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三、《数学物理方程》学习难点
1、涉及较多的物理知识;
2、大量应用多元微积分、含参变量积分以
及Fourier级数等有关的知识、技巧;
3、综合应用多门已学课程;
4、计算量较大。
关于教材
•《数学物理方程讲义》;
•前苏州大学校长姜礼尚等编;
•曾获国家教委优秀教材奖;
•第一版是姜礼尚先生在北大时与陈亚淅、刘西垣
合编;
•第二版是姜礼尚先生在苏大时改编;
前苏大易法
槐教授也加入了编者的行列;
•第三版是姜礼尚先生在同济大学改编,即将出版。
参考书
•《数学物理方程》,复旦大学数学系主编
•《数学物理方法》,Courant和Hilbert编
(经典但较老)
•《PartialDifferentialEquation》,Fritz
John编(经典教材)
一些基本概念
•PDE(偏微分方程PartialDifferentialEquation):
含有多元未知函数的偏导数的方程;
•ODE(常微分方程OrdanaryDifferentialEquation);
•PDE的阶:
方程中出现的未知函数最高阶偏导数的阶;
•线性PDE:
方程中的任一项或者与未知函数无关,或者
是已知函数与未知函数或其某一偏导数的乘积。
•非线性PDE:
不是线性的PDE统称为非线性PDE。
•本课程主要讨论三类二阶线性PDE。
例
∂−∂=+
uu
2
2u1
∂∂
tx
是二阶线性PDE。
∂−∂=
u
是一阶非线性PDE。
第一章方程的导出和定解条件
一、本章内容:
1.根据典型的问题导出数学物理方程──偏微分方程。
2.介绍变分原理。
3.介绍偏微分方程基本概念。
二、采用方法
1.用Newton定律、守恒律及其它实验定律方法导出偏微分方程及定解条件。
2.用变分原理推导Euler方程及定解问题。
§
1.守恒律
1.1动量守恒与弦振动方程
一、方程推导
1.问题提法
l
一长为的柔软、均匀的细弦,拉紧后让它离
开平衡位置,在垂直于弦线的外力的作用下,
作微小的横振动,求在不同时刻弦线的形状。
0l
2.数学提法
以弦平衡位置所在直线为x轴,弦运动平面内,过弦的一
端作垂直于弦平衡位置的直线为u轴,建立直角坐标系。
问题的数学提法:
设 t 时刻,对应于x点处的位移为u(x,t),求函数
u=uxt
(,)
1
0.5
-0.51.5
-1
01
t
4
x
60
3.分析、假设
①.波动原因:
对小段弦而言,弦受外力、张力共同作用引起位移、加
速度变化,当把小段弦视作质点时,这小段弦服从Newton
第二定律:
F=ma(外力的合力=质量*加速度)。
②.术语及假设:
柔软──抗拉伸,不抗弯曲,从而拉力与弦线相切。
弦的线密度为常数,可设为kg/m。
ρ均匀──
弦的直径与长度之比远远小于1,弦可视为理细弦──
想的曲线。
线密度可设为0(/);
方向:
00向上,0<0向下。
fNmf>
f外力──
∂<
<
u(x,t)
1,故其高阶项可近似看着为0。
微小的振动─
∂
拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①.受力分析:
如图:
小段弦受外力、张力共同作用
f
T
ax
α
AB
a
bx
b
ay
by
abx
这里0、
≤αα≤
ab
π
②.各量计算公式:
垂直方向合力大小(方向向上):
fΔs+T⋅i+T⋅i
0aubu
=Δ+TTi+TTi
f0sacos(a,u)bcos(b,u)
=fΔs−Tα−Tα
0asinabsinb
其中iu=(0,1)为指向u轴正向的单位向量,△s为弧长。
水平方向合力大小:
−Taαa+Tbαb =,横振动
coscos(0)
ρΔ
s小段弦质量:
小段弦加速度:
∂2×
ΔΔ+⋅+⋅
u(x,t)∂2×
()
ρ
s=fsTiTi
∂2t
③.各量近似、简化:
根据微小振动条件
<
u(x,t)
因此由数学分析的近似关系:
u(x,t)
sintan,
α≈α=
aa
xa
=
cos1sin1,
α=−2α≈
sintan-,cos1,
α≈α=α≈
bbb
xb
Δ=∫+≈−
s1udxba.
()2
由横向的平衡条件得:
aαa=bαb
TcosTcos
⇒T≈T≡
abT0.
5.方程导出
由Newton第二定律及前面的计算公式、近似公式可得:
fΔs−Tα−Tα
≈fb−a−Tα−Tα
0()0tana0tanb≈fb−a−Tα−Tα
u(x,t)u(x,t)
=−−+
f(ba)TT
000
x=x=
xaxb
=Δ
ρ∂2
s
∂2
t
≈−
(ba),
于是得:
ρ∂=
fT
+
00
∂−∂
xx
xbxa
==
ba
−
令0得:
b−a→
002
两边同除以, 就得出弦振动方程:
22
af(x,t),
∂2∂2
Tf
其中f(x,t)0
a=, =
(x,
t)
.
注意:
由前面的推导,边界张力的垂直分量为:
TiT,TiT.
⋅=−⋅=
au∂bu∂
总结:
弦振动方程:
∂2−∂2=
u(x,t)u(x,t)∂2−∂2=
其中
2T0(,)f0(x,t).
afxt
=, =
ρρ
{
是弦的线密度,
T是弦的张力的大小,
ρ和
T是正数,
0
f外力方向向下。
f是外力的线密度,
f>
外力方向向上,
左端点张力的垂直分量为:
TiT
⋅=−
au0
x=
xa
右端点张力的垂直分量为:
Ti
⋅=
bu
xb
二、定解条件
边界条件
1.初始条件:
①.已知初始位移:
u==ϕx≤x≤l
0(),0,
u−au=f
ttxx
②.已知初始速度:
u==ψx≤x≤l
tt
2.边界条件:
初始条件
①.第一类边界条件:
(已知边界位移)
==≥
u0g(t),t0,,
ugtt
2(),0.
xl
当gi(t)≡0(i=1或2)时,称该端为固定端。
②.第二类边界条件:
(已知边界张力垂直分量)
−=≥
0(),0,
xx1
xxl
当gi(t)≡0(i=1或2)时,称该端为自由端。
③.第三类边界条件:
(边界有弹性支撑情形)
()(),0,,
−u+αu=gtt≥
()(),0.
u+βu=gtt≥
xxl2
其中,α>
0、β>
0.
三、定解问题提法(PDE术语):
1、定解条件(从方程中确定解的条件):
初始条件、边界条件的统称。
定解条件是不能随意施加的!
2、定解问题:
方程+定解条件。
3、弦振动方程的定解问题:
弦振动方程+两个初始条件+边界条件之一
也称为弦振动方程的混合问题。
弦振动方程的第一边值(Dirchlet)问题:
∂−∂=<
>
2a2f(x,t),0xl,t0,
u(x,0)(x),0xl,
=ϕ≤≤
u(x,0)(x),0xl,
=ψ≤≤t
u(0,t)
g(t),t
≥
0,
u(l,t)
0.
弦振动方程的第二边值(Neumann)问题:
g(t),t0,
∂1
∂=≥
g(t),t0.
弦振动方程的第三边值问题:
22(,),0,0,
afxtxlt
⎛−+⎞=≥
α
ug(t),t0,
⎜∂⎟
⎝x⎠
x0
⎛u+⎞=≥
β
ug(t),t0.
4、Cauchy问题(或初值问题):
对于弦线中某一段,如果在所考虑的时间内,弦端点的影响
可以忽略不计时,可以认为弦长为无穷,这时问题化为:
∂−∂=−∞<
∞>
2a2f(x,t),x,t0,
u(x,0)(x),x,
=ϕ−∞≤≤∞
u(x,0)(x),x.
=ψ−∞≤≤∞t
五、附注
1、弦振动方程具有典型性,许多有关振动问题同样可以用
此方程来刻画。
由于振动的一个共同特征是产生波的传
播,因此,此方程也称为一维波动方程。
2、弦振动方程的混合问题的边界条件也可以是三类边界条
件中的不同两种。
3、高维波动方程与一维波动方程类似:
这里
∂−Δ=>
2auf(x,t),(a0)
∂2
n
Δ∑
u(x,t)为Laplace算子,n为维数,
∂2x
ii
(x,
,
L
)为n维空间中的点。
通常我们称该方程称为波动方程。
波动方程的混合问题:
波动方程的第一边值(Dirchlet)问题:
∂−Δ=∈Ω>
2(,)(,),,0,
auxtfxtxt
=ϕ∈Ω
u(x,0)(x),x,
=ψ∈Ω
∂Ωuxt=gxtx∈∂Ωt≥
(,)(,),,0.
Ω这里n∂Ω
为的单位外法向。
波动方程的第二边值(Neumann)问题:
2au(x,t)f(x,t),x,t0,
u(x,0)(x),x,
∂=∈∂Ω≥
g(x,t),x,t0.
∂Ω
Ω
这里n∂Ω
波动方程的第三边值问题:
=ϕ∈Ω
⎛+⎞=∈∂Ω≥
u(x,t)g(x,t),x,t0.
⎝n⎠
这里n∂ΩΩ
波动方程的初值问题(Cauchy问题):
∂−Δ=∈>
2n
2au(x,t)f(x,t),xR,t0,
u(x,0)(x),xR,
=ϕ∈n
=ψ∈
u(x,0)(x),xR.
4、平衡状态问题
当物体在外力作用下处于平衡状态时,物体的位
移不再随时间变化,此时,位移满足:
−2Δ()=(),∈Ω.
auxfxx
该方程称为Poisson方程。
注:
均匀弹性杆的微小纵振动
——均匀细杆在外力作用下沿杆长方向作微小振动
设杆长方向为x轴,u(x,t)为x处的截面在
时刻t沿杆长方向的位移,如下图
x(不振动时)
uatu(b,t)x(振动时刻t)
向右,u>
0ab
振动中弦上点的张力大小由胡克定理确定:
=
TESε
其中,S-截面积、E-弹性系数(杨氏模量)、
ε∂
=-杆在该点的相对伸长量。
因此,区间 两端所受的张力为:
[a+u(a,t),b+u(b,t)]
a+uatb+u(b,t)Tb
∂∂
=−=
TES,TES
a∂b∂
再由Newton第二定律,可推得u(x,t)满足
af
tx∂2∂2
Ef
20
其中,a=,f=,
S
为杆的密度,f为外力线密度。
本节练习:
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- 方程 导出 01 振动
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