全国通用版版高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例概率 第1节 随机抽样学案 文 新人教A版.docx

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全国通用版版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例概率第1节随机抽样学案文新人教A版

第1节　随机抽样

最新考纲　1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.

知识梳理

1.简单随机抽样

（1）定义：

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

（2）最常用的简单随机抽样的方法：

抽签法和随机数法.

2.系统抽样

（1）定义：

当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.

（2）系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.

①先将总体的N个个体编号；

②确定分段间隔k，对编号进行分段，当

（n是样本容量）是整数时，取k＝

；

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；

④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本.

3.分层抽样

（1）定义：

在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.

（2）应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.

[常用结论与微点提醒]

1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是

.

2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（　　）

（2）系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.（　　）

（3）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（　　）

（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平.（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2.（必修3P100A1改编）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）

A.总体B.个体

C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本

解析　由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

答案　A

3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）

A.抽签法B.系统抽样法

C.分层抽样法D.随机数法

解析　因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法.故选C.

答案　C

4.从2017名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：

先用简单随机抽样法从2017名学生中剔除17名学生，剩下的2000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率（　　）

A.不全相等B.均不相等

C.都相等，且为

D.都相等，且为

解析　从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于

.

答案　C

5.从300名学生（其中男生180人，女生120人）中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为________.

解析　因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为50×

＝30.

答案　30

考点一　简单随机抽样及其应用

【例1】

（1）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　）

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

A.0B.1C.2D.3

（2）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

A.08B.07C.02D.01

解析　

（1）①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.

（2）从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，01，所以第5个个体编号为01.

答案　

（1）A　

（2）D

规律方法　1.简单随机抽样是从含有N（有限）个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.

2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适用于总体中个体数较多的情形：

随机数表法的操作要点：

编号，选起始数，读数，获取样本.

【训练1】

（1）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（　　）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

（2）利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为

，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析　

（1）选项A，B是系统抽样，C项是分层抽样，D是简单随机抽样.

（2）依题意，得

＝

，解之得n＝28.

故每个个体在抽样过程中被抽到的概率P＝

＝

.

答案　

（1）D　

（2）C

考点二　系统抽样及其应用

【例2】

（1）（2018·安徽皖北联考）某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（　　）

A.5B.7C.11D.13

（2）（2018·长沙雅礼中学质检）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：

分钟）的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.

解析　

（1）把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组.

所以第1组抽到的数为39－32＝7.

（2）依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人.

成绩在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.

答案　

（1）B　

（2）4

规律方法　1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝

，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是

.

2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.

【训练2】

（1）（2018·郑州模拟）为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（　　）

A.13B.19C.20D.51

（2）（2018·湖北重点中学适应模拟）某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.

解析　

（1）由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，即7号，20号，33号，46号.

∴样本中还有一位同学的编号为20.

（2）系统抽样的抽取间隔为

＝6.设抽到的最小编号为x，

则x＋（6＋x）＋（12＋x）＋（18＋x）＋（24＋x）＝75，所以x＝3.

答案　

（1）C　

（2）3

考点三　分层抽样及其应用

【例3】

（1）（2017·江苏卷）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.

（2）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：

人）.

篮球组

书画组

乐器组

高一

45

30

A

高二

15

10

20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.

解析　

（1）因为样本容量n＝60，样本总体N＝200＋400＋300＋100＝1000，所以抽取比例为

＝

＝

.

因此应从丙种型号的产品中抽取300×

＝18（件）.

（2）由分层抽样得

＝

，解得a＝30.

答案　

（1）18　

（2）30

规律方法　1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：

层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.

2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系

（1）

＝

；

（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

【训练3】

（1）（2015·北京卷）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（　　）

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1800

青年教师

1600

合计

4300

A.90B.100C.180D.300

（2）（2018·唐山调研）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.

解析　

（1）设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得

＝

，故x＝180.

（2）由题设，抽样比为

＝

.

设甲设备生产的产品为x件，则

＝50，∴x＝3000.

故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.

答案　

（1）C　

（2）1800

基础巩固题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1.为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样

C.按学段分层抽样D.系统抽样

解析　不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.

答案　C

2.（2018·佛山质检）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（　　）

A.50B.40C.25D.20

解析　根据系统抽样的特点分段间隔为

＝25.

答案　C

3.下列抽样试验中，适合用抽签法的为（　　）

A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

解析　因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.

答案　B

4.（一题多解）（2018·长沙一中测试）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　）

A.100B.150C.200D.250

解析　法一　由题意可得

＝

，解得n＝100.

法二　由题意，抽样比为

＝

，总体容量为3500＋1500＝5000，

故n＝5000×

＝100.

答案　A

5.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（　　）

A.p1＝p2＜p3B.p2＝p3＜p1

C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p3

解析　由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.

答案　D

6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：

粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

解析　由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为

×1534≈169（石）.

答案　B

7.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000，001，002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为（　　）

A.700B.669C.695D.676

解析　由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，

分段间隔数k＝

＝

＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个编号为15＋（35－1）×20＝695.

答案　C

8.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）

A.101B.808C.1212D.2012

解析　甲社区每个个体被抽到的概率为

＝

，样本容量为12＋21＋25＋43＝101，所以四个社区中驾驶员的总人数N＝

＝808.

答案　B

二、填空题

9.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.

解析　设男生抽取x人，则有

＝

，解得x＝25.

答案　25

10.（2018·武汉调研）从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________.

解析　由系统抽样知，抽样间隔k＝

＝16，

因为样本中含编号为28的产品，

则与之相邻的产品编号为12和44.

故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76.

答案　76

11.在距离央视春晚直播不到20天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的《猴戏》节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：

网民态度

支持

反对

无所谓

人数（单位：

人）

8000

6000

10000

若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为________.

解析　持“支持”态度的网民抽取的人数为48×

＝48×

＝16.

答案　16

12.从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为________.

解析　根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25（n－1）≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.

答案　482

能力提升题组

（建议用时：

10分钟）

13.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（　　）

49

54

43

54

82

17

37

93

23

78

87

35

20

96

43

84

26

34

91

64

57

24

55

06

88

77

04

74

47

67

21

76

33

50

25

83

92

12

06

76

A.23B.09C.02D.17

解析　从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.

答案　C

14.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（　　）

A.800B.1000C.1200D.1500

解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.

所以

＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的

.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的

，即为

×3600＝1200.

答案　C

15.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________.

解析　由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为

＝30，抽取的号码依次为9，39，69，…，939.落入区间[451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人.

答案　10

16.一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：

如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________.

解析　由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.

答案　76