第3章练习答案讲解Word文档下载推荐.docx
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来使用,若取得废品就不再放回而再取1个,求在取得合格品之前已取
出的废品数的概率分布。
令•代表废品数,则•可能取值为:
0,1,2,3
p(=3)=cl牟gg」2丄9宀
c;
2CnC;
0c9121110911880
所以,■的分布列为
「012
92754
<
121321320
3.
设在10个同类型的一堆产品内混有2个废品,现从中任取3件,每次取1个,试分别就
(1)取后不放回;
(2)取后放回两种不同情况,求出取得废品数的概率分布。
4•自动生产线经调整后出次品的概率是p,若在生产过程中出现次品就立
即要进行调整,试求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。
令合格品数为•,则
p(f:
=0)=戸{两次调整之间生产的是一件次品}=p
^1)^P{W次调整之间生产一件正品,再是一件次品}=pq
npq
概率
P(=n)=戸{两次调整之间前n次生产正品,第(n1)件是次品}=
所以,芒的分布列为
01
2
3…
n…\廿出
3
n,其中q=1_P.
ipPq
pq
pq…
pq…丿
5甲、乙两人分别独立的对同一目标各射击1次,甲、乙击中目标的分别为p1,p2,试求击中目标次数的概率分布。
甲、乙二人分别独立对同一目标各射击一次,令•为击中目标次数,
则•的取值为0,1,2
P(=0)=(1-Pi)(1-P2)
P(=1)=(1-Pl)P2Pl(1-P2)
P(=2^P1P2
012"
^1—P1)(1—P2)(1—P1)P2+P1(1—P2)P1P2」
已知随机变量折有的可能值是1,2,|l|,N,且已知
P(二k)=a,k=1,2,|l|,N
N
试确定a的值;
(2)试问下式的c取何值能使
(2十
P(m=k)=c—J,k=1,2」ll
13丿
为分布律。
()1由概率的规范性,可知
NNaaNa
送P(E=k)=1,贝—=—瓦1=—N=a=1,从而a=1;
k4k4NNk4N
(2)由概率的规范性,可知
弗&
k
k43
:
:
2k
、P(=k)=1,贝Vvc\-k4k43
tin
44-44IM
☆
8.—本500页的书,共有100个错别字,设每个错别字等可能的出现在500页的任何一页上,现考察该书某一页上的错别字数,试用n重
贝努利试验描述之。
1499
每个错别字以概率p出现在该页,而以概率q不出现在该页,
500500
由于错别字是否出现在该页对其他错别字是否出现没有影响,故该页上错
别字字数,~B(100,丄).
500
9■人类的血型可粗分成0、A、B、AB等四型,设已知某地区人群中这
四种血型人数的百分比依次为0.4、0.3、0.25、0.05,要从该地区任意选出10
人,考察带AB型的人数,试用n重贝努利试验描述之。
由于只关心AB血型的人数,其他血型可不予区分,故在此时每个人血型只有两个可能结果:
AB型或者非AB型。
这样p=0.05是任取一人,其血型为AB
型的概率,而问题可说成是成功概率为p的10重贝努利试验,带AB血型的人数
~B(10,0.05).
10■某建筑物内装有5个同类型的供水设备,设在任一时刻每个设备被使用的概率是0.2,又设各个设备是否被使用相互独立,求在同一时刻下列事件的概率:
(1)恰有2个设备在使用;
(2最多有2个设备在使用;
(3至少有2个设备在使用;
⑷有多数设备在使用。
设代表设备使用的个数,=0,1,2^,5,由题意,显然~B(5,0.2)
(1)P(F=2)=C;
p2q3(0.2)2(0.8)3=0.2048
(2)P(乞2)=P(=0)+P(=1)+P(=2)
=C5,(0.2)0(0.8)5C5(0.2)1(0.8)4C;
(0.2)2(0.8)3二0.94208
(3)P(一2)=1-P(=0)-P(=1)
=^C0(0.2)0(0.8)^C5(0.2)1(0.8)^0.26272
(4)有多数设备在使用,即超过半数以上的设备在使用,故•应取3,4,5,即-2,从而
P
(2)=1-P(乞2)=1-0.94208二0.05792
11.设事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当在进行多次试验时,若A
发生3次或更多次时,指示灯就要发出信号,求下列情况下,指示灯发出信号的概率:
(1)共进行3次试验;
(2)共进行5次试验。
设•代表事件A发生的次数,由题意~B(n,0.3)
⑴P(_3)=P(=3)
因为试验只进行3次,要指示灯发出信号,则事件A只能出现3次
QQQ
P(=3)=C3(0.3)(0.7)=0.027
⑵P(_3)=P(=3)P(=4)P(=5)
因为试验进行5次,要指示灯发出信号,则事件A可发生3次、4次和5次
P(_3)=C;
(0.3)3(0.7)2+C:
(0.3)4(0.7)1+C|(0.3)5(0.7)^0.16308
~B(5,0.3),在Excel中输入:
=1-binomdist(2,5,0.3,1)得0.16308
12■某商店有4名售货员,据统计,每名售货员平均在一小时内用秤的时间
为15分钟,各人何时用秤相互独立。
试问:
(1)该店配备几台秤较为合适?
(2若按(1的结果配秤,一天8小时内平均有多少时间秤不够用?
“1
设代表一小时内用秤的售货员数,贝U•~B(4,丄)
4
二0.3164
(1)P(=0)二C:
=0.42佃
P(、2)=P(=0)P(=1)P(=2)=0.9492
故同时用秤的人数不超过2人的概率接近0.95,从而可配2台秤,这样既不使秤过度闲置,也不致常因秤不够用而影响业务;
(2)由题
(1),每小时,2台秤的平均使用率为0.9492,那么还有(1-0.9492)1的时
间内秤不够用,而在8小时内,秤不够用的时间就为
(1-0.9492)8=0.4064(小时)
13已知某厂产品的次品率是丄,今从其大批产品中任取10件来检验,问
10
其中是否必有1件次品?
为什么?
任取一件产品为次品的概率为丄,任查十件产品的次品率是在这十件
产品中次品出现的频率,两者有区别,可算出任取10件产品其中1件是次品的概率为p二C;
0(0.1)(0.9)90.3874,可见,如果经常任抽十件检查,约有38.74%的机会会遇到1件次品。
14.进行8次独立的射击,设每次击中目标的概率均为0.3,试问:
(1)击中几次的可能性最大?
并求出相应的概率;
(2求至少击中目标2次的概率。
设代表击中目标的次数,则=0,,,2,3,,8,显然~B(8,0.3)
(1)(n1)p=2.7,由二项分布的Th.2,取k二ent((n1)p)=2时,B(2;
8,0.3)的值最大,故击中2次的可能性最大p二C;
(0.3)2(0.7)6=0.2965;
(2)P(©
Z2)=1—P(©
=0)—P化=1)=1—C0(0.3)0(0.7)8—。
,(。
⑶丫。
*)7=0.7447.
15■某厂产品的次品率为0.005,问在它生产的1000件产品中:
(1只有1件次品的概率;
(2至少有1件次品的概率;
(3)最大可能有几件次品,概率是多少?
设•代表产品为次品的件数,^=0,1,2,…,1000,显然~B(1000,0.0005)
显然n很大,p很小,从而~P(),=np=5
M55
⑴P(0.0337
50
(2)P(_1)=1-P(=0)=1e』0.9933
一555
(3)最多可能有5件次品,其概率为P(=5)=^e、0.仃55
16.为了保证设备能够正常运转,需配备适当数量的维修人员(配少了
有时会影响设备正常运转,配多了会造成浪费人力资源),根据检验,
每台设备发生故障的概率是0.01,各台设备情况相互独立,试问:
(1)若由1人负责维护20台设备,有设备发生故障而不能得到及时维修的
概率;
(2若有设备100台,每台发生故障时均需1人去处理,则至少要配多少
维护人员,才能使设备发生故障时不能得到及时维修的概率不超过0.01
解:
(1)设代表一人负责的20台设备中,同时发生故障的台数,.=0,1「,20,显然~P(■),■二np=0.2
-j-□-□0.2020.2_02
P(_2)=1-P(=0)-P(=1)=1e-e0.01755
0!
1!
⑵设代表100台设备中,同时发生故障的台数,.=0,1/,100,显然~P('
),
=np=1
P(=0)P(=1)P(=2)P(=3)P(=4)=0.9963
故在100台设备中,有4台同时发生故障的概率在0.9963,所以应派4个维修人员,
才能使得设备发生故障而不能得到及时维修的概率不超过0.01.
仃.设要对某一物理量进行测量,已知由于各种原因而导致带过大测量误差的概率是0.05,现在独立的进行了100次测量,求误差过大的次数不小于3的概率。
设代表100次测量中,出现过分布大测量误传的次数,=0,1,…,100,
显然~B(100,0.05),由于n较大p较小,故用泊松分布近似计算,np二5P(_3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)
1-—e—e—e巧=0.8753
2!
18.设随机变量■服从参数为■的泊松分布,问m为何值时,概率P(F=m)最大。
kkJ
P(!
二k)e-,P(二k—1)ek!
(k—1)!
P(二k)
"
P(二k一1厂k
(1)k,P(二k)P(二k-1),P(二k);
(2)=k,P(二k)=P(二k—1),P(二k)达到最大值;
(1)k,P(二k):
P(二k-1),P(二k)
从而,当■非整数时,m二[■],使P(m)最大;
当■是整数时,m=或m=•-1,同时使得P(m)最大.
佃一产品的次品率为0.1,检验员每天抽检4次,每次随机抽查10件产品进行检验,如发现次品多于1件,就要调整设备,以•表示1天
要调整设备的次数,求E.
•代表1天要调整设备的次数,=0,1,2,3,4
令代表1次抽检中抽出次品的件数,=0,,,10,显然~B(10,0.1),
令Ai“第i次抽检时,抽出次品多于1件,从而调整设备”,i二1,2,3,4
P(Ai)=1-PC:
-0)-P('
:
=1)=0.2642
P(Ai)=1-P(Aj)二0.7358
P(P(P(
P(P(
从而
则~B(4,P(Ai))=0)二[P(Ai)]4=0.2931
=1)二C4P(Ai)[P(Ai)]3=0.421
22—2
=2)=C4[P(Ai)]2[P(Ai)]2=0.2267=3)=C3[P(Ai)]3P(Aj)=0.0543
-4)=C4[P(Ai)]4=0.0049
芦「01234"
—〜
029310.4210.22670.05430.0049y
所以,E=00.293什10.42什20.2267+30.0543^40.0049=1.0569或直接用E二np=40.2642=1.0569
20.一长途客车沿途可停k各站,规定途中只可下客不能上客,一个站若无人下客可不停。
设始发时车上乘客数是参数为■的泊松分布随机变量,每个乘客在k各车站中哪一站下车
是等可能的,求有2个乘客在终点站下车的概率p。
用X表示终点站下车的人数,则有
□0
P{X=2}='
PiX=2|丫二n?
P〈丫二n]
nd
n
e-C;
n!
n_2
_n
-n=2n!
e_
n!
k-1
2!
n-2!
kn
t-2
=Z
t卫
c』(k-1i
12!
t!
ktk2
21某生产流水线一天出次品件数E为九=5的泊松分布,若采用新工艺,则有
使•称为’=3的泊松分布,但也有
0.25的可能无效。
现采用新工艺生产,
0.75的可能
天出了2
件次品。
问新工艺有效的概率多大?
(令A二“新工艺有效”。
)
设B表示生产两件次品的事件,新工艺有效生产2件次品的概率
P(B|宀
=0.1120
新工艺无效效生产2件次品的概率
由贝叶斯公式
2k
PC二k)e~'
k!
由P(.=1)=P(・=2)得:
二几2.
ee_
解之得:
’=2
p(n)=p(.=o)p(.=1)
222
二e:
*2■:
e3■:
e
23已知■的分布列为
-2
-1
31
1
11
3a
3aa
-
6
30.
试求:
()a的值;
⑵E;
(3)=2-1的分布列;
(4)
用两种方法算出E.
24.设已知
匕〜
-202"
0.40.30.3丿
试求E,E2,E(325),D.
E二'
XP二x「i=(—2)0.400.3+20.3=「0.2
i=1
E^2xSC=Xj)=(—2)2江0.4+0^0.3+22汽0.3=2.8
i3
E(325)=3E2-5=2.85=13.4
D二E2-(E)2=2.8-(-0.2)2=2.76
25.设随机变量■的分布列为
门0、
ipq」
试问p取何值时,使D•达到最大值。
E=1p0q二p
E2=12p0q=p
从而,D二E2-(E)2二p-p2=-(p-g)2£
所以,当p^1时,Dma^1.
24
26.
3次取
袋中有8个球,6个黑球、2个白球,每次从袋中取2个球,取出后不放回。
在第
出球时,所得白球数为•,求E
设A表示前两次取球后剩余i(i=0,1,2)的事件
第三次取得0个白球的概率为:
第三次取得1个白球的概率为:
第三次取得2个白球的概率为:
P(=2A)=晋
C4
P(wCCH
P(=2|A)=0
P(=O|Ao)=1
第三次取得1个白球的概率为:
P(=1IA^)=0
第三次取得2个白球的概率为:
P(=2IA0)=0
根据全概率公式
P(=0)=P(B°
)P(=0|B°
)P(Bi)P(=0|Bi)P(B2)P(=0|B2)31413,15
146721428
P(=1)=P(B°
)P(=1|B°
)P(BJP(=1|日)P(B2)P(=1|B2)
仝2.41A0=3
14372147
P(=2)二P(B°
)P(=2|B°
)P(BJP(=2|BJP(B2)P(=2|B2)
31431
00=
14671428
E八iP(—i)=0151-2丄=0.5y28728
27•—台仪器有3个元件,各个元件发生故障与否相互独立,且发生故障的概率分别为0.2,
0.3,0.4。
求发生故障元件总数的E和D
B表示第二个元件发生故障,C表示第三个元件发生
设A表示第一个元件发生故障,故障。
没有故障的概率为
P(=0)=P(ABC)二P(A)P(B)P(C)=0.80.70.6=0.336
P(=1)=P(ABC)P(ABC)P(ABC)
-0.20.70.60.80.30.60.80.70.4=0.452
P(=2)=P(ABC)P(ABC)P(ABC)
=0.20.30.60.80.30.40.20.70.4=0.188
P(=3)=P(ABC)=0.20.30.4=0.024
i2
EiP(二i)=00.33610.45220.18830.024=0.9
i丄
D八i_E2p(=j)
i卫
2222
h[0-0.90.3361-0.90.4522-0.90.1883-0.90.024
-0.61
28.设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2,若一周5个工作日无故障
则机器可产生利润10万元,发生1次故障仍可生利5万元,发生2次故障就没有利润了,若发生3次或3次以上的故障就要亏损2万元。
试求一周利润的期望值。
令•代表一周内机器发生故障的次数,=0,1,|||,5,显然~B(5,0.2),
P(©
=0)=0.2汉0.85氏0.32768
2丿
f5\
=1)=0.2^0.8^0.4096
5、
=2)=0.22沢0.83拓0.2048
2;
P(_3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)=0.05792
E=100.32768+50.4096+00.2048+(-2)0.05792=5.126(万元).
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