因式分解法解一元二次方程2Word下载.docx
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A.x2﹣8=0B.2x2﹣4x+3=0C.9x2+6x+1=0D.5x+2=3x2
10.一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是( )
C.没有实数根D.无法确定
11.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A.x2﹣2x+1=0B.2x2﹣x+1=0C.4x2﹣2x﹣3=0D.x2﹣6x=0
12.若a满足不等式组
,则关于x的方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+
=0的根的情况是( )
C.没有实数根D.以上三种情况都有可能
13.下列方程中,没有实数根的是( )
A.x2﹣4x+4=0B.x2﹣2x+5=0C.x2﹣2x=0D.x2﹣2x﹣3=0
二、填空题(共12小题)
14.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根,则m=______.
15.若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是______(写出一个即可).
16.关于x的方程mx2+x﹣m+1=0,有以下三个结论:
①当m=0时,方程只有一个实数解;
②当m≠0时,方程有两个不等的实数解;
③无论m取何值,方程都有一个负数解,其中正确的是______(填序号).
17.关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根,则m=______.
18.若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是______.
19.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根,则m的取值范围是______.
20.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是______.
21.关于x的一元二次方程ax2+bx+
=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:
a=______,b=______.
22.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是______.
23.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则m的取值范围是______.
24.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根,则实数a的取值范围是______.
25.已知关于x的一元二次方程x2﹣2
x﹣k=0有两个相等的实数根,则k值为______.
三、解答题(共5小题)
26.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根为x1,x2,且满足5x1+2x2=2,求实数m的值.
27.已知:
关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
28.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:
对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
29.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:
不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
30.已知关于x的一元二次方程
mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根.
(1)求m的值;
(2)解原方程.
参考答案与试题解析
【考点】根的判别式.
【分析】把a=1,b=﹣4,c=5代入△=b2﹣4ac进行计算,根据计算结果判断方程根的情况.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣4,c=5,
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×
1×
5=﹣4<0,
所以原方程没有实数根.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根.
【专题】计算题.
【分析】分别计算A、B中的判别式的值;
根据判别式的意义进行判断;
利用因式分解法对C进行判断;
根据非负数的性质对D进行判断.
A、△=(﹣1)2﹣4×
1=﹣3<0,方程没有实数根,所以A选项错误;
B、△=12﹣4×
1=﹣3<0,方程没有实数根,所以B选项错误;
C、x﹣1=0或x+2=0,则x1=1,x2=﹣2,所以C选项正确;
D、(x﹣1)2=﹣1,方程左边为非负数,方程右边为0,所以方程没有实数根,所以D选项错误.
C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;
【专题】判别式法.
【分析】先根据判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可.
根据题意得△=(﹣3)2﹣4m>0,
解得m<
.
B.
【考点】根的判别式;
一元二次方程的解;
根与系数的关系.
【专题】压轴题.
【分析】利用根的判别式判断A;
利用根与系数的关系判断B;
利用一元二次方程的解的定义判断C与D.
A、如果方程M有两个相等的实数根,那么△=b2﹣4ac=0,所以方程N也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意;
B、如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同,那么△=b2﹣4ac≥0,
>0,所以a与c符号相同,
>0,所以方程N的两根符号也相同,结论正确,不符合题意;
C、如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得
c+
b+a=0,所以
是方程N的一个根,结论正确,不符合题意;
D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,(a﹣c)x2=a﹣c,由a≠c,得x2=1,x=±
1,结论错误,符合题意;
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
△=0⇔方程有两个相等的实数根;
△<0⇔方程没有实数根.也考查了根与系数的关系,一元二次方程的解的定义.
【分析】把a=1,b=﹣2,c=3代入△=b2﹣4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.
∵a=1,b=﹣2,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×
3=﹣8<0,
所以方程没有实数根.
故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=0时,方程有两个相等的实数根;
当△<0时,方程没有实数根.
【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.
原方程可化为:
4x2﹣4x+1=0,
∵△=42﹣4×
4×
1=0,
∴方程有两个相等的实数根.
【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
∵a=2,b=﹣5,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×
2×
3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根,是解决问题的关键.
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则根的判别式△≥0,据此可以列出关于a的不等式,通过解不等式即可求得a的值.
因为关于x的一元二次方程有实根,
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0,
解之得a≤1.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;
【分析】分别计算四个方程的判别式的值,然后根据判别式的意义判断各方程根的情况.
A、x2﹣8=0,
这里a=1,b=0,c=﹣8,
∵△=b2﹣4ac=02﹣4×
(﹣8)=32>0,
∴方程有两个不相等的实数根,故本选项错误;
B、2x2﹣4x+3=0,
这里a=2,b=﹣4,c=3,
∵△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×
∴方程没有实数根,故本选项错误;
C、9x2+6x+1=0,
这里a=9,b=6,c=1,
∵△=b2﹣4ac=62﹣4×
9×
∴方程有两个相等的实数根,故本选项正确;
D、5x+2=3x2,
3x2﹣5x﹣2=0,
这里a=3,b=﹣5,c=﹣2,
∵△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×
3×
(﹣2)=49>0,
∵△=32﹣4×
1=1>0,
故选A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.
A、∵△=4﹣4=0,
∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根;
B、∵△=1﹣4×
2<0,
∴方程2x2﹣x+1=0无实数根;
C、∵△=4+4×
3=52>0,
∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根;
D、∵△=36>0,
∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根;
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(3)△<0⇔方程没有实数根.
一元一次方程的解;
解一元一次不等式组.
【分析】求出a的取值范围,表示出已知方程根的判别式,判断得到根的判别式的值小于0,可得出方程没有实数根.
解不等式组
得a<﹣3,
∵△=(2a﹣1)2﹣4(a﹣2)(a+
)=2a+5,
∵a<﹣3,
∴△=2a+5<0,
∴方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+
=0没有实数根,
【点评】此题考查了解一元一次不等式组,一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;
根的判别式的值等于0时,方程有两个相等的实数根;
根的判别式的值小于0时,方程无实数根.
【分析】利用判别式分别判定即可得出答案.
A、x2﹣4x+4=0,△=16﹣16=0有相同的根;
B、x2﹣2x+5=0,△=4﹣20<0没有实数根;
C、x2﹣2x=0,△=4﹣0>0有两个不等实数根;
D、x2﹣2x﹣3=0,△=4+12>0有两个不等实数根.
【点评】本题主要考查了根的判别式,解题的关键是熟记判别式的公式.
14.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根,则m=
.
【分析】根据题意可得△=0,据此求解即可.
∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根,
∴△=9﹣4m=0,
解得:
m=
故答案为:
【点评】本题考查了根的判别式,解答本题的关键是掌握当△=0时,方程有两个相等的两个实数根.
15.若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是 0 (写出一个即可).
【专题】开放型.
【分析】若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac>0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围.
∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根,
∴△=1﹣4m>0,
,
故m的值可能是0,
故答案为0.
当△<0时,方程没有实数根.注意本题答案不唯一,只需满足m<
即可.
③无论m取何值,方程都有一个负数解,其中正确的是 ①③ (填序号).
一元一次方程的解.
【专题】分类讨论.
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况,进而填空.
当m=0时,x=﹣1,方程只有一个解,①正确;
当m≠0时,方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程,△=1﹣4m(1﹣m)=1﹣4m+4m2=(2m﹣1)2≥0,方程有两个实数解,②错误;
把mx2+x﹣m+1=0分解为(x+1)(mx﹣m+1)=0,
当x=﹣1时,m﹣1﹣m+1=0,即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根,③正确;
故答案为①③.
【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识,解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想.
17.关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根,则m= ﹣1 .
【分析】根据方程有两个相等的实数根,判断出根的判别式为0,据此求出m的值即可.
∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根,
∴△=0,
∴22﹣4×
(﹣m)=0,
解得m=﹣1.
故答案为;
﹣1.
18.若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 a>﹣
且a≠0 .
一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×
a×
(﹣1)=9+4a>0,解不等式组即可求出a的取值范围.
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×
(﹣1)=9+4a>0,
a>﹣
且a≠0.
【点评】此题考查了根的判别式.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
(3)△<0⇔方程没有实数根.同时考查了一元二次方程的定义.
19.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根,则m的取值范围是 m>
【分析】根据方程没有实数根,得到根的判别式小于0列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范围.
根据方程没有实数根,得到△=b2﹣4ac=1﹣4m<0,
m>
【点评】此题考查了根的判别式,根的判别式大于0,方程有两个不相等的实数根;
根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根;
根的判别式小于0,方程没有实数根.
20.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 m≤1 .
【专题】探究型.
【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值,再根据方程有实数根列出关于m的不等式,求出m的取值范围即可.
由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1,b=2,c=m,
∵方程有实数根,
∴△=22﹣4m≥0,解得m≤1.
m≤1.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键.
a= 4 ,b= 2 .
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+
=0有两个相等的实数根,得到a=b2,找一组满足条件的数据即可.
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+
=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4×
a=b2﹣a=0,
∴a=b2,
当b=2时,a=4,
故b=2,a=4时满足条件.
4,2.
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握判别式的意义是解题的关键.
22.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是 a≤1 .
【分析】由方程有两个实数根,得到根的判别式大于等于0,即可确定出a的范围.
∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,
∴△=4﹣4a≥0,
a≤1,
a≤1
【点评】此题考查了根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键.
23.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则m的取值范围是 m<
【分析】据关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,得出△=16﹣4(m﹣1)×
(﹣5)<0,从而求出m的取值范围.
∵一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,
∴△=16﹣4(m﹣1)×
(﹣5)<0,且m﹣1≠0,
∴m<
m<
24.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根,则实数a的取值范围是 a>0 .
【分析】根据方程没有实数根,得到根的判别式小于0,求出a的范围即可.
【解答】解
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