四川省成都市届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题wordWord格式文档下载.docx
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D.
6.
x1x2的展开式中
x的系数为().
A.25B.5C.-15D.-20
7.如图,网格上纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的外接球的表面
积为().
A.136B.34C.25D.18
8.将函数fxsin2x3cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上
所有点向右平移
6
个单位长度,得到函数gx的图象,则gx图象的一条对称轴方程是().
xB.
xC.
xD.
x
9.在直三棱柱
ABCABC中,平面与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1//平
111
面.有下列三个命题:
①四边形EFGH是平行四边形;
②平面//平面
BCCB;
③平面平面BCFE.
11
其中正确的命题有().
A.①②B.②③C.①③D.①②③
10.已知A,B是圆
O:
xy4上的两个动点,
52
ABOCOAOB.若M是线段AB的中点,
2,,
33
则OCOM的值为().
A.3B.23C.2D.-3
11.已知函数fx是定义在R上的偶函数,且fx1fx1,当x1,0时,
fxx.则关
于x的方程fxcosx在
51
上的所有实数解之和为().
A.-7B.-6C.-3D.-1
12.已知曲线
C1:
ytxy0,t0在点
M
4
t
2
处的切线与曲线
x1
C2:
ye1也相切,则
ln
4e
的
值为().
4eB.8eC.2D.8
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.若复数
z
ai
i
(其中aR,i为虚数单位)的虚部为-1,则a____________.
14.我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理(祖恒原理):
“幂势既同,则积不容异”.“势”即
是高,“幂”是面积.意思是:
如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何
体的体积相等.类比祖恒原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图1是一个形状不规则的封闭图形,图2
是一个上底为1的梯形,且当实数t取0,3上的任意值时,直线yt被图1和图2所截得的两线段长始终
相等,则图1的面积为____________.
2xy40
x2y20
x10
,则
y1
x
15.若实数x,y满足约束条件
的最小值为
____________.
16.已知ABC中,AC2,BC6,ABC的面积为
.若线段BA的延长线上存在点D,使
BDC,则CD____________.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知数列
a满足a12,an12an4.
n
(1)证明数列a4是等比数列;
(2)求数列an的前n项和
S.
18.(本小题满分12分)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.
各等制划分标准为:
85分及以上,记为A等;
分数在70,85内,记为B等;
分数在60,70内,记为C等;
60分以下,记为D等.同时认定A,B,C为合格,D为不合格.已知甲,乙两所学校学生的原始成绩均分布
在50,100内,为了比较两校学生的成绩,分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照
50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示,乙校的
样本中等级为C,D的所有数据茎叶图如图2所示.
(1)求图中x的值,并根据样本数据比较甲乙两校的合
格率;
(2)在选取的样本中,从甲,乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研,用X表示所抽取
的3名学生中甲校的学生人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,G
BR
为BD中点,点R在线段BH上,且0
RH
.现将AED,CFD,DEF分别沿DE,DF,EF折
起,使点A,C重合于点B(该点记为P),如图2所示.
(1)若2,求证:
GR平面PEF;
(2)是
否存在正实数,使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为
?
若存在,求出的值;
若不存在,
请说明理由.
20.(本小题满分12分)已知椭圆
54
1的右焦点为F,设直线l:
x5与x轴的交点为E,过点F
且斜率为k的直线
l与椭圆交于A,B两点,M为线段EF的中点.
(1)若直线
l的倾斜角为
,求ABM
的面积S的值;
(2)过点B作直线BNl于点N,证明:
A,M,N三点共线.
21.(本小题满分12分)已知函数
fxxxaxaaR.
(1)当x0时,求函数
ln12,
gxfxlnx1x的单调区间;
(2)当aZ时,若存在x0,使不等式fx0成立,求
a的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为的直线l的参数方程为
x1tcos
ytsin
(t为参数).以坐
标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是
cos4sin0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)已知点P1,0.若点M的极坐标为1,,直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB
的中点为Q,求PQ的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数fxx13x,x1.
(1)求不等式fx6的解集;
(2)若fx的最小值为n,正数a,b满足2naba2b,求2ab的最小值.
参考答案
一、选择题
题号123456789101112
答案BABCBCBDCAAD
二、填空题
13.-214.
15.
16.3
三、解答题
17.解:
(1)∵
a12,∴a142...................................1分
当n1时,
a120,∴S1a12;
...........................8分
当n2时,a0,
∴Sna1a2an....................9分
2n2n
224242224n1
212
12
n1
4n124n2
,,,,,,,,,,11分
又当n1时,上式也满足.
∴当
*
nN时,
S24n2....................12分
18.解:
(1)由题意,可知10x0.012100.056100.018100.010101,
∴x0.004................2分
∴甲学校的合格率为1100.0040.96........................3分
而乙学校的合格率为
10.96
50
.................4分
∴甲、乙两校的合格率均为96%................5分
(2)样本中甲校C等级的学生人数为0.01210506....................6分
而乙校C等级的学生人数为4.
∴随机抽取3人中,甲校学生人数X的可能取值为0,1,2,3...........7分
∴
312213
C1CC3CC1C1
464646
PX0,PX1,PX2,PX3
3333
C30C10C2C6
10101010
,
∴X的分布列为
X0123
P
30
10
......................................11分
数学期望
3119
EX123.................12分
10265
19.解:
(1)由题意,可知PE,PF,PD三条直线两两垂直.................1分
∴PD平面PEF...............3分
在图1中,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF//AC,∴GB2GH.
PRBR
又∵G在BD的中点,∴DG2GH.在图2中,∵2
RHRH
DG
,且2
GH
∴在PDH中,GR//PD.........................5分
∴GR平面PEF......................6分
(2)由题意,分别以PF,PE,PD所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.
设PD4,则P0,0,0,F2,0,0,E0,2,0,D0,0,4.∴H1,1,0.........7分
∵
PR
,∴
PRPH,∴R,,0.
RF2,,0,,0....................8分
1111
又∵EF2,2,0,DE0,2,4,设平面DEF的一个法向量为mx,y,z.
由
EFm
DEm
2x2y0
2y4z0
.取z1,则m2,2,1..................9分
∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为
cosm,RF
mRF
1
2222
222
322
.........11分
91870,解得
或
(不合题意,舍去)
故存在正实数
,使得直线FR与平面DEF所成有的正弦值为
..........12分
20.解:
(1)由题意,知F1,0,E5,0,M3,0,设
Ax1,y1,Bx2,y2.........1分
∵直线
,∴k1.
∴直线l1的方程为yx1,即xy1......................2分
代入椭圆方程,可得
9y8y160.....................................3分
816
yy,yy...........................4分
1212
99
1816810
SFMyyyy4yy4.........6分
ABM121212
2999
(2)设直线
l的方程为ykx1.
代入椭圆方程,得
45kx10kx5k200,,,,,,,,,8分
则
10k5k20
xx,xx
122122
45k45k
.....................9分
∵直线BNl于点N,∴
N5,y.∴
yy
k,k
AMMN
3x2
.
而y23x12y1kx213x12kx11kx1x23x1x25
k
5k2010k
350
.......................11分
kk,故A,M,N三点共线.................12分
21.解:
(1)∵gxx1lnx11ax2ax0,
∴gxlnx12a............................1分
∴当2a0,即a2时,gx0对x0,恒成立,
此时,gx的单调递增区间为0,,无单调递减区间.................2分
当2a0即a2时,由gx0,得
a
21
xe;
由gx0,得
a2
0xe1.
此时,gx的单调递减区间为
0,e1,单调递增区间为
21,
e,,,3分
综上所述,当a2时,gx的单调递增区间为0,,无单调递减区间;
当a2时,gx的单调递减区间为
e..........4分
(2)由fx0,得
x1axlnx1x2,
当x0时,上式等价于
xlnx1x2
2
.....................5分
令
2,0
hxx
据题意,存在x0,使fx0成立,则只需
ahx................6分
min
hx
113
lnx1x1xlnx1x2lnx1x
x1222
x1x1
...........7分
又令
uxlnx1x,显然ux在0,上单调递增.
而
31
u00,u1ln20,
∴存在
x00,1,使
ux,即00
00lnx1x,,,,,,9分
又当
xx时,hx0,hx单调递减;
当
00,0
xx,时,hx0,hx单调递增.
xx时,hx有极小值(也是最小值).
hxhx
xxx
xxx
ln12222
000
00
x2x21
x14
...................10分
x00,1,即x011,2,∴x0
15
12,
x12
hx,2..........11分
又∵ahx0,且aZ,∴a的最小值为2......................12分
22.解:
(1)∵直线l的参数方程为
(t为参数),
∴直线l的普通方程为ytanx1....................2分
cos4sin0,得
2cos24sin0,即x24y0,
∴曲线C的直角坐标方程为x24y.............................4分
(2)∵点M的极坐标为1,,∴点M的直角坐标为0,1...............5分
∴tan1,直线l的倾斜角
∴直线l的参数方程为
x1t
yt
(t为参数)...................7分
代入
24
xy,得
26220
tt.....................8分
设A,B两点对应的参数为
t1,t2.
tt62
∵Q为线段AB的中点,∴点Q对应的参数值为12
32
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