完整word版幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量.docx
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完整word版幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量
一.幂法
1.幂法简介:
当矩阵A满足一定条件时,在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A需要满足的条件为:
(1)
(2)存在n个线性无关的特征向量,设为
1.1计算过程:
不全为0,则有
可见,当
越小时,收敛越快;且当k充分大时,有
,对应的特征向量即是
。
2算法实现
3matlab程序代码
function[t,y]=lpowerA,x0,eps,N)%t为所求特征值,y是对应特征向量
k=1;
z=0;%z相当于
y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量
x=A*y;%迭代格式
b=max(x);%b相当于
ifabs(z-b) t=max(x); return; end whileabs(z-b)>eps&&k k=k+1; z=b; y=x./max(abs(x)); x=A*y; b=max(x); end [m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值 t=x(index);%是原值,而非其绝对值。 end 4举例验证 选取一个矩阵A,代入程序,得到结果,并与eig(A)的得到结果比较,再计算A*y-t*y,验证y是否是对应的特征向量。 结果如下: 结果正确,表明算法和代码正确,然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵,与eig(A)的得到结果比较,再计算A*y-t*y,验证y是否是对应的特征向量。 设置初始向量为x0=ones(15,1),结果显示如下 可见,结果正确。 得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。 二.反幂法 1.反幂法简介及其理论 在工程计算中,可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。 其基本理论如下,与幂法基本相同: ,可知,A和A-1的特征值互为倒数,求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒数即为A的按模最小特征值所以算法基本相同,区别就是在计算 2.算法实现 3matlab程序代码 function[s,y]=invpower(A,x0,eps,n)%s为按模最小特征值,y是对应特征向量 k=1;r=0;%r相当于 y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量 [L,U]=lu(A); z=L\y; x=U\z; u=max(x); s=1/u;%按模最小为A-1按模最大的倒数. ifabs(u-r) return end whileabs(u-r)>eps&&k k=k+1; r=u; y=x./max(abs(x)); z=L\y; x=U\z; u=max(x); end [m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值 s=1/x(index);%是原值,而非其绝对值。 end 4举例验证 同幂法一样,选取一个矩阵A,代入程序,得到结果,并与eig(A)的得到结果比较,再计算A*y-t*y,验证y是否是对应的特征向量。 可见结果正确,然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵,eig(A)的得到结果比较,再计算A*y-s*y,验证y是否是对应的特征向量。 设置初始向量为x0=ones(15,1),结果显示如下 可见,结果真确。 得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。 3.计算条件数 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积,即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖,对应矩阵的3种范数,可以定义3种条件数。 函数cond(A,1)、cond(A)或cond(Ainf)是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大表明矩阵的病态程度越大. 而如果A为对称矩阵,如Hilb矩阵, 的最大最小特征值,分别为A的最大最小特征值的平方。 所以cond(A)为A的最大最小特征值得比值。 对于本例中的15阶Hilb矩阵来说,利用上面计算结果得其条件数(选择第二种条件数)为: 3.0934e+017;这与直接利用cond(A)得到的结果: 2.5083e+017在同一数量级,再次表明了上述算得得最大最小特征值的正确性,同时又表明Hilb矩阵是病态矩阵。 4.Aitken商加速法 1.简介与原理 同幂法和反幂法计算最大和最小特征值类似,如果计算最大特征值,则迭代格式为 ;计算最小特征值时,迭代格式为 。 2.算法实现 计算按模最大特征值算法如下: 类似幂法和反幂法可以写出按模最小特征值算法,此处不再赘述。 3.matlab程序代码 function[r,y]=aitken(A,x0,eps,n)%r按模最大特征值,y为对应特征向量 k=1; a0=0;%a相当于 a1=1;%a1相当于 r0=1;%相当于2中的 y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量 x=A*y; a2=max(abs(x));%a2相当于 r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);%相当于 if(a2-2*a1+a0)==0%若上式中分母为0,则迭代失败,返回 disp"初始向量迭代失败" return; end ifabs(r-r0) return end whileabs(r-r0)>eps&&k k=k+1; a0=a1; a1=a2; r0=r; y=x./max(abs(x)); x=A*y;%迭代格式 a2=max(abs(x)); if(a2-2*a1+a0)==0%若分母为0,则迭代失败,返回 return; end r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0); [m,index]=max(abs(eig(A)));%以下代码保证取出来的按模最大特征值 aa=eig(A);%是原值,而非其绝对值。 ifaa(index)>0||aa(index)==0 r=r; else r=-r; end end end 类似可得按模最小特征值和特征向量的代码如下: 与上面类似,所不同的只是迭代格式不同. function[r,y]=invaitken(A,x0,eps,n) k=1; a0=0; a1=1; r0=1; y=x0./max(abs(x0)); [L,U]=lu(A);%迭代格式的不同 z=L\y; x=U\z; a2=max(abs(x)); r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0); if(a2-2*a1+a0)==0 disp"初始向量迭代失败" return; end ifabs(r-r0) return end whileabs(r-r0)>eps&&k k=k+1; a=b; b=c; r0=r; y=x./max(abs(x)); z=L\y; x=U\z; a2=max(abs(x)); if(a2-2*a1+a0)==0 return; end r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0); end [m,index]=min(abs(eig(A)));%以下代码保证取出来的按模最大特征值aa=eig(A);%是原值,而非其绝对值。 ifaa(index)>0||aa(index)==0 r=1/r; else r=-1/r; end end 4.计算Hilb矩阵特征值 此处不再举例,而是直接应用于15阶Hilb矩阵,初始向量选为ones(15,1),结果如下,并将结果与幂法和反幂法得到结果比较 这与幂法得到的特征值和特征向量一致,表明算法和代码正确;同理,最小特征值结果如下: 这与反幂法得到的结果一致,表明结果正确。 五,对称矩阵的Rayleigh商加速法 1.简介与原理 原理如下: 2.算法实现 3.Matlab程序代码 function[r,y]=rayleigh(A,x0,eps,n)%r是特征值,y是特征向量 k=1;r0=0; y=x0./max(abs(x0)); x=A*y;%迭代格式计算新的x r=dot(y,x)/dot(y,y);%Reyleigh商 ifabs(r-r0) return end whileabs(r-r0)>eps&&k k=k+1; r0=r; y=x./max(abs(x)); x=A*y; r=dot(y,x)/dot(y,y); end end 类似得计算按模最小特征值的Rayleigh商加速法,如下: function[r,y]=invrayleigh(A,x0,eps,n) k=1;r0=0; y=x0./max(abs(x0)); [L,U]=lu(A);%迭代格式不同 z=L\y; x=U\z; r=dot(y,x)/dot(y,y); ifabs(r-r0) return end whileabs(r-r0)>eps&&k k=k+1; r0=r; y=x./max(abs(x)); z=L\y; x=U\z; r=dot(y,x)/dot(y,y); end r=1/r; end 4.计算Hilb矩阵特征值 此处不再举例,而是直接应用于15阶Hilb矩阵,初始向量选为ones(15,1),结果如下,并将结果与幂法和反幂法得到结果比较 这与幂法得到结果一致,表明算法和代码正确。 同理,最小特征值如下: 与反幂法得到结果一致,表明代码和算法正确。
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