高等数学同济版第四章教案培训资料.docx
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高等数学同济版第四章教案培训资料
授课教案
课程名称:
高等数学
授课专业:
总学时:
开课单位:
制定人:
审核人:
制定时间:
教案
授课学时
2学时
课型
新授课
教学内容(章节)
第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质
教学目标
掌握不定积分的概念
教学重、难点
掌握不定积分的概念
教学方法及手段
讲练结合法/板书教学
教学准备
教材,辅助教材
1、教学过程:
原函数与不定积分的概念
定义1如果在区间上,可导函数的导函数为,即对任一,都有或,
那么函数就称为(或)在区间上的原函数。
原函数存在定理如果函数在区间上连续,那么在区间上存在可导函数,使对任一,都有.
简单的说就是:
连续函数一定有原函数.
下面还要说两点
第一,如果在区间上有原函数,即有一个函数,使对任一,都有,那么,对任何常数,显然也有,
即对任何常数,函数也是的原函数。
这说明,如果有一个原函数,那么就有无限多个原函数.
第二,如果在区间上是的一个原函数,那么的其他原函数与有什么关系?
设是的另一个原函数,即对任一有,
于是
备注:
在第三章第一节已经知道,在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以
,(为某个常数)
这表明与只差一个常数.因此,当为任一的常数时,表达式
就可以表示的任意一个原函数。
也就是说,的全体函数所组成的集合,就是函数族.
由以上两点说明,我们引进下述定义
定义2在区间上,函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间上的不定积分,记作
其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量.
由此定义及前面的说明可知,如果是在区间上的一个原函数,那么在区间上就是的不定积分,即
.
因而不定积分可以表示的任意一个原函数.
例2求
解,即是的一个原函数。
例3求
解时,有,所以在内的一个原函数是
时,有,所以在内的一个原函数是
在上,的原函数是
从不定积分的定义,即可知下述关系:
由于是的原函数,所以
或
又由于是的原函数,所以
或记作,
由此可见,微分运算(以记号表示)与求不定积分的运算(简称积分运算,以记号表示)是互逆的。
当记号与连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数.
一、基本积分表
(是常数),
2、不定积分的性质
性质1设函数及的原函数存在,则
性质2设函数的原函数存在,为非零常数,则
例5求
解
例6求
解
例7求
解
例8求
解
练习设计
课后习题2(1-6)
教学反思
与学生一起做练习,边讲边练
注:
1.每2学时至少制定一个教案。
2.课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3.上新课和新上课的教师要求写详案。
4.要求教师上课必带教案。
5.“备注”填写历年更新的内容(手写)。
6.教案可带附件(课程内容补充材料)。
教案
授课学时
2学时
课型
新授课
教学内容(章节)
第四章不定积分第二节换元积分法(第一换元积分法)
教学目标
应用第一类换元积分法和求函数的积分
教学重、难点
掌握第一类换元积分法使用条件
教学方法及手段
探究式,讲练结合法/板书教学
教学准备
教材,辅助教材
教学过程
1、第一类换元积分法
定理1设具有原函数,可导,,则
不难看出:
第一换元法是复合函数求导法则的逆运算,也是微分运算的逆运算,目的是将凑成中间变量的微分,转化成对中间变量的积分。
例1求
解:
例2求
解:
例3求
解:
例4求
解
例5
解
例6
解
注意:
例4,例5,例6当被积函数分母是二次三项式时,针对根的情况的不同处理方法。
除了以上的类型,利用,有如下例题。
例7求
解,即
例8求
解
例9求
解
例10求
解,则
利用,,有:
例11求
解
例12求
解
例13求
解
例14求
解
利用,有:
例15求
解
例16求
解
练习设计
课后习题2(1-10)
教学反思
与学生一起做练习,边讲边练
注:
1.每2学时至少制定一个教案。
2.课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3.上新课和新上课的教师要求写详案。
4.要求教师每学期上交教案。
教案
授课学时
2学时
课型
新授课
教学内容(章节)
第四章不定积分第二节换元积分法(第一换元积分法)
教学目标
应用第一类换元积分法和求函数的积分
教学重、难点
掌握第一类换元积分法使用条件
教学方法及手段
探究式,讲练结合法/板书教学
教学准备
教材,辅助教材
教学过程
2、第一类换元积分法
定理1设具有原函数,可导,,则
不难看出:
第一换元法是复合函数求导法则的逆运算,也是微分运算的逆运算,目的是将凑成中间变量的微分,转化成对中间变量的积分。
利用三角函数的微分公式:
;;;。
有:
例17求
解
例18求
解
例19求
解
另解
例20求
解;
利用,有:
例21求
解
例22求
解
由以上例题可以看出,第一换元法是一种非常灵活的计算方法,始终贯穿着“逆向思维”的特点,因此对初学者较难适应,学生应熟悉这些基本例题。
当然也有一些题,它不属于这些基本题型,但我们也可以通过观察找到解题的途径。
例23
解注意到:
例24
解
例25
例26
例27
例28
例29
例30
练习设计
课后习题2(11-30)
教学反思
与学生一起做练习,边讲边练
注:
1.每2学时至少制定一个教案。
2.课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3.上新课和新上课的教师要求写详案。
4.要求教师每学期上交教案。
教案
授课学时
2学时
课型
新授课
教学内容(章节)
第四章不定积分第2节换元积分法(第二换元法)
教学目标
掌握第二换元法
教学重、难点
掌握第二换元法
教学方法及手段
讲练结合法/板书教学
教学准备
教材,辅助教材
教学过程:
定理2设是单调,可导的函数且,又设有原函数,则
证明单调,可导,存在反函数,且
是是一个原函数
第二换元法,常用于如下基本类型
类型1:
被积函数中含有(),可令(并约定)则;可将原积分化作三角有理函数的积分
例1求
解令,则
例2求
备注:
解令,则,
类型2:
被积函数中含有可令并约定,则;;可将原积分化为三角有理函数的积分。
例3求,
解:
令,,则
,,因此有
其中。
例4求
解当时,设,,则
因此
又由于
,
得
其中。
当时,令,则,因此
其中。
综合得
例5求
解:
练习设计
课后习题2(31-44)
教学反思
与学生一起做练习,边讲边练
注:
1.每2学时至少制定一个教案。
2.课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3.上新课和新上课的教师要求写详案。
4.要求教师上课必带教案。
5.“备注”填写历年更新的内容(手写)。
6.教案可带附件(课程内容补充材料)。
教案
授课学时
2学时
课型
新授课
教学内容(章节)
第四章不定积分第三节分部积分法
教学目标
掌握分部积分法
教学重、难点
掌握分部积分法
教学方法及手段
讲练结合法/板书教学
教学准备
教材,辅助教材
教学过程:
设,,则有
或
两端求不定积分,得
或
即
(3-1)
或(3-2)
公式(3-1)或(3-2)称为不定积分的分部积分公式。
例1求
解,如果设,,有
备注:
例2
例3求
解
再一次用分部积分,有:
注1:
由例1和例2可以看出,当被积函数是幂函数与正弦(余弦)乘积或是幂函数与指数函数乘积,做分部积分时,取幂函数为,其余部分取为。
由于指数(三角)函数凑进仍是指数(三角)函数的微分,而对求导时,将使幂函数的次数降低。
故对此类型一般是将作为把指数(三角)函数当作,其“凑微分”的方法是:
,……
设,,则有
或
两端求不定积分,得
或
即
(3-1)
或(3-2)
公式(3-1)或(3-2)称为不定积分的分部积分公式。
例1求
解:
例2求
解把作为,作为
例3求
解:
例4求
解
例5求
解
练习设计
课后习题1
教学反思
与学生一起做练习,边讲边练
注:
1.每2学时至少制定一个教案。
2.课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3.上新课和新上课的教师要求写详案。
4.要求教师上课必带教案。
5.“备注”填写历年更新的内容(手写)。
6.教案可带附件(课程内容补充材料)。
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