均值不等式及其证明.docx
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均值不等式及其证明
1平均值不等式及其证明
平均值不等式是最基本重要不等式之一,在不等式理论研究和证明中占有重要位置。
平均值不等式证明有许多种方法,这里,我们选了部分具有代表意义证明方法,其中用来证明平均值不等式许多结论,其本身又具有重要意义,特别是,在许多竞赛书籍中,都有专门章节介绍和讨论,如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等,这些也是证明不等式常用方法和技巧。
1.1平均值不等式
一般地,假设为n个非负实数,它们算术平均值记为
几何平均值记为
。
算术平均值及几何平均值之间有如下关系。
,
即,
当且仅当时,等号成立。
上述不等式称为平均值不等式,或简称为均值不等式。
平均值不等式表达形式简单,容易记住,但它证明和应用非常灵活、广泛,有多种不同方法。
为使大家理解和掌握,这里我们选择了其中几种典型证明方法。
供大家参考学习。
1.2平均值不等式证明
证法一(归纳法)
(1)当时,已知结论成立。
(2)假设对(正整数)时命题成立,即对有
。
那么,当时,由于
,,
关于是对称,任意对调及,和值不改变,因此不妨设,
显然,以及可得
.
所以
即两边乘以,得
。
从而,有
证法二(归纳法)
(1)当时,已知结论成立。
(2)假设对(正整数)时命题成立,即对有
。
那么,当时,由于
从而,有
证法三(归纳法)
(1)当时,已知结论成立。
(2)假设对(正整数)时命题成立,即对有
。
那么,当时,由于
证法四(归纳法和变换)
证法五(利用排序不等式)
设两个实数组和满足
,
则(同序乘积之和)
(乱序乘积之和)
(反序乘积之和)
其中是一个排列,并且等号同时成立充分必要条件是或成立。
证明:
切比雪夫不等式(利用排序不等式证明)
杨森不等式()设则对有
等号成立充分必要条件是。
琴生不等式()
设为上凸(或下凹)函数,则对任意
,我们都有
或
其中
习题一
1.设。
求证:
对一切正整数,有
2.设求证:
3.设为正实数,证明:
4.设,求证:
5.设,且,求证:
6.设,满足,求证:
7.设是非负实数,满足,求证:
8.设为给定自然数,,对于个给定实数
记最小值为,求在条件下,最大值。
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- 均值 不等式 及其 证明
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