小学小升初奥数类型题总复习.docx
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小学小升初奥数类型题总复习
小学奥数知识点及典型题
第一部分经典小升初奥数类型题集锦
1计算
1)特殊数列求和
运用相关公式:
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…(n-1)+n+(n-1)+…4+3+2+1=n
连续奇偶数求和=(首项+末项)×项数÷2
等差数列和=(首项+末项)×项数÷2末项=首项×(项数-1)×公差
等比数列求和末项an = an −1q = a1qn −1,
有序数图形;数线段,射线,直线:
编号相加
数三角形:
分类计数
数正方形:
一般情况下,长分m等分,宽分n等分,那么正方形的总数为mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+……+1×1
数长方形;长编号和×宽编号和
数论
奇偶性问题
奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶
位值原则
形如:
=100a+10b+c
2)数的整除特征:
数的整除具有如下性质:
性质1如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
我们把学过的一些整除的数字特征列出来:
整除数
特征
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4(或25)的倍数
8和125
末三位数是8(或125)的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数
例1、五位数能被72整除,问:
A与B各代表什么数字?
分析与解:
已知能被72整除。
因为72=8×9,8和9是互质数,所以既能被8整除,又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征,要求能被8整除,由此可确定B=6。
再根据能被9整除的数的特征,的各位数字之和为
A+3+2+9+B=A+3-f-2+9+6=A+20,
因为l≤A≤9,所以21≤A+20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除,所以A=7。
2植树问题
①在直线上或者不封闭的曲线上植树,两端都植树。
基本公式:
棵树=段数+1;棵距(段长)×段数=总长
②在直线上或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树。
基本公式:
棵树=段数-1;棵距(段长)×段数=总长
③在封闭曲线上植树:
基本公式:
棵树=段数;棵距(段长)×段数=总长关键问题:
确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系。
基本类型
在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树
在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
棵数=段数+1
棵距×段数=总长
棵数=段数-1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题
确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系
3,和差倍问题
和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几个数的和与差
几个数的和与倍数
几个数的差与倍数
公式适用范围
已知两个数的和,差,倍数关系
公式
①(和-差)÷2=较小数
较小数+差=较大数
和-较小数=较大数
②(和+差)÷2=较大数
较大数-差=较小数
和-较大数=较小数
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
和-小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数+差=大数
关键问题
求出同一条件下的
和与差
和与倍数
差与倍数
4.年龄问题的三个基本特征:
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
【例题】爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?
明年呢?
解35÷5=7(倍)(35+1)÷(5+1)=6(倍)
答:
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
5,平面图形
⑴多边形的内角和:
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形(位移、割补)三角形内等底等高的三角形
1平行线内等底等高的三角形
2公共部分的传递性
3极值原理(变与不变)
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2=a︰b;S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性质(份数、比例)
①
;S1︰S2=a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=(a+b)2
⑸燕尾定理
S△ABG:
S△AGC=S△BGE:
S△GEC=BE:
EC;
S△BGA:
S△BGC=S△AGF:
S△GFC=AF:
FC;
S△AGC:
S△BCG=S△ADG:
S△DGB=AD:
DB;
6,立体图形
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体:
V升水=V物
②测啤酒瓶容积:
V=V空气+V水
⑷正方体展开图
(1,4,1);(2,3,1);(2,2,2);(3,3)
⑸染色问题(正方体)
三面色8个;两面色(N-2)×12;一面色(N-2)×(N-2)×6;没有涂色(N-2)×(N-2)×(N-2)
名称
图形
特征
表面积
体积
长方体
8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等;
S=2(ab+ah+bh)
V=abh
=Sh
正方体
8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等;
S=6a2
V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形;
S=S侧+2S底
S侧=Ch
V=Sh
圆锥体
下底是圆;只有一个顶点;l:
母线,顶点到底圆周上任意一点的距离;
S=S侧+S底
S侧=rl
V=Sh
球体
圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2
V=r3
5.鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:
找出总量的差与单位量的差。
6.盈亏问题
基本概念:
一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路:
先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;基本公式:
总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;基本公式:
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:
确定对象总量和总的组数。
盈亏问题
【含义】根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】一般地说,在两次分配中,
1)如果一次盈,一次亏,则有:
参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差
2)如果两次都盈或都亏,
则有:
参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差
3)参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差
【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
7.牛吃草问题
【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。
这
类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×天数
【解题思路】解这类题的关键是求出草每天的生长量。
基本思路:
假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:
确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
一、牛吃草问题之基本
例1牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。
问:
可供25头牛吃几天?
分析与解:
牧场上原有的草是不变的,草地每天新长出的草的数量相同。
设1头牛一天吃的草为1份。
10头牛20天吃:
200份,15头牛10天吃:
150份,
200-150=50(份),20—10=10(天),说明牧场10天长草50份,1天长草5份。
原有草:
(l0—5)×20=100(份)或(15—5)×10=100(份)。
当有25头牛时,每天吃了25份,又新长出来5份,所以每天减少20份
所以,这片草地可供25头牛吃:
100÷20=5(天)。
【例2】一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完?
解:
草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。
求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5天内的草总量要5天吃完的话,得有多少头牛?
设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:
(1)求草每天的生长量
因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即
(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内
的生长量,所以1×10×20=原有草量+20天内生长量,同理1×15×10
=原有草量+10天内生长量,由此可知(20-10)天内草的生长量为
1×10×20-1×15×10=50。
因此草每天的生长量为50÷(20-10)=5。
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100
(3)求5天内草总量
5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125
(4)求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃
完草需要牛的头数:
125÷5=25(头)
答:
需要5头牛5天可以把草吃完。
练习.有一块草场,可供15头牛吃8天,或可供8头牛吃20天。
如果一群
牛14天将这块草场的草吃完,那么这群牛有多少头?
二、牛吃草问题之检票问题
例2某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟。
如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟?
分析与解:
等候检票的旅客人数在变化,“旅客”相当于“草”,“检票口”相当于“牛”,可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成:
一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客,另一部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票1分钟检票的人数为1份。
4个检票30分钟通过:
(4×30)份,
5个检票20分钟通过:
(5×20)份,
说明在(30-20)分钟内新来旅客(4×30-5×20)份,所以每分钟新来旅客
(4×30-5×20)÷(30-20)=2(份)。
可以求出原有旅客为 (4-2)×30=60(份)或(5-2)×20=60(份)。
同时打开7个检票时,每分钟减少7份,增加2份,就是每分钟减少原有的5份,或者理解为,让2个检票专门通过新来的旅客,其余的检票通过原来的旅客,需要60÷(7-2)=12(分)。
三、牛吃草问题之抽水问题
例3、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。
先打开进水管,等水池存了一些水后,再打开出水管。
如果同时打开2个出水管,那么8分钟后水池空;如果同时打开3个出水管,那么5分钟后水池空。
那么出水管比进水管晚开多少分钟?
分析与解:
先进的水相当于原有的草,后放的水相当于后长的草,出水管排水相当于牛吃草。
设出水管每分钟排出水池的水为1份,则2个出水管8分钟所排的水是2×8=16(份),3个出水管5分钟所排的水是3×5=15(份),两者相差1份,相差3分,所以每分钟的进水量是
可以求出先放过水的水量为 16-
×8=13
因为每分进
,的以用的时间是13
÷
=40分
答:
出水管比进水管晚开40分钟。
四、牛吃草问题之天牛吃草
例4由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天。
照此计算,可供多少头牛吃10天?
分析与解:
与例1不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少。
但是,我们同样可以利用例1的方法,求出每天减少的草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。
20头牛5天吃100份,15头牛6天吃90份,
相差:
100-90=10(份),相差1天,所以牧场1天减少青草10份,或者说寒冷相当于10头牛吃草。
所以牧场原有草:
20×5+10×5=150(份)。
150÷10-10=5头。
五、牛吃草问题之上楼梯问题
例5自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩每分钟走20级梯级,女孩每分钟走15级梯级,结果男孩用了5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。
问:
该扶梯共有多少级?
分析与解:
“扶梯的梯级总数”相当于“总的草量”,“梯级上升”相当于“牛吃掉”,也可以看成牛吃草问题。
男孩5分钟走了20×5=100(级),
女孩6分钟走了15×6=90(级),
女孩比男孩多走一分钟,电梯也就多转一分钟,多了10(级),说明电梯1分钟上升10级。
由男孩5分钟到达楼上,他走了20×5=100级
扶梯5分钟本身上升10×5=50级,
所以:
100+50=150(级)。
练习:
1、有三块草地,面积分别为5,6和8公顷。
草地上的草一样厚,而且长得一样快。
第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。
问:
第三块草地可供19头牛吃多少天?
2、经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或可供80亿人生活300年。
假设地球新生成的资源增长速度是一定的,为使人类有不断发展的潜力,地球最多能养活多少亿人?
8,逻辑推理
逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算,而是根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理,做到正确的判断,最终找到问题的答案。
逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性,并且没有一定的解题模式。
因此,要正确解决这类问题,不仅需要始终保持灵活的头脑,更需要遵循逻辑思维的基本规律同一律,矛盾律和排中律。
①“矛盾律”指的是在同一思维过程中,对同一对象的思想不能自相矛盾。
②“排中律”指的是在同一思维过程中,一个思想或为真或为假,不能既
不真也不假。
③“同一律”指的是在同一思维过程中,对同一对象的思想必须是确定的,
在进行判断和推理的过程中,每一概念都必须在同一意义下使用。
例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹,六个人在一起打羽毛球,举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。
第一盘,李明和小华对张虎和小红;
第二盘,张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断,小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解:
因为张虎和小红、小林都搭伴比赛,根据已知条件,兄妹二人不许搭伴,所以张虎的妹妹不是小红和小林,那么只能是小华,剩下就只有两种可能了。
第一种可能是:
李明的妹妹是小红,王宁的妹妹是小林;
第二种可能是:
李明的妹妹是小林,王宁的妹妹是小红。
对于第一种可能,第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林,这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打,不符合实际,所以第一种可能是不成立的,只有第二种可能是合理的。
所以判断结果是:
张虎的妹妹是小华;李明的妹妹是小林;王宁的妹妹是小红。
练习:
1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说:
“甲是2号,乙是3号.”
钱说:
“丙是4号,乙是2号.”
孙说:
“丁是2号,丙是3号.”
李说:
“丁是4号,甲是1号.”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半,那么丙的号码是几?
9.浓度问题
【含义】在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。
这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。
例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。
溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。
【数量关系】溶液=溶剂+溶质浓度=溶质÷溶液×100%
【解题思路】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
【例题】爷爷有16%的糖水50克,
(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?
(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?
解:
(1)需要加水多少克?
50×16%÷10%-50=30(克)
(2)需要加糖多少克?
50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)
答:
(1)需要加水30克,
(2)需要加糖10克。
1.要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%
和15%的糖水各多少克?
10.工程问题
【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路】变通后可以利用上述数量关系的公式。
1、一项工程,甲乙两队合作需12天完成,乙丙两队合作需15天完成,甲丙两队合作需20天完成,如果由甲乙丙三队合作需几天完成?
2、师徒二人合作生产一批零件,6天可以完成任务,师傅先做5天后,因事外出,由徒弟接着做3天,共完成任务的7/10,如果每人单独做这批零件各需几天?
3、一件工作甲先做6小时,乙接着做12小时可以完成,甲先做8小时,乙接着做6小时也可以完成,如果甲做3小时后由乙接着做,还需要多少小时完成?
4、蓄水池有一条进水管和一排水管,要灌满一池水,单开进水管需要5小时,排光一池水,单开排水管需3小时。
现在池内有半池水,如果按进水、排水、进水、排水……的顺序轮流各开1小时,问:
多上时间后水池的水刚好排完?
(精确到分钟)
5、甲乙二人植树,单独植完这批树甲比乙所需要的时间多1/3,如果二人一起干,完成任务时乙比甲多植树36棵,这批树一共多少棵?
6、一项工程,甲单独做需要12小时完成,乙单独做需要18小时完成,若甲先做1小时,然后乙接着做1小时,再由甲接着做1小时,…,两人如此交替工作,问完成任务时,共用了多少小时?
7,一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?
解:
题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。
由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的
1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式:
1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)答:
两队合做需要6天完成。
练习1,.一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。
现在两人合做,
完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?
2.一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。
现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?
11(综合行程问题)
基本概念:
行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式:
路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题:
确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题:
速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追及问题:
追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
流水问题:
顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
流水问题:
关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
过桥问题:
关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
主要方法:
画线段图法
基本题型:
已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。
多次相遇
线型路程:
甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程:
甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
环形跑道
行程问题中正反比例关系的应用
路程一定,速度和时间成反比。
速度一定,路程和时间成正比。
时间一定,路程和速度成正比。
钟面上的追及问题。
时针和分针成直线;
时针和分针成直角。
结合分数、工程、和差问题的一些类型。
行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
例题1,相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
【例1】甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每
小时走6千米,乙每小时走4千米,问:
二人几小时后相遇?
【解】30÷(6+4)=3(小时)
答:
3小时后两人相遇.
【例2】甲、乙两人分别沿周长为400米的操场,同时出发同向而行,甲每分钟走60米,乙每分钟走40米,问两人多少分钟后再次相遇?
【解】两人相遇的情况是:
甲领先乙以后,超过乙1圈再度赶上乙。
则此
题转化为追击问题了。
追击路程为1个周长。
400÷(60-40)=20(分钟)
答:
20分钟后两人再度相遇.
巩固练习
1.甲乙两地相距300千米,一辆客车和货车同时从两地相向而行,5小
时后,在途中相遇,客车每小时行40千米,货车每小时行多少千米?
2.从北京到沈阳的铁路长738千米.两列火车从两地同时相对开出,北京开出的火车,平均每小时行59千米;沈阳开出的火
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