高考数学 导数 知识汇总Word下载.docx
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=f´
x是自变量x在处的改变量,所以x可正、可负,但不能为0.当x>0(或<0)时,x→0表示x从右边(或从左边)趋近于y是相应函数的改变量,y可正、可负、也可为0.
求函数y=f(x)在点处的导数的步骤如下:
(1)求函数的增量y=f(+x)-f();
(2)求函数的平均变化率:
=;
(3)取极限,求得f´
()=.
4.2导函数
如果f(x)在区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)可导,这样对于区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f´
(x).于是,在区间(a,b)内,f´
(x)构成一个新的函数,叫做y=f(x)的导函数,计作f´
(x)或y´
.导函数通常简称导数.
求函数在某一点处的导数,一般是先求处函数的导函数,再计算这点的导函数值.
注意区分函数y=f(x)“在的导数”、“导函数”、“导数”.
函数在的导数表示在点函数的改变量与自变量的比的极限,它是一个数值,不是变数;
导函数是如果函数f(x)在区间(a,b)可导,这样对于区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f´
(x),而构成一个新的函数y=f´
(x);
导函数简称导数,于是
导数.
5.导数的几何意义
设函数y=f(x)的图像如下图所示.P是曲线的一条割线,其斜率为
可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.当沿曲线趋近于点P时,其最终位置为曲线在点P的切线,此时
,切线的斜率为
由导数意义可知,曲线y=f(x)在点(,f())的切线的斜率等于f´
我们用割线的极限位置来定义切线,而不说“与曲线只有一个公共点的直线是切线”.以前我们学过圆的切线:
直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线.圆是一种特殊的曲线,如果将圆的切线定义推广到一般曲线,显然是不合适的.观察下图
虽然直线l与曲线有唯一公共点,但是我们不能说l与曲线相切;
而尽管直线m与曲线有不止一个公共点,我们却可以说直线m与曲线相切.因此,对于一般曲线不能以公共点个数来界定直线与曲线相切与否.
6.利用导数的几何意义求曲线的切线方程
6.1利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
第一步:
求出函数y=f(x)在点处的导数f´
();
第二步:
根据直线的点斜式方程,得切线方程为
y-=f´
()(x-).
特别地,若切线平行于y轴(即倾斜角为),此时导数不存在,曲线在点(,f())处的切线方程是x=.
观察图像易知,f´
()>0则切线的倾斜角为锐角;
f´
()<0则切线与x轴正向的夹角为钝角;
()=0则切线与x轴平行.
函数在某点可导是曲线在该点存在切线的充分不必要条件,如果函数在某一点不可导,则可利用切线的定义来求切线方程.
过某一点P的切线与在点P处的切线是不同的概念,过点P的切线不一定以点P为切点,在点P处的切线是以点P为切点的直线,注意不要混淆.
6.2几种常见曲线的切线方程
(1)过圆(x-a)²
+(y-b)²
=r²
上过一点()的切线方程为(-a)(x-a)+(-b)(y-b)=r²
.
特例,当a=b=0时,即圆心在坐标原点,此时,过点()的切线方程为x+y=r²
(2)过椭圆+=1上的一点()的切线方程为+=1.
(3)过双曲线=1上的一点()的切线方程为=1.
(4)过抛物线=2px上的一点()的切线方程为).
7.几个常用函数的导数
7.1常数函数y=f(x)=c的导数
y´
=.
=0的几何意义为函数y=c图像上每一点处的切线的斜率都为0,.其物理意义为若y=c表示路程关于时间的函数,则y´
=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.
7.2函数y=x的导数
==1.
同理,对于y=2x,y´
=2;
对于y=3x,y´
=3……
对于y=x,y´
=1表示函数y=x图像上每一点处的切线斜率都是1.
函数y=kx(k>0)增加的快慢与k有关,即与函数的导数有关系.k越大,函数增加得越快;
k越小,函数增加的越慢.
函数y=kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝对值有关系.|k|越大,函数减少得越快;
|k|越小,函数减少得越慢.
7.3函数y=f(x)=x²
的导数.
====(2x+)+2x
7.4函数y=f(x)=的导数
=====-.
函数y=的图像如:
结合函数图像及其导数y´
=-发现,当x<0时,随着x的增加,函数y=减少的越来越快;
当x>0时,随着x的增加,函数减少得越来越慢;
7.5函数y=的导数
设y=f(x)=(x>0),
=====(x>0)
由y´
=可知,函数y=的图像上没一地啊n的切线斜率都大于零(不包括原点).
8.基本初等函数的导数公式
y=f(x)
=f´
(x)
y=c(c为常数)
=0
y=(n∈N+)
=n,n为正整数
y=(x>
0,≠0且∈Q)
=,为有理数
y=(a>
0,a≠1)
y=
y=(a>
0,a≠1,x>
0)
=-
以上公式是进行导数运算的基础,务必要熟练掌握.上述公式可划分为四类,第一类是幂函数y´
=()´
=;
第二类为指数函数y´
=(,(=是一个特例;
第三类为对数函数y´
=(=,(是对数函数的一个特例;
第四类为三角函数,可记为正弦函数的导数为余弦函数,余弦函数的导数为正弦函数的相反数.
对于公式()=和(=很好记,但对于()和
()´
=的记忆就比较难,应从以下几个方面加深对公式的理解和记忆:
(1)区分公式的结构特征,从纵的方面区分()与(),和(与()´
,找出差异,记忆公式;
(2)对公式(),用()和复合函数求导法则证明来帮助记忆,即求证对数函数求导公式
()
证明如下:
()=()´
=·
这样知道了()中的来历,对于公式的记忆和区分是很有必要的.
9.导数的四则运算
9.1函数和或差的求导法则
设函数f(x),g(x)是可导的,则
(f(x)±
g(x))´
(x)±
g´
(x).
即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数和(或差).这个法则可以推广到任意有限个函数,即
(.
9.2函数积的求导法则
(f(x)g(x))´
(x)g(x)+f(x)g´
即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第二个函数的导数.
另,[Cf(x)]´
=Cf´
(x).(C为常数)
切忌与函数和(或差)的公式混淆,(f(x)g(x))´
≠f´
(x)g´
(x),与(f(x)±
(x)要分清.
9.3函数的商的求导法则
设函数f(x),g(x)是可导的,g(x)≠0,则
[]=.
特别地,当f(x)≡1时,有
注意f´
()与(f())´
的区别.f´
()代表函数f(x)在x=处的导数值,不一定为0;
而(f())´
是函数值f()的导数,而f()是一个常量,其导数值一定为0,即(f())´
=0.
9.4复合函数的求导法则
由几个函数复合而成的函数,叫做复合函数.由函数y=f(u)与u=(x)复合而成的函数一般形式是y=f((x)),其中,u称为中间变量.
设函数u=(x)在点x处可导,函数y=f(u)在点x对应点u处也可导,则复合函数y=f((x))在点x处也可导,且=·
或((x))=f´
(u)(x).
注意:
(1)要弄清复合函数的结构关系,分清它是由哪些基本函数复合而成的,选择合适的中间变量;
判断复合函数复合关系时,一般是从外向里分析,最外层的主题函数结构是以基本函数为主要形式,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,直到最里层应是关于自变量的基本函数或关于自变量的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数.
(2)复合函数求导方法:
①将复合函数的复合关系一一分解;
②分步计算,每一步都要清楚是对哪个变量求导,特别要注意中间变量的导数;
③根据基本初等函数的求导公式以及运算法则求出个函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数;
④熟练掌握复合函数的求导后,中间步骤可以省略不写.
(3)上述复合函数的求导公式可以推广到有限次的复合函数求导,如:
y=f(u),u=u(t),t=t(w),w=w(x),则=.
复合函数求导法则的应用.
利用复合函数的求导法则可以求出抽象函数的导数.
例:
求证存在导函数的奇函数的导数是偶函数.
证明:
设f(x)是奇函数,即f(-x)=f(x).
两边分别对x求导数,得
(-x)·
(-x)´
=-f´
(-x),即-f´
(x)=-f´
(-x),
∴f´
(x)=f´
(-x),故命题成立.
10.利用导数判断函数的单调性
10.1对于函数f(x),在区间(a,b)内,如果>
0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;
如果<
0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减.
(1)用曲线的切线的斜率来理解法则,当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于90°
,函数曲线呈向上增加趋势;
当切线斜率为负时,切线的倾斜角大于90°
,小于180°
,函数曲线呈向下减少趋势;
(2)如果在某个区间内恒有f(x)=0.则f(x)在这个区间内等于常数;
(3)对于可导函数f(x)来说,>
0是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件,<
0是f(x)在(a,b)上单调递减的充分不必要条件.例如f(x)=在R上为增函数,但=0,所以在x=0处不满足>
0.
函数单调性的必要条件是:
函数f(x)在(a,b)内可导,若f(x)在(a,b)上单调递增(或递减),则≥0(或≤0)且(a,b)的任意子区间上都不恒为0.
10.2求可导函数单调区间的一般步骤和方法:
第一步,确定函数f(x)的定义域;
第二步,求;
第三步,在定义域内,>
0的解集对应的区间为f(x)的增区间;
<
0的解集对应的区间为f(x)的减区间.
(1)利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间;
(2)除了讨论>
0或<
0外,还要注意定义域内不连续和不可导点.
10.3用导数判断函数单调性的应用
(1)证明不等式
若证明不等式f(x)>g(x),x∈(a,b),可以转化为证明f(x)-g(x)>0.如果(f(x)-g(x))´
>0,说明函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)上是增函数.若f(a)-g(a)≥0,由增函数的定义可知,当x∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).
(2)证明有关函数根的问题
用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法,它是通过函数的变化情况,运用数形结合的思想来确定函数的图像与x轴的交点个数,最简单的一种是只有一个交点(即一个根)的情况,即函数在整个定义域内是单调函数,再结合某一个特殊值来确定f(x)=0.
(3)求函数的值域
有些函数的值域用以前学的方法有时不简便,这时我们可以考虑研究函数的单调性,特别是函数的自变量定义在某一区间上时,这时可用单调性来研究值域.
(4)求参数的值(或取值范围)
求函数y=f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f´
(x)>0,f´
(x)<0所得的x的取值集合.反过来,若已知f(x)在区间D上单调递增,求f(x)中的参数值的问题,这类问题往往转化为不等式的恒成立问题,即f´
(x)≥0在D上恒成立,求f(x)中的参数值.
11.利用导数研究函数的极值
11.1函数的极值
已知函数y=f(x),设点a是定义域(a,b)内任一点,如果对a附近的所有点x,都有f(x)<
f(a),则称函数f(x)在点a处取极大值,计作=f(a).并把a称为函数f(x)的一个极大值点.同样,如果在点b附近都有f(x)>
f(b),则称函数f(x)在点b处取极小值,计作=f(b).并把b称为函数f(x)的一个极小值点.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
对于极大值点a,=0;
而且在点x=a附近的左侧>
0,右侧<
0.类似地,对于小值点b,=0;
而且在点x=b附近的左侧<
0,右侧>
(1)极值必须在区间内的连续点处取得.一个函数的定义域内可能出现许多个极小值和极大值点,某一点的极小值可能大于另一点的极大值,也即极小值和极大值之间没有必然的大小关系.极值是一个局部性概念.
(2)函数的极值点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.即,=0是f(x)在x=c处取极值的必要条件,但不是充分条件.
(3)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
(4)如果函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必然会有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必然会有一个极大值点.通常当函数y=f(x)在区间[a,b]内有有限个极值点时,其极大值点与极小值点是交替出现的.
11.2函数y=f(x)极值的求解方法
求导数;
求方程=0的根;
第三步:
检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;
如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
(1)对于使无意义的点也可能是极值点,因此和=0的根对应的点一样,都是可疑点,也要进行讨论.
(2)极大值点可以看做函数单调递增区间与单调递减区间的分界点,同样极小值点是函数单调递减区间与单调递增区间的分界点.
12.利用导数研究函数的最值
12.1函数的最大值与最小值
对于函数y=f(x),如果在其定义域I内存在,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(),则称f()为函数在定义域I上的最大值.
如果在其定义域I内存在,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(),则称f()为函数在定义域I上的最小值.
函数的最大值与最小值是一个整体性概念,是比较整个定义区间的函数值得出.一般地,若函数f(x)在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线,那么它必有最大值与最小值,且最值必在极值点或端点处取得.
函数的极值可以有多个.对于最值,若存在最大值,则最大值唯一;
若存在最小值,则最小值唯一;
极值有可能是最值,最值只要不在端点处必定是极值.
在开区间(a,b)内连续的函数不一定存在最大值与最小值.如函数y=,在区间(-,)内连续,但没有最大值与最小值.
12.2函数最值的求解方法
求可导函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
求f(x)在(a,b)内的极值;
将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值.
如果函数f(x)在[a,b]上是单调时,可利用函数的单调性求得函数的最值,即,若f(x)在[a,b]上单调递增,则其最大值为f(b),最小值为f(a);
若f(x)在[a,b]上单调递减,则其最大值为f(a),最小值为f(b).
与求函数极值不同,求最值时不需要对各导数为零的点讨论其是最大值还是最小值,只需将导数为零的点的函数值和端点的函数值进行比较就行了.
13.函数极值的应用:
(1)确定参数的值,这里一般用待定系数法
(2)求参数的取值范围
(3)判断方程的根的变化,这里一般是利用数形结合的思想来讨论方程的根,即先根据函数的极值情况画出函数f(x)的图像,再观察方程的根
(4)证明不等式,这里一般是先构造函数,再根据函数的最值来证明不等式
(5)求含参数的值域问题时,通常对参数进行分类讨论,然而当函数有极值,需要确定参数值或其范围时,利用逆向思维较容易解决问题.
14.导数的实际应用——最优问题
14.1解决优化问题的基本思路
(1)在解决实际最优化问题时,不难发现基本思路是:
上述解决最优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
(2)实际应用问题的解题程序:
⇒
函数建模,要设出两个变量,根据题意分析它们的关系,把变量转化成函数关系式,确定自变量的定义域.
14.2用导数解决最优问题的一般步骤:
分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x);
求函数的导数,解方程=0;
比较函数在区间端点和使=0的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
第四步:
将结果代回原问题中,根据实际问题的现实意义判断取舍.
应用导数解决实际问题,关键是要建立恰当的数学模型(函数关系).函数建模,要设出两个变量,根据题意分析它们的关系,把变量转化成函数关系式,并确定自变量的定义区间以及其他限制条件.
如果函数在定义区间内只有一个点使=0,此时函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较也可以知道这就是最大(小)值.
在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.
15.曲边梯形的面积以及变速直线运动行驶的路程
曲边梯形面积的求法主要是用了“以直代曲”的思想,即用直边图形(如矩形)代替曲边梯形的面积,再用求极限的方法求曲边梯形的面积.求曲边梯形的面积可分为四步:
分割→近似代替→求和→取极限.
把变速直线运动的路程问题划归为求匀速直线运动的路程问题,采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限,它与曲边梯形的面积可以归纳为求一个特定形式和的极限.
分割的目的在于更精确地“以直代曲”.以“矩形”代替“曲边梯形”,随着分割的等分越来越多,这种“代替”就越精确,所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积.
16.定积分的概念
设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,用分点
a=.
把区间[a,b]分为n个小区间,其长度依次为
=-,i=0,1,2,…,n-1.
计λ为这些小区间长度的最大者,当λ趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点,作和式
当λ→0时,如果和式的极限存在,我们把和式的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,计作
,
即
其中,f(x)叫做被积函数,a叫做积分下限,b叫做积分上限,f(x)dx叫做被积式.此时称函数f(x)在区间[a,b]上可积.
(1)定积分是一个常数.它的数值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即
==……(称为积分形式不变性);
另外,定积分与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分上、下限不同,所得的值也不同.
(2)用定义求定积分的一般方法是:
①分割,将区间[a,b]n等分;
②近似替代,取点∈[,];
③求和,;
④取极限,
(3)函数f(x)在区间[a,b]上连续这一条件是不能忽视的,它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上,函数连续是定积分存在的充分条件,而不是必要条件).
17.定积分的性质
(1)=k(k为常数);
(2)=;
(3)=+(其中a<
c<
b).
(1)性质
(1)、
(2)称为定积分的线性性质,性质(3)称为定积分对积分区间的可加性.
(2)性质
(2)对于有限个函数(两个以上)也成立,性质(3)对于把区间[a,b]分成有限个(两个以上)区间也成立.
18.定积分的几何意义
当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分的几何意义是由直线x=a,x=b,y=f(x),y=0围成的曲边梯形的面积.一般情况下,定积分的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图像以及x=a,x=b之间的部分面积的代数和,在x轴上方的取正好,在x轴下方的取负号.
如上图所示,
(
、
表示各阴影部分的面积).
(1)定积分不一定表示面积,也可能是面积的相反数;
定积分也可以是体积,可以是功,可以是路程、压力等,总之定积分还有更多的实际意义.
(2)、、|在几何意义上有不同的含义.由于被积函数f(x)在[a,b]上可正可负,即它的图像可以在x轴上方,也可以再x轴下方,还可以在x轴的上、下两侧,所以表示由x轴,函数f(x)的曲线以及直线x=a,x=b(a≠b)围成的图像各部分面积的代数和;
而是非负的,所以表示在区间[a,b]上所有以为曲边的正曲边梯形的面积;
而|则是的绝对值.三者的值一般情况下是不同的.
19.微积分基本定理
如果=,且f(x)在[a,b]上可积,则
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.由于[F(x)+c]=f(x),F(x)+c也是f(x)的原函数,其中c为常数.
一般,原函数在[a,b]上的改变量F(b)-F(a)简记作
因此微积分基本定理(又称牛顿——莱布尼兹公式)可以写成
(1)利用微积分基本定理计算定积分的关键是找到满足=的函数F(x).通常我们用基本初等函数的求导公式和倒数的四则运算法则从反方向求出F(x).
(2)这项定理揭示了导数与定积分之间的关系,即求积分与求导数是互为逆运算,这也是计算定积分的重要方法,是微积分学中最重要的定理.
(3)若F(x)是f(x)的一个原函数,则F(x)+c也是f(x)的原函数,即f(x)的原函数有无数个.一般只写最简单的一个,不用再加任意常数c了.
20.定积分的简单应用
20.1几种典型平面图形面积的计算
(1)求由一条曲线y=f(x)和直线x
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