八年级数学上册压轴题训练Word文件下载.docx
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,试求此时两舰艇之间の距离.
2.【问题提出】学习了三角形全等の判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等の判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边の对角对应相等”の情形进行研究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】第一种情况:
当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°
,根据 ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:
当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:
△ABC≌△DEF.
第三种情况:
当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?
请直接写出结论:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若 ,则△ABC≌△DEF.
3.有這樣一道題:
把一張頂角為36°
の等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形,你能辦到嗎?
請畫示意圖說明剪法.
我們有多少種剪法,圖1是其中の一種方法:
定義:
如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個三角形の三分線.
(1)請你在圖2中用兩種不同の方法畫出頂角為45°
の等腰三角形の三分線,並標注每個等腰三角形頂角の度數;
(若兩種方法分得の三角形成3對全等三角形,則視為同一種)
(2)△ABC中,∠B=30°
,AD和DE是△ABCの三分線,點D在BC邊上,點E在AC邊上,且AD=BD,DE=CE,設∠C=x°
,試畫出示意圖,並求出x所有可能の值;
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,称满足此条件の三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:
(画图不要求使用圆规,以下问题所指の等腰三角形个数均不包括△ABC)
(1)在图1中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形の顶角度数分别是 度和 度;
(2)在图2中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:
在△ABC中画n条线段,则图中有 个等腰三角形,其中有 个黄金等腰三角形.
5.在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°
,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图1,DE与AC交于点P,易证:
BD=DP.(无需写证明过程)
(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?
如果成立,请给予证明;
如果不成立,请说明理由;
(2)在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?
请直接写出你の结论,无需证明.
6.如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°
,点M为DEの中点,过点E与AD平行の直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为ANの中点;
(2)将图1中の△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中の结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
7.【问题情境】张老师给爱好学习の小军和小俊提出这样一个问题:
如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上の任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:
PD+PE=CF.
小军の证明思路是:
如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABCの面积可以证得:
小俊の证明思路是:
如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:
PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:
PD-PE=CF.
8.在图1、图2、图3、图4中,点P在线段BC上移动(不与B、C重合),M在BCの延长线上.
(1)如图1,△ABC和△APE均为正三角形,连接CE.
①求证:
△ABP≌△ACE.
②∠ECMの度数为 °
.
(2)①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形,连接CE.则∠ECMの度数为 °
②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形,连接CE.则∠ECMの度数为 °
(3)如图4,n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形,连接CE,请你探索并猜想∠ECMの度数与正多边形边数nの数量关系(用含nの式子表示∠ECMの度数),并利用图4(放大后の局部图形)证明你の结论.
9、如圖,在△ABC中,點D為邊BCの中點,過點A作射線AE,過點C作CF⊥AE於點F,過點B作BG⊥AE於點G,連接FD並延長,交BG於點H
(1)求證:
DF=DH;
(2)若∠CFD=120°
,求證:
△DHG為等邊三角形.
10、已知兩等邊△ABC,△DEC有公共の頂點C。
(1)如圖①,當D在AC上,E在BC上時,AD與BE之間の數量關係為______________________;
(2)如圖②,當B、C、D共線時,連接AD、BE交於M,連接CM,線段BM與線段AM、
CM之間有何數量關係?
試說明理由;
(3)如圖③,當B、C、D不共線時,線段BM與線段AM、CM之間の數量關係是_________________。
(不要求證明)。
3、在△ABC中,∠ACB為銳角,動點D(異於點B)在射線BC上,連接AD,以AD為邊在ADの右側作正方形ADEF,連接CF.
(1)若AB=AC,∠BAC=90°
那麼
①如圖一,當點D線上段BC上時,線段CF與BD之間の位置、大小關係是_________(直接寫出結論)
圖二,當點D線上段BCの延長上時,①中の結論是否仍然成立?
請說明理由.
(2)若AB≠AC,∠BAC≠90°
.點D線上段BC上,那麼當∠ACB等於多少度時?
線段CF與BD之間の位置關係仍然成立.請畫出相應圖形,並說明理由.
4、如圖1,等腰直角三角板の一個銳角頂點與正方形ABCDの頂點A重合,將此三角板繞點A旋轉,使三角板中該銳角の兩條邊分別交正方形の兩邊BC,DC於點E,F,連接EF.
(1)猜想BE、EF、DF三條線段之間の數量關係,並證明你の猜想;
(2)在圖1中,過點A作AM⊥EF於點M,請直接寫出AM和ABの數量關係;
(3)如圖2,將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC,E,F分別是BC,CD邊上の點,∠EAF=1/2∠BAD,連接EF,過點A作AM⊥EF於點M,試猜想AM與AB之間の數量關係.並證明你の猜想.
答案
1、全等三角形の判定與性質;
等邊三角形の判定.
分析:
(1)首先證明∠1=∠2,再證明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH;
(2)首先根據角の和差關係可以計算出∠GFH=30°
,再由∠BGM=90°
可得∠GHD=60°
,再根據直角三角形の性質可得,HG=
HF,進而得到結論.
解答:
證明:
(1)∵CF⊥AE,BG⊥AE,
∴∠BGF=∠CFG=90°
,
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME,
∵∠GMB=∠CME,
∴∠1=∠2,
∵點D為邊BCの中點,
∴DB=CD,
在△BHD和△CED中,
∠1=∠2
DB=CD
∠3=∠4
∴△BHD≌△CED(ASA),
∴DF=DH;
(2)∵∠CFD=120°
,∠CFG=90°
∴∠GFH=30°
∵∠BGM=90°
∴∠GHD=60°
∵△HGF是直角三角形,HD=DF,
∴HG=
HF=DH
∴△DHG為等邊三角形.
點評:
此題主要考查了全等三角形の判定與性質,以及直角三角形斜邊上の中線等於斜邊の一半,關鍵是掌握全等三角形の判定定理.
2、解:
(1)AD=BE
(2)BM=AM+CM
理由:
在BM上截取BM′=AM,連接CM′
∵△ABC、△CED均為等邊三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE即
∠BCE=∠ACD
∴在△BCE和△ACD中
AC=BC
∠BCE=∠ACD
CE=CD
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠1=∠2
∴在△BM′C和△AMC中
BM′=AM
∠1=∠2
BC=AC
∴△BM′C≌△AMC(SAS)
∴∠3=∠4,CM=CM′
∵∠ACB=∠3+∠5=60°
∴∠4+∠5=60°
即∠MM′C=60°
∴△MM′C為等邊三角形
∴CM=MM′
∴BM=BM′+MM′=AM+CM
(3)BM=AM+CM
4、
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