最新湘教版初中数学下册 第1章 二次函数 导学案Word文档格式.docx
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A.正方形的周长y与边长x
B.速度一定时,路程s与时间t
C.三角形的高一定时,面积y与底边长x
D.正方形的面积y与边长x
2.关于x的函数y=(m+1)x2+(m-1)x+m,当m=0时,它是________函数;
当m=-1时,它是________函数.
3.三角形一边上的高等于此边的两倍,如果设此边长为x,三角形的面积为S,则S与x之间的函数表达式是________________________________________________________________________.
4.正方形边长为3,若边长增加x,则面积增加y,y与x的函数表达式为________________.
5.当m为何值时,函数y=(m2+m)xm2-2m-1是二次函数?
注意二次函数的一般形式中二次项系数不能为0.
活动3 课堂小结
学生试述:
这节课你学到了些什么?
【预习导学】
知识探究
1.二 2.y=ax2+bx+c x 二次项 一次项 常数项 所有实数
自学反馈
1.A 2.1 4 0
【合作探究】
1.D 2.二次 一次 3.S=x2 4.y=x2+6x 5.根据二次函数的定义,得m2-2m-1=2,解得m=-1或m=3.又∵m2+m≠0,∴m≠0且m≠-1.∴当m=3时,这个函数是二次函数.
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质
1.会用描点法画函数y=ax2(a>0)的图象,并根据图象理解、掌握其性质.
2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a>0)的图象和性质解决简单的实际问题.
阅读教材P5~7,自学“例1”,学会用描点法画出函数y=ax2(a>0)的图象,理解其性质.
1.一般地,当a>0时,y=ax2的图象是一条曲线,它的开口向________,对称轴是________,对称轴与图象的交点是____________;
升降性是“左________右________”;
当x=________时,函数值最小,最小值为________.
2.画y=ax2(a>0)的图象时,可以先画出图象在y轴右边的部分,然后利用________性,画出图象在y轴左边的部分.在画右边部分时,只需“列表、________、________”三个步骤.
在同一坐标系中画出函数y=x2、y=
x2和y=2x2的图象,然后回答下列问题:
根据y≥0,可得出y有最小值,此时x=0,所以以(0,0)为对称点,再对称取点.
(1)观察上述图象的特征:
形状是________________,开口________,图象关于________对称,其顶点坐标是________,其顶点是____________(最高点或最低点).
(2)找出上述三条抛物线的异同:
______________________________________________________________.
可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律.
例 已知函数y=(k+2)xk2+k-4是关于x的二次函数.
(1)求k的值;
(2)k为何值时,抛物线有最低点,最低点是什么?
在此前提下,当x在哪个范围内取值时,y随x的增大而增大?
此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的,由二次函数定义列出关于k的方程,进而求出k的值,然后根据k+2>0,求出k的取值范围,最后由y随x的增大而增大,求出x的取值范围.
(1)由已知得
解得k=2或k=-3.
所以当k=2或k=-3时,函数y=(k+2)xk2+k-4是关于x的二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2>0.
由
(1)知k=2,最低点是(0,0),当x≥0时,y随x的增大而增大.
抛物线y=ax2中,当a>
0时,开口向上,图象在对称轴右边的部分,函数值随自变量取值的增大而增大.
1.下列在二次函数y=x2图象上的点是()
A.(1,0)B.(0,1)
C.(1,-1)D.(-1,1)
2.已知点A(1,y1),B(2,y2)在二次函数y=
x2图象上,则y1,y2的大小关系是()
A.y1<y2B.y1>y2
C.y1=y2D.y1与y2的大小关系不确定
3.关于函数y=3x2的性质的叙述,错误的是()
A.图象最低点是原点
B.y有最大值
C.当x>
0时,y随x的增大而增大
D.当x<
0时,y随x的增大而减小
4.二次函数y=ax2的图象经过点(2,4),则a=________.
5.对于函数y=x2,点(1,________)在函数图象上,点(-1,________)在函数图象上,即点(m,________),(-m,________)均在这个函数的图象上.由此可知:
二次函数y=x2的图象关于________对称.
6.画二次函数y=
x2的图象,并回答下列问题:
(1)当x=1时,函数值y是多少?
(2)当y=1时,x的值是多少?
(3)当x取何值时,y有最小值,最小值是多少?
(4)当x>
0时,y随x的增大怎样变化?
当x<
0时呢?
1.上 y轴 原点(0,0) 降 升 0 0 2.对称 描点 连线
(1)抛物线 向上 y轴 (0,0) 最低点
(2)开口向上,关于y轴对称,顶点坐标为(0,0)
1.D 2.A 3.B 4.1 5.1 1 m2 m2 y轴 6.图略.
(1)y=
.
(2)±
. (3)x=0时,y有最小值,最小值是0.(4)当x>
0时,y随x的增大而增大,当x<
0时,y随x的增大而减小.
第2课时 二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质
1.会用描点法画函数y=ax2(a<0)的图象,并根据图象理解、掌握其性质.
2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a<0)的图象与性质解决简单的实际问题.
阅读教材P7~10,自学“例2”,掌握用描点法画出函数y=ax2(a<0)的图象,理解其性质.
1.一般地,当a<0时,y=ax2的图象是一条曲线,它的开口向________,对称轴是________,对称轴与图象的交点是________________;
当x=________时,函数值最大,最大值为________.画图象时,可结合其对称轴,利用________性画图.
2.二次函数y=ax2的图象都是________________,且关于________对称,抛物线与它的对称轴的交点(0,0)叫作抛物线y=ax2的________.
在同一坐标系中画出函数y=-x2、y=-
x2和y=-2x2,并找出它们图象的异同.
例 已知二次函数y=-
x2,画出这个函数的图象.
(1)当x=2时,函数值y是多少?
(2)当y=-2时,x的值是多少?
(3)当x取何值时,y有最大值,最大值是多少?
0时,y随x的增大而怎样变化?
函数的图象略.
(1)-
. (3)x=0时,y有最大值,最大值是0. (4)当x>
0时,y随x的增大而减小;
0时,y随x的增大而增大.
0时,开口向上;
当a<
0时,开口向下,a越大,开口越小.
1.下列二次函数中:
①y=-
x2;
②y=3x2;
③y=-
④y=-
x2,图象开口向下的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知点A(2,y1),B(3,y2)在抛物线y=-
x2上,则y1,y2的大小关系是()
3.抛物线y=-
x2不具有的性质是()
A.开口向下
B.当x>
C.对称轴是y轴
D.有最小值
4.函数y=-3x2的图象的顶点坐标是________,此函数的最大值是________.
5.若二次函数y=(a-3)x2的图象的开口向下,则a的取值范围是________________.
1.下 y轴 原点(0,0) 升 降 0 0 对称 2.抛物线 y轴 顶点
略
1.C 2.B 3.D 4.(0,0) 0 5.a<
3
第3课时 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2的图象.
2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律.
阅读教材P10~12,自学“探究”与“例3”,掌握y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质.
1.二次函数y=a(x-h)2的图象是____________,它的对称轴是________________,顶点坐标是________.当a>
0时,抛物线的开口向________;
0时,开口向________.画图象时,可结合其对称轴,利用____________画图.
2.当h>0时,二次函数y=ax2的图象向________平移h个单位,得到y=a(x-h)2的图象;
当h<0时,二次函数y=ax2的图象向________平移|h|个单位,得到y=a(x-h)2的图象.
1.下列抛物线中,对称轴是直线x=1的是()
A.y=-(x-1)2B.y=(x+1)2
C.y=-(x+1)2D.y=x2
2.已知抛物线
(1)y=3(x-3)2,
(2)y=3(x+3)2,(3)y=3x2,试说明它们两两之间通过怎样平移得到?
例 在直角坐标系中画出函数y=
(x+3)2的图象.
(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)根据图象回答:
当x取何值时,y随x的增大而减小?
当x取何值时,y随x的增大而增大?
当x取何值时,y取最大值或最小值?
(3)怎样平移函数y=
x2的图象得到函数y=
(x+3)2的图象?
如图所示.
(1)对称轴是直线x=-3,顶点坐标为(-3,0).
(2)当x<
-3时,y随x的增大而减小;
当x>
-3时,y随x的增大而增大;
当x=-3时,y有最小值.
(3)将函数y=
x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y=
二次函数的增减性以对称轴为分界,画图象取点时以顶点为分界对称取点.
1.二次函数y=x2的图象向左平移3个单位,得到新的图象的函数表达式是()
A.y=x2+3B.y=x2-3
C.y=(x+3)2D.y=(x-3)2
2.已知二次函数y=(x-3)2.
(2)当y=9时,x的值是多少?
(3)当x在什么范围内,y随x的增大而增大;
当x在什么范围内,y随x的增大而减小?
(4)这个函数有最大值还是最小值,最大值或最小值是多少?
这时x的值是多少?
性质从增减性、最值来描述.
1.利用探究y=ax2的图象与性质的方法探究y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质.
2.体会类比探究的方法.
1.抛物线 直线x=h (h,0) 上 下 对称性 2.右 左
1.A 2.由y=3(x-3)2得到y=3(x+3)2:
向左平移6个单位;
由y=3(x-3)2得到y=3x2:
向左平移3个单位;
由y=3(x+3)2得到y=3(x-3)2:
向右平移6个单位;
由y=3(x+3)2得到y=3x2:
向右平移3个单位;
由y=3x2得到y=3(x-3)2:
由y=3x2得到y=3(x+3)2:
向左平移3个单位.
1.C 2.
(1)4.
(2)0或6. (3)当x>3时,y随x的增大而增大;
当x<3时,y随x的增大而减小. (4)这个函数有最小值,最小值是0,这时x的值是3.
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2+k的图象.
2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.
阅读教材P13~15,自学“探究”与“例4”“例5”,掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2+k的相关性质.
1.填表:
抛物线
y=a(x-h)2+k
对称轴
顶点坐标
开口方向
性质
在对称轴
的左边
的右边
a>
0,x=____,____,向____,y随x的增大
而____,y随x的增大
而____
a<
而____ 2.画二次函数y=a(x-h)2+k的图象时:
(1)写出并画出________________和________________;
(2)列表、描点和连线,画出图象在对称轴右边的部分;
(3)利用________性,画出图象在对称轴左边的部分.
画二次函数y=-(x+1)2-2的图象,并指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位长度后,又沿y轴向下平移2个单位长度,得到抛物线的表达式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的表达式.
平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓住顶点的变化,根据平移规律可求出原抛物线顶点,从而得到原抛物线的表达式.
抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为(-1,-4),它是由原抛物线向右平移3个单位,向下平移2个单位而得到的,所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为(-4,-2).故原抛物线的表达式为y=-3(x+4)2-2.
抛物线平移不改变形状及大小,所以a值不变,平移时抓住关键点:
顶点的变化.
例2 已知某抛物线的顶点坐标为(-2,1),且与y轴相交于点(0,4),求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
由于点(-2,1)是该抛物线的顶点,可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1.
由函数图象过点(0,4),可得
4=a(0+2)2+1,
解得a=
.
因此,所求的二次函数的表达式为
y=
(x+2)2+1=
x2+3x+4.
1.下列抛物线中,顶点为(2,3)的是()
A.y=-
(x-2)2-3B.y=-
(x+2)2-3
C.y=-
(x-2)2+3D.y=-
(x+2)2+3
2.抛物线y=2(x+5)2-1可以由抛物线y=2x2平移得到,则下列平移过程正确的是()
A.先向左平移5个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向左平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.先向右平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.先向右平移5个单位长度,再向上平移1个单位长度
3.函数y=(x-1)2+3的最小值为________.
4.抛物线y=-
(x+1)2-3的对称轴是__________,当________时,y随x的增大而增大.
5.已知二次函数图象的顶点坐标是(-1,2),且过点(0,-2).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)m为任意实数,试判断点P(m-1,-4m2+2)是否在这个二次函数的图象上.
1.本节所学的知识:
二次函数y=a(x-h)2+k的图象画法及其性质的总结;
平移的规律.
2.所用的思想方法:
从特殊到一般.
1.h (h,k) 上 减小 增大 h (h,k) 下 增大 减小 2.
(1)对称轴 顶点坐标 (3)对称
画图略,图象开口向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(-1,-2).
1.C 2.B 3.3 4.直线x=-1 x<-1 5.
(1)设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2,把点(0,-2)代入,得-2=a·
(0+1)2+2,解得a=-4.∴这个二次函数的表达式为y=-4(x+1)2+2.
(2)当x=m-1时,y=-4(m-1+1)2+2=-4m2+2.所以点P(m-1,-4m2+2)在这个二次函数的图象上.
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象,并掌握其性质.
2.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值或最小值.
阅读教材P15~17,自学“动脑筋”“说一说”和“例6”,掌握将一般式化成顶点式的方法.
二次函数y=ax2+bx+c经过配方可化为y=a(x+
)2+
.当x=________(顶点的________坐标)时,函数达到最大值(当a<
0)或最小值(当a>
0),这个最大(小)值=________(顶点的________坐标).
1.将函数y=x2+6x+7进行配方正确的结果应为()
A.y=(x+3)2+2B.y=(x-3)2+2
C.y=(x+3)2-2D.y=(x-3)2-2
2.抛物线y=x2-4x-2的顶点坐标是()
A.(2,6)B.(-2,-6)
C.(-2,6)D.(2,-6)
3.将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线表达式是()
A.y=(x-4)2+4B.y=(x-4)2-2
C.y=(x-2)2-2D.y=(x-1)2-3
例 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,并写出其开口方向、顶点坐标及对称轴.
(1)y=
x2-6x+21;
(2)y=-2x2-12x-22.
x2-6x+21=
(x2-12x)+21=
(x2-12x+36-36)+21=
(x-6)2+3.
∴此抛物线的开口向上,顶点坐标为(6,3),对称轴是直线x=6.
(2)y=-2x2-12x-22=-2(x2+6x)-22=-2(x2+6x+9-9)-22=-2(x+3)2-4.
∴此抛物线的开口向下,顶点坐标为(-3,-4),对称轴是直线x=-3.
第
(2)小题注意h值的符号;
配方法是数学里的一个重要方法,需多加练习,熟练掌握;
抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,顶点坐标为(1,0),那么该抛物线有()
A.最小值1B.最大值1
C.最小值0D.最大值0
2.二次函数y=ax2-2x+1的图象经过点(1,2),则其图象开口向________.
3.二次函数y=x2+2x-3的图象的对称轴是直线________.
4.对于二次函数y=-x2-4x+1,当x=________时,y的最大值为________.
5.已知下列函数:
①y=x2;
②y=-x2;
③y=(x-1)2+2.其中,图象经过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有________.(填序号)
先将此函数表达式化成顶点式,再解决其他问题.在画函数图象时,要在顶点的两边对称取点,画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征.
-
横
纵
1.C 2.D 3.A
1.C 2.上 3.x=-1 4.-2 5 5.①③
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
1.能用待定系数法列方程组求二次函数表达式.
2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式,合理设函数表达式,使计算过程简便.
阅读教材P21~22,自学“例1”“例2”,掌握用待定系数法求二次函数的表达式.
二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因此,要确定这个表达式,就需要确定a,b,c的值.如果已知二次函数图象上三个点的坐标,将它们代入函数表达式,列出一个关于待定系数a,b,c的________________方程组,求出a,b,c的值,就可以确定二次函数的表达式.
1.过点(
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