与名师对话理平面向量的概念及线性运算Word格式文档下载.docx
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3.两个向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.
[辨识巧记]
1.两个要点
理解向量相关概念时,抓住两个要点:
大小、方向.
2.两种特殊向量
(1)零向量的方向可任意.
(2)任意方向上都有单位向量.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)零向量与任意向量平行.( )
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
(3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( )
[答案]
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√
2.若A、B、C、D是平面内任意四点,给出下列式子:
①+=+;
②+=+;
③-=+.其中正确的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
[解析] ①式的等价式是-=-,左边=+,右边=+,不一定相等;
②式的等价式是-=-,+=+=成立;
③式的等价式是-=+,=成立.故选C.
[答案] C
3.在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=( )
A.b+cB.c-b
C.b-cD.b+c
[解析] 如图所示,可知=+(-)=c+(b-c)=b+c.故选A.
[答案] A
4.(必修4P92A组T11改编)在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为( )
A.平行四边形B.矩形
C.梯形D.菱形
[解析] ∵=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2,
∴∥且||=2||.
∴四边形ABCD为梯形.故选C.
5.(必修4P78A组T5改编)已知三角形ABC,用与表示BC边上的中线向量,则=________.
[解析] =+=+=+(-)=(+).
[答案] (+)
考点一 平面向量的基本概念
【例1】 给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.
其中真命题的序号是________.
[解析] ①不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确,因为=,所以||=||且∥,又因为A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形.反之,若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||,因此,=.故“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件.
③正确,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,真命题的序号是②③.
[答案] ②③
向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)非零向量a与的关系是:
是a方向上的单位向量.
[对点训练]
1.若m∥n,n∥k,则向量m与向量k( )
A.共线B.不共线
C.共线且同向D.不一定共线
[解析] 若n≠0,则m与k共线;
若n=0,则m与k不一定共线.选D.
[答案] D
2.给出下列命题:
①零向量的长度为零,方向是任意的;
②若a,b都是单位向量,则a=b;
③向量与相等.则所有真命题的序号是( )
A.①B.③C.①③D.①②
[解析] 根据零向量的定义可知①正确;
根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;
向量与互为相反向量,故③错误.故选A.
考点二 平面向量的线性运算
【例2】
(1)(2018·
全国卷Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.-B.-
C.+D.+
(2)(2019·
河北保定定州中学期中)如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=( )
A.B.
C.D.2
[解析]
(1)∵E是AD的中点,∴=-,∴=+=-+,又知D为BC的中点,∴=(+),因此=-(+)+=-,故选A.
(2)=+,
=+=+,=-.
∴=λ+μ=λ+μ(-)=(λ-μ)+,
∴解得λ=,μ=.
∴λ+μ=,故选B.
[答案]
(1)A
(2)B
向量的线性运算规律
(1)在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
(2)结合图形的几何性质,利用向量加、减法的运算法则进行向量的分解与合成运算,且要有目标意识,逐步向已知向量转化,最终达到目标.
1.(2019·
云南曲靖一中月考)在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且=2,=3,若=a,=b,则=( )
A.a+bB.a-b
C.-a-bD.-a+b
[解析] =+
=+
=(-)-
=--=-a-b,故选C.
2.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=( )
A.-a+bB.-a+b
C.a+bD.-a+b
[解析] 由=3得4=3=3(a+b),
又=a+b,
所以=-=(a+b)-=-a+b.故选A.
考点三 共线向量定理及应用
【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).
求证:
A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
[思路引导]
(1)→
(2)→→
[解]
(1)证明:
∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b).
∴=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.
∴,共线,又它们有公共点,∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0,∴k=±
1.
(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ,使b=λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
1.已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则( )
A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线
[解析] ∵=+=2a+6b=2,∴与共线,由于与有公共点B,因此A,B,D三点共线,故选B.
[答案] B
2.如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.
[解析] ∵=
∴=m+
=m+
∵B、P、N三点共线,∴m+=1.
m=.
[答案]
课后跟踪训练(二十八)
基础巩固练
一、选择题
1.给出下列命题:
①向量的长度与向量的长度相等;
②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;
③|a|+|b|=|a+b|⇔a与b方向相同;
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同.
其中叙述错误的命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
[解析] 对于②:
当a=0时,不成立;
对于③:
当a,b之一为零向量时,不成立;
对于④:
当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同.故选C.
2.在矩形ABCD中,AB=2AD,M,N分别为AB与CD的中点,则在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有向量中,相等向量的对数为( )
A.9B.11C.18D.24
[解析] 由题意可得,==,有3对相等向量;
===,有6对相等向量,=,有1对相等向量;
=,有1对相等向量,=,有1对相等向量,总共12对.同理,与它们的方向相反的相等向量也有12对,总共24对,故选D.
3.在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=( )
A.+B.+
C.+D.+
[解析] 因为=-2,所以=2.又M是BC的中点,所以=(+)=(++)=(++)=+,故选B.
4.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于( )
A.a+bB.a+b
C.a+bD.a+b
[解析] 如图所示,=+,由题意知,=a+b,=a-b,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,所以=.所以=+=a+b+=a+b.故选B.
5.(2019·
河北三市联考)已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则等于( )
A.-B.C.-2D.2
[解析] ∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),则故=-2.故选C.
二、填空题
6.(2019·
河北邯郸模拟)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.
[解析] 由于λa+b与a+2b平行,所以存在μ∈R,使得λa+b=μ(a+2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0,因为向量a,b不平行,所以λ-μ=0,1-2μ=0,解得λ=μ=.
7.(2018·
四川成都期中)在△ABC中,=a,=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN、AM交于点P,则=________(用a,b表示).
[解析] 如图所示,=+
=-+
=-+×
(+)
=-++
=-a+b.
[答案] -a+b
8.在△ABC中,=2,=+λ,则λ=________.
[解析] ∵A、D、B共线,∴+λ=1,∴λ=.
三、解答题
9.如图,在直角梯形ABCD中,=,=2,且=r+s,求2r+3s的值.
[解] 解法一:
根据图形,由题意可得=+=+=+(++)=+(+)=+(+)=+.
∵=r+s,
∴r=,s=,2r+3s=3.
解法二:
如图,延长AD,BC交于点P,则由=得DC∥AB,且AB=4DC,
又=2,所以E为PB的中点,且=.
于是,=(+)=(+)=+.
10.设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.
(1)求证:
(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.
因为=2e1-8e2,所以=2.
又有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)由
(1)可知=e1-4e2,且=3e1-ke2,
由B,D,F三点共线得=λ,
即3e1-ke2=λe1-4λe2,
得解得k=12.
能力提升练
11.(2018·
辽宁沈阳二中月考)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( )
A.2B.3C.4D.5
[解析] 由++=0知,点M为△ABC的重心,设D为边BC的中点,则==×
(+)=(+),所以有+=3,故m=3.故选B.
12.(2019·
山东潍坊一模)若M是△ABC内一点,且满足+=4,则△ABM与△ACM的面积之比为( )
A.B.C.D.2
[解析] 设AC的中点为D,则+=2,于是2=4,从而=2,即M为BD的中点,于是===.故选A.
13.(2019·
江西南昌调研)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,=(a-1)e1+e2,=be1-2e2(a>
0,b>
0),若A,B,C三点共线,则ab的最大值是________.
[解析] 若A,B,C三点共线,则存在一个实数λ,
使得=λ,∴(a-1)e1+e2=λ(be1-2e2),
即∴b=2-2a.
∴ab=a(2-2a)=2a-2a2=-22+,
当a=,b=1时,ab有最大值,最大值为.
14.设,不共线,求证:
点P,A,B共线的充要条件是:
=λ+μ且λ+μ=1,λ,μ∈R.
[证明] “充分性”:
由=λ+μ,且λ+μ=1
得=λ+(1-λ)
=+λ(-)
∴-=λ
即:
=λ,∴P、A、B三点共线
“必要性”:
由P、A、B三点共线,有=λ,
∴-=λ(-)
整理得=λ+(1-λ),令μ=1-λ,则=λ+μ且λ+μ=1,λ,μ∈R,
综上,P,A,B共线的充要条件是=λ+μ且λ+μ=1,λ,μ∈R.
拓展延伸练
15.(2019·
陕西铜川质检)已知P为△ABC所在平面内一点,++=0,||=||=||=2,则△ABC的面积等于( )
A.B.2C.3D.4
[解析] 因为++=0,所以=-(+).
由平行四边形法则可知,以,为边组成的平行四边形的一条对角线与反向,且长度相等.因为||=||=||=2,所以以,为边的平行四边形为菱形,且除BC外的对角线长为2,所以BC=2,∠ABC=90°
,
所以S△ABC=AB·
BC=×
2×
2=2,故选B.
16.(2019·
辽宁丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点,满足++=2,若S△ABC=6,则△PAB的面积为________.
[解析] ∵++=2=2(-),
∴3=-=.∴∥,且方向相同,
∴===3,∴S△PAB==2.
[答案] 2
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