北师大版高中数学选修11模块检测卷.docx
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北师大版高中数学选修11模块检测卷
高中数学学习材料
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模块检测卷 选修1-1
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:
a∈(A∩B),则命题¬p为( )
A.a∈A B.a∈∁UB
C.a∈(A∪B)D.a∈(∁UA∪∁UB)
[答案] D
[解析] p:
a∈(A∩B),¬p:
a∉(A∩B)即a∈∁U(A∩B),
又∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB,所以选D.
2.“(m-1)(a-1)>0”是“logam>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由(m-1)(a-1)>0等价于或,由logam>0等价于或,所以条件仅具有必要性,故选B.
3.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1、B2,若△F1B1B2为等边三角形,则椭圆C的方程为( )
A.4x2+3y2=1B.4y2+3x2=1
C.+3y2=1D.3x2+=1
[答案] C
[解析] 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).根据题意知,解得a2=,b2=,故椭圆C的方程为+=1,即+3y2=1.
4.已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为-,则切点的横坐标为( )
A.3 B.2
C.1 D.
[答案] B
[解析] ∵y=-3lnx(x>0),∴y′=-.再由导数的几何意义,有-=-,解得x=2或x=-3(舍去).
5.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )
A.m>B.m≥1
C.m>1D.m>2
[答案] C
[解析] 依题意,e=,e2==>2,得1+m>2,所以m>1,选C.
6.(2015·湖南文,8)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
[答案] A
[解析] 求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),函数的定义域为(-1,1),函数f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),所以函数是奇函数.f′(x)=+=,已知在(0,1)上f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,故选A.
7.(2013·河南安阳中学高二期末)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a
A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)
[答案] A
[解析] 令F(x)=xf(x),(x>0),则F′(x)=xf′(x)+f(x)≤0,∴F(x)在(0,+∞)上为减函数,
由于xf′(x)+f(x)≤0且x>0,f(x)≥0,∴f′(x)≤-≤0,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数,
∵0f(b),
∴bf(a)>af(b),结合选项知选A.
8.已知三次函数f(x)=x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上是增函数,则m的取值范围是( )
A.m<2或m>4B.-4 C.2 [答案] D [解析] f′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7, 由题意得x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7≥0恒成立,∴Δ=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7) =64m2-32m+4-60m2+8m+28 =4(m2-6m+8)≤0, ∴2≤m≤4,故选D. 9.(2015·浙江文,5)函数f(x)=cosx(-π≤x≤π且x≠0)的图像可能为( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 因为f(-x)=(-x+)cosx=-(x-)·cosx=-f(x),故函数是奇函数,所以排除A,B;取x=π,则f(π)=(π-)cosπ=-(π-)<0,故选D. 10.(2014·江西文,9)过双曲线C: -=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 [答案] A [解析] 如图设双曲线的右焦点F,右顶点B,设渐近线OA方程为y=x, 由题意知,以F为圆心,4为半径的圆过点O,A, ∴|FA|=|FO|=r=4. ∵AB⊥x轴,A为AB与渐近线y=x的交点, ∴可求得A点坐标为A(a,b). ∴在Rt△ABO中,|OA|2===c=|OF|=4, ∴△OAF为等边三角形且边长为4,B为OF的中点,从而解得|OB|=a=2,|AB|=b=2, ∴双曲线的方程为-=1,故选A. 二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,将正确答案填在题中横线上) 11.(2014·深圳高级中学月考)给出如下四个命题: ①若“p或q”为假命题,则p,q均为假命题; ②命题“若x≥2且y≥3,则x+y≥5”的否命题为“若x<2且y<3,则x+y<5”; ③在△ABC中,“A>45°”是“sinA>”的充要条件; ④命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题. 其中正确命题的个数是________. [答案] 2 [解析] ①若“p或q”为假命题,则p,q均为假命题,所以①正确.②同时否定条件和结论得原命题的否命题是: “若x<2或y<3,则x+y<5”,所以②错误.③在△ABC中,当A=150°时,sinA<,所以③错误.④因为命题“若x=y,则sinx=siny”是真命题,所以它的逆否命题也是真命题,所以④正确.则正确命题的个数为2. 12.(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________. [答案] 4x-y-3=0 [解析] y′|x=1=(3lnx+4)|x=1=4,∴切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0. 13.(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________. [答案] (-∞,0] [解析] ∵f(x)=x3-ax2-3x,∴f′(x)=3x2-2ax-3, 又因为f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)上是增函数, f′(x)=3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立, ∴解得a≤0, 故答案为(-∞,0]. 14.已知椭圆+=1内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,则|PA|+|PB|的最大值为________. [答案] 15 [解析] 在椭圆中,由a=5,b=4得c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0),则点B是右焦点,记另一焦点为C(-3,0),则由椭圆定义得|PB|+|PC|=10,从而|PA|+|PB|=10+|PA|-|PC|,又||PA|-|PC||≤|AC|=5,故当点P,A,C共线时,|PA|+|PB|取得最大值,最大值为15. 15.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和是________. [答案] 2n+1-2 [解析] ∵y=xn(1-x),∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′·xn=n·xn-1(1-x)-xn. f′ (2)=-n·2n-1-2n=(-n-2)·2n-1. 在点x=2处点的纵坐标为y=-2n. ∴切线方程为y+2n=(-n-2)·2n-1(x-2). 令x=0得,y=(n+1)·2n, ∴an=(n+1)·2n, ∴数列的前n项和为=2n+1-2. 三、解答题(本大题共6小题,共75分,前4题每题12分,20题13分,21题14分) 16. (1)设集合A={x|-2-a 1∈A;命题q: 2∈A.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求a的取值范围; (2)已知p: 4x+m<0,q: x2-x-2>0,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围. [解析] (1)若命题p为真,则-2-a<11;若命题q为真,则-2-a<22.因为p∨q为真,p∧q为假,所以p,q一真一假.当p真q假时,1 所以a的取值范围是(1,2]. (2)由x2-x-2>0,得x>2或x<-1,令A={x|x>2或x<-1};由4x+m<0,得x<-,令B={x|x<-}. 因为p是q的充分条件,所以B⊆A,于是-≤-1,得m≥4,所以实数m的取值范围是[4,+∞). 17.已知双曲线过点P(-3,4),它的渐近线方程为y=±x. (1)求双曲线的标准方程; (2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点,点P在此双曲线上,且|PF1|·|PF2|=41,求∠F1PF2的余弦值. [答案] (1)-=1 (2) [解析] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点,且渐近线上横坐标为-3的点P′的纵坐标的绝对值为4. ∵4>4,∴双曲线的焦点在x轴上, 设方程为-=1. ∵双曲线过点P(-3,4), ∴-=1 ① 又∵= ②, 由①②,得a2=9,b2=16, ∴所求的双曲线方程为-=1. (2)设|PF1|=d1,|PF2|=d2, 则d1·d2=41.又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6. 由余弦定理得 cos∠F1PF2= ==. 18.(2014·成都质量检测)已知函数f(x)=-x2+2x-aex. (1)若a=1,求f(x)在x=1处的切线方程; (2)若f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围. [答案] (1)y=(1-e)x+ (2)(-∞,-] [解析] (1)当a=1时,f(x)=-x2+2x-ex, 则f (1)=-×12+2×1-e=-e, f′(x)=-x+2-ex,f′ (1)=-1+2-e=1-e, 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(-e)=(1-e)(x-1),即y=(1-e)x+. (2)∵f(x)在R上是增函数,∴f′(x)≥0在R上恒成立, ∵f(x)=-x2+2x-aex,f′(x)=-x+2-aex, 于是有不等式-x+2-aex≥0在R上恒成立, 即a≤在R上恒成立, 令g(x)=,则g′(x)=, 令g′(x)=0,解得x=3,列表如下: x (-∞,3) 3 (3,+∞) g′(x) - 0 + g(x) 减 极小值- 增 故函数g(x)在x=3处取得极小值,亦即最小值, 即g(x)min=-,所以a≤-, 即实数a的取值范围是(-∞,-]. 19.(2013·海淀区高二期中)已知函数f(x)=x3-2ax2+bx,其中a、b∈R,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为3. (1)求b的值; (2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求a的值. [答案] (1)3 (2)1 [解析] (1)f′(x)=a2x2-4ax+b, 由题意f′(0)=b=3. (2)∵函数f(x)在x=1处取得极大值, ∴f′ (1)=a2-4a+3=0,解得a=1或a=3. ①当a=1时,f′(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3), x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 由上表知,函数f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. ②当a=3时,f′(x)=9x2-12x+3=3(3x-1)(x-1), x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞,) (,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 由上表知,函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意. 综上所述,若函数f(x)在x=1处取得极大值,a的值为1. 20.若直线l: y=x-过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行. (1)求双曲线的方程; (2)若过点B(0,b)且与x轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点M,N,MN的垂直平分线为m,求直线m在y轴上截距的取值范围. [解析] (1)由y=x-得c=2,=,结合a2+b2=c2, 解得a=,b=1. 故双曲线的方程为-y2=1. (2)由 (1)知B(0,1),依题意可设过点B的直线方程为y=kx+1(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(1-3k2)x2-6kx-6=0,所以x1+x2=, Δ=36k2+24(1-3k2)=12(2-3k2)>0⇒0 设MN的中点为Q(x0,y0),则x0==,y0=kx0+1=.故直线m的方程为y-=-(x-),即y=-x+. 所以直线m在y轴上的截距为, 由0 所以∈(-∞,-4)∪(4,+∞). 即直线m在y轴上的截距的取值范围为(-∞,-4)∪(4,+∞). 21.(2013·福州文博中学高二期末)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值; (2)讨论g(x)与g()的大小关系; (3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<对任意x>0成立. [答案] (1)减区间(0,1) 增区间(1,+∞) 最小值1 (2)0 [解析] (1)由题设知g(x)=lnx+, ∴g′(x)=,令g′(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调递减区间. 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调递增区间, 因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g (1)=1. (2)g()=-lnx+x, 设h(x)=g(x)-g()=2lnx-x+,则 h′(x)=-. 当x=1时,h (1)=0,即g(x)=g(). 当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′ (1)=0, 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减. 当0 (1)=0,即g(x)>g(), 当x>1时,h(x) (1)=0,即g(x) (3)由 (1)知g(x)的最小值为1,所以g(a)-g(x)<对任意x>0成立⇔g(a)-1<,
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