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spfa算法+前向星优化
Spfa+前向星优化
SPFA算法
求单源最短路的SPFA算法的全称是:
ShortestPathFasterAlgorithm。
SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.
从名字我们就可以看出,这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候,给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。
简洁起见,我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。
当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。
我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,而且用邻接表来存储图G。
我们采取的方法是动态逼近法:
设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。
这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。
定理:
只要最短路径存在,上述SPFA算法必定能求出最小值。
证明:
每次将点放入队尾,都是经过松弛操作达到的。
(松弛操作的原理是著名的定理:
“三角形两边之和大于第三边”,在信息学中我们叫它三角不等式。
所谓对i,j进行松弛,就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j],如果该式成立则将d[j]减小到d[i]+w[i,j],否则不动。
)换言之,每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。
所以算法的执行会使d越来越小。
由于我们假定图中不存在负权回路,所以每个结点都有最短路径值。
因此,算法不会无限执行下去,随着d值的逐渐变小,直到到达最短路径值时,算法结束,这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
(证毕)
期望的时间复杂度O(ke),其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。
实现方法:
建立一个队列,初始时队列里只有起始点,在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。
然后执行松弛操作,用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。
重复执行直到队列为空
判断有无负环:
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)
在一幅图中,我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度是73,有时候意义不大。
这附图如果是地图的模型的话,在算出最短路径长度后,我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。
如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的,并在最后将它输出呢?
Path[]数组,Path[i]表示从S到i的最短路径中,结点i之前的结点的编号。
注意,是“之前”,不是“之后”。
最短路径算法的核心思想成为“松弛”,原理是三角形不等式,方法是上文已经提及的。
我们只需要在借助结点u对结点v进行松弛的同时,标记下Path[v]=u,记录的工作就完成了。
SPFA算法采用图的存储结构是邻接表,方法是动态优化逼近法。
算法中设立了一个先进先出的队列Queue用来保存待优化的顶点,优化时从此队列里顺序取出一个点w,并且用w点的当前路径D[W]去优化调整其它各点的路径值D[j],若有调整,即D[j]的值改小了,就将J点放入Queue队列以待继续进一步优化。
反复从Queue队列里取出点来对当前最短路径进行优化,直至队空不需要再优化为止,此时D数组里就保存了从源点到各点的最短路径值。
下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的:
设有一个有向图G={V,E},其中,V={V0,V1,V2,V3,V4},E={
算法执行时各步的Queue队的值和D数组的值由下表所示。
表一实例图SPFA算法执行的步骤及结果
初始
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
queue
D
queue
D
queue
D
queue
D
queue
D
queue
D
V0
0
V1
0
V4
0
V2
0
V3
0
0
∞
V4
2
V2
2
2
2
2
∞
∞
5
5
5
5
∞
∞
∞
∞
9
9
∞
10
9
9
9
9
算法执行到第五步后,队Queue空,算法结束。
源点V0到V1的最短路径为2,到V2的最短路径为5,到V3的最短路径为9,到V4的最短路径为9,结果显然是正确的。
SPFA在形式上和宽度优先搜索非常类似,不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。
标准SPFA过程
(以求某个结点t到某个结点s的最短路为例,稍加修改即为单源最短路)
Pascal语言代码
const
maxp=10000;{最大结点数}
var{变量定义}
p,c,s,t:
longint;{p,结点数;c,边数;s:
起点;t:
终点}
a,b:
array[1..maxp,0..maxp]oflongint;{a[x,y]存x,y之间边的权;b[x,c]存与x相连的第c个边的另一个结点y}
d:
array[1..maxp]ofinteger;{队列}
v:
array[1..maxp]ofboolean;{是否入队的标记}
dist:
array[1..maxp]oflongint;{到起点的最短路}
head,tail:
longint;{队首/队尾指针}
procedureinit;
vari,x,y,z:
longint;
begin
read(p,c);
fori:
=1tocdo
begin
readln(x,y,z);{x,y:
一条边的两个结点;z:
这条边的权值}
inc(b[x,0]);b[x,b[x,0]]:
=y;a[x,y]:
=z;{b[x,0]:
以x为一个结点的边的条数}
inc(b[y,0]);b[y,b[y,0]]:
=x;a[y,x]:
=z;
end;
readln(s,t);{读入起点与终点}
end;
procedurespfa(s:
longint);{SPFA}
vari,j,now,sum:
longint;
begin
fillchar(d,sizeof(d),0);
fillchar(v,sizeof(v),false);
forj:
=1topdodist[j]:
=maxlongint;
dist[s]:
=0;v[s]:
=true;d[1]:
=s;{队列的初始状态,s为起点}
head:
=1;tail:
=1;
whilehead<=taildo{队列不空}
begin
now:
=d[head];{取队首元素}
fori:
=1tob[now,0]do
ifdist[b[now,i]]>dist[now]+a[now,b[now,i]]then
begin
dist[b[now,i]]:
=dist[now]+a[now,b[now,i]];{修改最短路}
ifnotv[b[now,i]]then{扩展结点入队}
begin
inc(tail);
d[tail]:
=b[now,i];
v[b[now,i]]:
=true;
end;
end;
v[now]:
=false;{释放结点,一定要释放掉,因为这节点有可能下次用来松弛其它节点}
inc(head);{出队}
end;
end;
procedureprint;
begin
writeln(dist[t]);
end;
begin
init;
spfa(s);
print;
end.
前向星优化
星形(star)表示法的思想与邻接表表示法的思想有一定的相似之处。
对每个节点,它也是记录从该节点出发的所有弧,但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表示。
也就是说,在该数组中首先存放从节点1出发的所有弧,然后接着存放从节点2出发的所有孤,依此类推,最后存放从节点
出发的所有孤。
对每条弧,要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。
这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号,只是从同一节点出发的弧的顺序可以任意排列。
此外,为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧,我们一般还用一个数组记录每个节点出发的弧的起始地址(即弧的编号)。
在这种表示法中,可以快速检索从每个节点出发的所有弧,这种星形表示法称为前向星形(forwardstar)表示法。
例如,在例7所示的图中,仍然假设弧(1,2),(l,3),(2,4),(3,2),(4,3),(4,5),(5,3)和(5,4)上的权分别为8,9,6,4,0,3,6和7。
此时该网络图可以用前向星形表示法表示如下:
节点对应的出弧的起始地址编号数组(记为
)
节点号
1
2
3
4
5
6
起始地址
1
3
4
6
7
9
记录弧信息的数组
弧编号
1
2
3
4
5
6
7
8
起点
1
1
2
3
4
4
5
5
终点
2
3
4
2
3
5
3
4
权
8
9
6
4
0
3
6
7
在数组
中,其元素个数比图的节点数多1(即
),且一定有
,
。
对于节点
,其对应的出弧存放在弧信息数组的位置区间为
,
如果
,则节点
没有出弧。
这种表示法与弧表表示法也非常相似,“记录弧信息的数组”实际上相当于有序存放的“弧表”。
只是在前向星形表示法中,弧被编号后有序存放,并增加一个数组(
)记录每个节点出发的弧的起始编号。
fori:
=1tomdo
readln(a[i],b[i],e[i]);
qsort(1,m);
fori:
=1tomdo
iff[a[i]]=0thenf[a[i]]:
=i;
f[n+1]:
=m+1;
fori:
=ndownto1do
iff[i]=0thenf[i]:
=f[i+1];
通常用在点的数目太多,或两点之间有多条弧的时候。
一般在别的数据结构不能使用的时候才考虑用前向星。
除了不能直接用起点终点定位以外,前向星几乎是完美的。
前向星最常用的是来优化spfa
最基本的前项性优化的spfa(有向图)
var
a,b,e:
array[1..1000]oflongint;
vis:
array[1..2000]ofboolean;
q,d,f:
array[1..2001]oflongint;
n,m,i,s,t:
longint;
procedureqsort(l,r:
longint);
vari,j,x,y:
longint;
begin
i:
=l;
j:
=r;
x:
=a[(l+r)shr1];
repeat
whilea[i] whilea[j]>xdodec(j); ifnot(i>j)thenbegin y: =a[i];a[i]: =a[j];a[j]: =y; y: =b[i];b[i]: =b[j];b[j]: =y; y: =e[i];e[i]: =e[j];e[j]: =y; inc(i); dec(j); end; untili>j; ifi ifl end; procedurespfa(s: longint); vari,k,l,t: longint; begin fillchar(vis,sizeof(vis),0); fori: =1tondod[i]: =maxlongint; d[s]: =0; l: =0; t: =1; q[1]: =s; vis[s]: =true; repeat l: =lmod10000+1; k: =q[l]; fori: =f[k]tof[k+1]-1do ifd[k]+e[i] begin d[b[i]]: =d[k]+e[i]; ifnotvis[b[i]]thenbegin t: =tmod10000+1; q[t]: =b[i]; vis[b[i]]: =true; end; end; vis[k]: =false; untill=t; end; Begin readln(n,m); fori: =1tomdo readln(a[i],b[i],e[i]); qsort(1,m); fori: =1tomdo iff[a[i]]=0thenf[a[i]]: =i; f[n+1]: =m+1; fori: =ndownto1do iff[i]=0thenf[i]: =f[i+1]; readln(s,t); spfa(s); writeln(d[t]); end. 例题1: SweetButter香甜的黄油 描述 农夫John发现做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法: 糖。 把糖放在一片牧场上,他知道N(1<=N<=500)只奶牛会过来舔它,这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。 当然,他将付出额外的费用在奶牛上。 农夫John很狡猾。 像以前的巴甫洛夫,他知道他可以训练这些奶牛,让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。 他打算将糖放在那里然后下午发出铃声,以至他可以在晚上挤奶。 农夫John知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场(一个牧场不一定只有一头牛)。 给出各头牛在的牧场和牧场间的路线,找出使所有牛到达的路程和最短的牧场(他将把糖放在那) 格式 PROGRAMNAME: butter INPUTFORMAT: (filebutter.in) 第一行: 三个数: 奶牛数N,牧场数P(2<=P<=800),牧场间道路数C(1<=C<=1450) 第二行到第N+1行: 1到N头奶牛所在的牧场号 第N+2行到第N+C+1行: 每行有三个数: 相连的牧场A、B,两牧场间距离D(1<=D<=255),当然,连接是双向的 OUTPUTFORMAT: (filebutter.out) 一行输出奶牛必须行走的最小的距离和 SAMPLEINPUT 345 2 3 4 121 135 237 243 345 programbutter; var f1,f2: text; n,p,c: longint; count: array[1..800]oflongint; a,b: array[1..800,0..800]oflongint; d: array[1..20000]ofinteger; v: array[1..800]ofboolean; dist: array[1..800]oflongint; head,tail: longint; ans: longint; procedureinit; var i,j,x,y,z: longint; begin assign(f1,'butter.in');reset(f1); assign(f2,'butter.out');rewrite(f2); readln(f1,N,P,C); fillchar(count,sizeof(count),0); fori: =1tondobegin read(f1,x); inc(count[x]); end; fori: =1topdo forj: =1topdo a[i,j]: =maxlongint; fori: =1tocdobegin read(f1,x,y,z); inc(b[x,0]);b[x,b[x,0]]: =y;a[x,y]: =z; inc(b[y,0]);b[y,b[y,0]]: =x;a[y,x]: =z; end; end; procedurespfa(s: longint); var i,j,now,sum: longint; begin fillchar(d,sizeof(d),0); fillchar(v,sizeof(v),false); fori: =1topdodist[i]: =maxlongint; dist[s]: =0;v[s]: =true;d[1]: =s; head: =1;tail: =1; whilehead<=taildobegin now: =d[head]; fori: =1tob[now,0]do ifdist[b[now,i]]>dist[now]+a[now,b[now,i]]thenbegin dist[b[now,i]]: =dist[now]+a[now,b[now,i]]; ifnotv[b[now,i]]thenbegin inc(tail); d[tail]: =b[now,i]; v[b[now,i]]: =true; end; end; v[now]: =false; inc(head); end; sum: =0; fori: =1topdo ifcount[i]<>0then inc(sum,count[i]*dist[i]); ifans>sumthenans: =sum; end; proceduremain; var i: longint; begin ans: =maxlongint; fori: =1topdospfa(i); end; begin init; main; writeln(f2,ans); close(f2); end.
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- spfa 算法 优化