新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法学案.docx
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新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法学案
新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法学案
一、学习目标
1.掌握全等三角形中常见辅助线的添加方法;
2.提高解决实际问题的能力.
二、知识回顾
找全等三角形的方法
(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能相等的三角形中;
(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;
(3)可以从条件和结论综合考虑,看他们能确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形.
三、新知讲解
三角形中常见辅助线的作法:
(1)连接两点构造全等三角形
例如:
已知,AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
分析:
要证∠A=∠D,可证它们所在的三角形△ABD和△DCO全等,而只有AB=DC和对顶角.
两个条件,差一个条件,,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB=DC,AC=BD,如连接BC,则△ABD和△DCO全等,所以,证得∠A=∠D.
(2)作倍长中线构造全等三角形
若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形.利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
例如:
如下图:
AD为△ABC的中线,求证:
AB+AC>2AD.
分析:
要证AB+AC>2AD,由图想到:
AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去.因此,可作辅助线:
延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE.
(3)截长补短构造全等三角形
在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
例如:
如图,△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,且AD=BD,求证:
CD⊥AC.
解析:
(截长法)在AB上取中点F,连FD.
△ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知:
DF⊥AB,故∠AFD=90°
△ADF≌△ADC(SAS)
∠ACD=∠AFD=90°,
即:
CD⊥AC.
(4)平移法
过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.
例如:
如图,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC于点D,若EB=CF.求证:
DE=DF.
分析:
因为DE,DF所在的两个三角形△DEB与△DFC不可能全等,又知EB=CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换,过点E作EG∥CF,构造中心对称型全等三角形,再利用等腰三角形的性质,使问题得以解决.
四、典例探究
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1.连接两点证全等(连公共边构造全等)
【例1】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,求证:
DC=AB,AD=BC.
总结:
四边形问题通常要转化成三角形问题求解,常作辅助线是连接对角线.
练1.已知:
如图,AC、BD相交于O点,且AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
2.倍长中线证全等(利用中点、中线构造全等)
【例2】如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
总结:
“倍长中线”的实质是用“SAS”构造全等,其中延长中线得到相等的边和对顶角.在遇到中点或中线时,通常用这种方法.
练2.如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
3.截长法或补短法证全等
【例3】如图,已知在△ABC内,∠BAC=60°,∠C=40°,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的角平分线.求证:
BQ+AQ=AB+BP.
总结:
1.截长法:
①在长边上截取一条与某一短边相同的线段;②证剩下的线段与另一短边相等.
2.补短法:
①延长短边;②通过旋转等方式使两短边拼合在一起.
练3.如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证:
AB=AD+BC.
五、课后小测
一、解答题
1.如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
2.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,
求证:
∠A+∠C=180°.
3.如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证:
AB-AC>PB-PC.
4.如图2,AD为△ABC的角平分线,AB>AC,求证:
AB-AC>BD-DC.
5.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点做一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求△AMN的周长.
典例探究答案:
【例1】【解析】可连接BD,证明△ADB≌△CBD,进而获得结论.
证明:
如图,连接BD.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在△ADB和△CBD中,
∴△ADEB≌△CBD(ASA).
∴DC=AB,AD=BC.
练1.【解析】根据已知条件证不出全等三角形,也证不出∠A=∠D.
连接BC,
在△ABC和△DBC中,
AB=CD(已知),
AC=BD(已知),
BC=BC(公共边),
∴△ABC≌△DBC.
∴∠A=∠D.
【例2】【解析】延长AD至E使AE=2AD,连接BE,CE.
AD=DE(作图)
∠ADC=∠EDB(对顶角)
CD=BD(D是中点)
∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴BE=AC=3
由三角形三边关系知:
AB-BE<2AD 即2<2AD<8, 故AD的取值范围是1 练2.【解析】(倍长中线)延长FD至G使FG=2DF,连BG,EG; 由SAS可证: △FCD≌△GBD, ∴FD=GD, 在△EFD和△EGD中, ED=ED(公共边) ∠EDF=∠EDG=90°(DE⊥DF) FD=GD(已证) ∴△EFD≌△EGD ∴EG=EF 在△BEG中,由三角形性质知 EG 故: EF 【例3】【解析】证明: (补短法)延长AB至D,使BD=BP,连接DP, 在等腰三角形BPD中,可得∠BDP=40°, 从而∠BDP=40°=∠ACP, 在△ADP和△ACP中, △ADP≌△ACP(AAS). ∴AD=AC, 又∠QBC=40°=∠QCB, 故BQ=QC. ∵BD=BP, ∴BQ+AQ=AB+BP. 练3.【解析】证明: (截长法)在AB上取点F,使AF=AD,连FE, △ADE≌△AFE(SAS) ∠ADE=∠AFE, ∠ADE+∠BCE=180° ∠AFE+∠BFE=180° 故∠ECB=∠EFB △FBE≌△CBE(AAS) 故有BF=BC 从而: AB=AD+BC. 课后小测答案: 一、解答题 1.【解析】证明: 延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG, 显然DG=AC,∠GDC=∠ACD, 由于DC=AC,故∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中, BD=AC=DG,AD=AD, ∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC=∠ADG, 故△ADB≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG, 即AD平分∠BAE. 2.【解析】(补短法)延长BA至F,使BF=BC,连FD, △BDF≌△BDC(SAS) 故∠DFB=∠DCB,FD=DC 又AD=CD 故在等腰△BFD中 ∠DFB=∠DAF 故有∠BAD+∠BCD=180°. 3.【解析】(补短法)延长AC至F,使AF=AB,连PD, △ABP≌△AFP(SAS) 故BP=PF, 由三角形性质知: PB-PC=PF-PC 4.【解析】可在AB上截取AE=AC,易得△ADE≌△ADC,从而将AB-AC转化为AB-AE,BD-DC转化为BD-DE,在△BDE中即可解决问题. 证明: 在AB上截取AE=AC,连接DE,则BE=AB-AC. 在△ADE和△ADC中, ∴△ADE≌△ADC(SAS). ∴DE=DC. 又∵BE>BD-DE,∴AB-AC>BD-DC. 点评: 本题借助角平分线,在角的两边截取相同的线段构造“SAS”形式的全等三角形,使得问题顺利得解.对线段和差问题,常用截长补短法. 5.【解析】(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CE=BM ∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°, ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°, ∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°, 又∵BM=CE,BD=CD, ∴△CDE≌△BDM, ∴∠CDE=∠BDM,DE=DM, ∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°, ∵在△DMN和△DEN中, DM=DE ∠MDN=∠EDN=60° DN=DN ∴△DMN≌△DEN, ∴MN=NE ∵在△DMA和△DEF中, DM=DE ∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF(∠CDE=∠BDM) ∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN≌△DEN(AAS), ∴MA=FE △AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6.
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- 关 键 词:
- 新人 八年 级数 上册 全等 辅助线 作法