y=0(不包含在通解中).
11)dy/dx=l/{xy+x'
�y�)
将自变量与因变量交换得Bernoulli方程g将
它化为线性方程dOr-2)/dy=-2yx-�-2y\从而应常数变易公式
得通解:
=cexp(-y�)+1-
12)dy/dx=x~�{3x+exp(�))
将方程化为线性方程dexp(i)/d:
c+3exp(-W/;
z:
=-1/x�,应
用常数曼桌公式而得ffiifexp(-y)=cx-3-(2x)-�
13)jdx=(3�4+y3)j
是Bernoulli方程,可化为线性方程<
1(〃3)/da:
-3〃3/x=3x�,积
分得通解:
y3=cx�+3x�.
14)dy/dx=l/(xcos�+sin2y)
将自变量与因变量交换得线性方程Cb/dy=xcosy+sin(2y),
取对应的齐次方程的一个特解为;
�=%)=611)(31112/),从而应用,
数变易公式得a;
=2exp(siny)[c+/sinyexp(-siny)dsiny],积分得通
=cexp(siny)—2(1+siny).
4.利用全微分方程(题1-6,12)和用积分因子方法,(题7-11)求出下
列方程的解
1)(�2+y)dx+(x—2y)dy=0
M-将方程分为(;
c2da;
-2ydy)+(yda;
+a;
dy)=0,凑微分得
dx-2ydy)+d{xy)=0,积分得通解:
x�/3-+xy=c.
2)exp(—dxH-(1—xexp(—y))dy=0
舍方程分组为(expii)d;
-a;
exp(i)dW+dy=0,凑微分得
d(xexp(-�))+dy=0,积分得通解:
xexp(-y)+y=c.
3)(y—3x�)dx—(Ay—x)dy=0
0'
将方程分组为O/diT+a;
办)-(3x�dx+4:
ydy)=0,凑微分得
d{xy)-d{x�+2力=0,积分得通赫:
xy--2y�=c.
4)(9x�+�—1)dx—{Ay—x)dy=0
将方程分组为[(9a;
2-1)dx-4ydy]+{ydx+xdy)=0,凑微分
得d(3;
c3-X-2y2)+d{xy)=0,积分得通If:
-x-2y'
�+xy=c.
5)[y_ism{x/y)—yx~'
�cos{y/x)+1]dx
+|x_icos{y/x)—xy~'
�sm{x/y)+?
dy=0
解法一:
记M(a;
y)=y"
�sin(x/y)—yx~'
�cos{y/x)+1,
N{x,y)=;
r_icos{y/x)—xy~'
�s'
m{x/y)+
可得dM{x,y)ldy=dN{x,y)/dx,因此方程是恰当的.设其积分
为U{x,y)=C,贝IjdU{x,y)/dy=N{x,y),关于y积分,得
U(x,y)=J[a;
~�cos{y/x)—xy~'
�sm{x/y)+y~'
�]dy
=sin(y/a;
)—cos{x/y)—1/y+c{x)
其中C(;
r)是待定的的函数.为求c(;
c),利用恒等式
dU{x,y)/dx=M{x,y),可得c'
(a;
)=1,故可取c(;
c)=x.所以积分为
U{x,y)=c,其中U{x,y)=sm{y/x)-cos{x/y)-1/y+x.
减法二:
将微芬;
�程组合为[sinO/yj/ycLc-;
rsinO/y)/y2cly]
+[-ycos{y/x)/dx+cos{y/x)/xdy]+[dx+1/y�dy]=0,凑微分,积
分得:
-cos{x/y)+sm{y/x)+x-l/y=c
6)2x{yexp(x�)—1)dx+exp(x�)dy=0
M-於原方程化为[ycl(exp(;
c2))+exp02)dy]-2;
rda;
=0,凑微分得
d(yexp(a;
2))-d(x�)=0,积分得通解yexp(;
c2)-=c,或解出显函数
形式:
y=(c+x2)exp(-x2).
7)(exp(x)+3y2)dx+2xydy=0
M-将程分成(3y2ckc+2;
cydy)+exp(x)da;
=0,凑微分得
;
r-2d(a;
3y2)+expO)da;
=0,可见积奋自子可取为;
r2,从而化成全微分
方程d(;
c3y2)+2;
2exp(a;
)dx=0,积分得通解;
r3y2+exp(a;
)(x2—2a;
+2)=c.
8)(工2—1_—|—xy——0
将方程分组成(a;
2+a;
)dx+{y�dx+xydy)=0,凑微分得
{x�+x)dx+(2a;
)"
i
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