北师大版八年级数学下册第六章平行四边形易错题专题突破训练1附答案.docx
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北师大版八年级数学下册第六章平行四边形易错题专题突破训练1附答案
2021年北师大版八年级数学下册第六章平行四边形易错题专题突破训练1(附答案)
1.如图,在△ABC中,D、E分别是AB和AC的中点,S四边形BCED=15,则S△ABC=( )
A.30B.25C.22.5D.20
2.如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S△DMN:
S四边形ANME等于( )
A.1:
5B.1:
4C.2:
5D.2:
7
3.如图,在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,且∠D+∠C=210°,则∠P=( )
A.10°B.15°C.30°D.40°
4.一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,这个多边形的内角和是( )
A.360°B.540°
C.180°或360°D.540°或360°或180°
5.如图,在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A、E之间,连接CE,CF,EF,则以下四个结论一定正确的是( )
①△CDF≌△EBC;②∠ADC=∠EAF;③CG⊥AE④△ECF是等边三角形.
A.只有①②B.只有①④C.只有①②③D.①②③④
6.▱ABCD按如图方式分割成9个小平行四边形,若知道其中n个小平行四边形的周长就能求出▱ABCD的周长,那么n的最小值是( )
A.2B.3C.4D.5
7.点A,B,C,D在同一平面内,从四个条件中
(1)AB=CD,
(2)AB∥CD,(3)BC=AD,(4)BC∥AD中任选两个,使四边形ABCD是平行四边形,这样的选法有( )
A.3种B.4种C.5种D.6种
8.点A、B、C、D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD中任选两个条件,不能使四边形ABCD是平行四边形的组合是( )
A.①②B.②③C.①③D.③④
9.已知:
如图,梯形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AD=BC,AC⊥BC,BE⊥AB交AC的延长线于E,EF⊥AD交AD的延长线于F,下列结论:
①BD∥EF;②∠AEF=2∠BAC;③AD=DF;④AC=CE+EF.其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.下列说法中正确的是( )
A.一组对边平行的四边形是等腰梯形B.等腰梯形的两底角相等
C.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D.等腰梯形有两条对称轴
11.如图,已知△ABC的周长为1,连接△ABC三边的中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形,…,依此类推,则第10个三角形的周长为 .
12.在一个n边形内加1个点(点不在边上),可以把这个n边形分成 个三角形?
加2个点,最多可以把这个n边形分成 个三角形?
如果加m个点,最多可以把这个n边形分成 个三角形?
13.某数学学习小组发现:
通过连多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有3条,那么该多边形的内角和是 度.
14.如图,设∠CGE=α,用含α的代数式表示∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
15.正六边形的内角和等于 °,每个内角等于 °,共有 条对角线.
16.如图,平行四边形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点,点E为CD边的中点,连接OE,如果AB=4,OE=3,则平行四边形ABCD的周长为 .
17.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,BE,CF分别是∠ABC与∠BCD的平分线,交AD于点E、F,则线段EF的长为 .
18.在▱ABCD中,对角线相交于点O,给出下列条件:
①AB=CD,AD=BC,②AD=AB,AD∥BC,③AB∥CD,AD∥BC,④AO=CO,BO=DO其中能够判定ABCD是平行四边形的有 .
19.平面内任意一个凸四边形ABCD,现有以下六个关系式:
(1)AB∥CD;
(2)AD∥BC;(3)AD=BC;(4)AB=CD;(5)∠A=∠C;(6)∠B=∠D.从中任取两个作为条件,能够得出这个凸四边形ABCD是平行四边形的概率是 .
20.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC、AB边的中点,FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点.
求证:
(1)∠AHF=∠BGF;
(2)若AD和BC所在直线互相垂直,求
的值.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE、BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.
(1)求证:
FG=FH;
(2)若∠A=90°,求证:
FG⊥FH;
(3)若∠A=80°,求∠GFH的度数.
22.
(1)如图1,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是F、G,连接FG.求证:
FG=
(AB+BC+AC).[提示:
分别延长AF、AG与直线BC相交]
(2)如图2,若BD、CE分别是△ABC的内角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是F、G,连接FG.线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并给予证明.
23.如图,在四边形ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F,且∠1与∠2互余,∠A与∠C有怎样的数量关系?
为什么?
24.已知:
在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)如图1,求∠B与∠D的和为多少度?
(2)如图2,BE平分∠ABC交AD于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,求证:
BE∥DF.
25.如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,判断四边形ABFC的形状,并说明理由.
26.如图,已知平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E,与AD交于点F,且AF=DF.
①求证:
AB=DE;
②若AB=3,BF=5,求△BCE的周长.
27.如图,已知△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形,点E、C、F不在同一直线上.你能说明四边形CFDE是平行四边形吗?
28.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:
AD=BE.
29.如图,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证:
△AOE≌△COF;
(2)证明:
四边形AECF是平行四边形.
参考答案
1.解:
∵D、E分别是AB、AC边上的中点,
∴DE∥BC,DE=
BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴
=(
)2=
,
∴S△ADE:
S四边形BCED=1:
3,
即S△ADE:
15=1:
3,
∴S△ADE=5,
∴S△ABC=5+15=20.
故选:
D.
2.解:
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=
BC,
若设△ABC的面积是1,根据DE∥BC,得△ADE∽△ABC,
∴S△ADE=
,
连接AM,根据题意,得S△ADM=
S△ADE=
S△ABC=
,
∵DE∥BC,DM=
BC,
∴DN=
BN,
∴DN=
BD=
AD.
∴S△DNM=
S△ADM=
,
∴S四边形ANME=
=
,
∴S△DMN:
S四边形ANME=
:
=1:
5.
故选:
A.
3.解:
如图,∵∠D+∠C=210°,∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°,
∴∠DAB+∠ABC=150°.
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,
∴∠PAB+∠ABP=
∠DAB+∠ABC+
(180°﹣∠ABC)=90°+
(∠DAB+∠ABC)=165°,
∴∠P=180°﹣(∠PAB+∠ABP)=15°.
故选:
B.
4.解:
n边形的内角和是(n﹣2)•180°,
边数增加1,则新的多边形的内角和是(4+1﹣2)×180°=540°,
所得新的多边形的角不变,则新的多边形的内角和是(4﹣2)×180°=360°,
所得新的多边形的边数减少1,则新的多边形的内角和是(4﹣1﹣2)×180°=180°,
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°.
故选:
D.
5.解:
∵ABCD为平行四边形,△ABE、△ADF是等边三角形,
∴AB=CD=AE=BE,AD=BC=AF=DF,
∵∠ADC=∠ABC,∠ADF=∠ABE=60°,
∴∠FDC=∠CBE,
∴△CDF≌△EBC(SAS),
∴①正确;
②∵∠FAE=∠FAD+∠DAB+∠BAE=60°+180°﹣∠ADC+60°=300°﹣∠ADC,
∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠ADC,
∴∠FAE=∠FDC,
∵∠ADC≠∠FDC,
∴②不正确;
③无特殊角度条件,无法证③,
∴③不正确;
④同理,∠CBE=∠EAF=∠CDF,
∵BC=AD=AF,BE=AE,
∴△EAF≌△EBC(SAS),
∴∠AEF=∠BEC,
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°,
∴∠FEC=60°,
∵CF=CE,
∴△ECF等边三角形,
∴④正确.
∴一定正确的是①④.
故选:
B.
6.解:
如图,设平行四边形①的周长为a,平行四边形②的周长为b,平行四边形③的周长为c.
由题意易知大平行四边形的周长=a+b+c,
∴知道九个小平行四边形中小平行四边形①②③的周长,就一定能算出这个大平行四边形的周长,
∴n的最小值为3.
故选:
B.
7.解:
任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有
(1)
(2);(3)(4);
(1)(3);
(2)(4)共四种.
故选:
B.
8.解:
A、∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;故本选项错误;
B、②③不能判断四边形ABCD是平行四边形,可能是等腰梯形,故本选项正确;
C、∵AB∥CD,BC∥AD,
∴四边形ABCD是平行四边形;故本选项错误;
D、∵BC=AD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形;故本选项错误;
故选:
B.
9.解:
根据四边形ABCD是等腰梯形,可得出的条件有:
AC=BD,∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD(可通过全等三角形ABD和BAC得出),OA=OB,OC=OD,∠ACB=∠ADB=90°(三角形ACB和BDA全等).
①要证BD∥EF就要得出∠ADB=∠EFD,而∠ADB=90°,∠EFD=90°,因此∠ADB=∠EFD,此结论成立;
②由于BD∥EF,∠AEF=∠AOD,而∠AOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB,因此∠AEF=2∠OAB,此结论成立.
③在直角三角形ABE中,∠OAB=∠OBA,∠OAB+∠OEB=∠OBA+∠OBE=90°,因此可得出∠OEB=∠OBE,因此OA=OB=OE,那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点,由于OD∥EF,因此OD就是三角形AEF的中位线,那么D就是AF的中点,因此此结论也成立.
④由③可知EF=2OD=2OC,而OA=OE=OC+CE.那么AC=OA+OC=OC+OC+CE=2OC+CE=EF+CE,因此此结论也成立.
故选:
D.
10.解:
A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形,故本选项错误;
B、等腰梯形在同一底上的两角相等,故本选项错误;
C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形,故本选项正确;
D、等腰梯形有一条对称轴,是过两底中点的中线,故本选项错误;
故选:
C.
11.△ABC周长为1,因为每条中位线均为其对应边的长度的
,所以:
第2个三角形对应周长为
;
第3个三角形对应的周长为
;
第4个三角形对应的周长为
;
以此类推,第N个三角形对应的周长为
;
所以第10个三角形对应的周长为
.
故答案为:
.
12.解;一个n边形内加1个点(点不在边上),可以把这个n边形分成n个三角形;
加2个点,最多可以把这个n边形分成2n个三角形;
如果加m个点,最多可以把这个n边形分成mn个三角形.
故答案为:
n,2n,mn.
13.解:
∵多边形的一个顶点出发的对角线共有(n﹣3)条,
∴n﹣3=3,
∴n=6,
∴内角和=(6﹣2)×180°=720°,
故答案是:
720.
14.解:
如图,根据三角形的外角性质,∠1=∠A+∠B,∠2=∠D+∠E,
∵∠3=180°﹣∠CGE=180°﹣α,
∴∠1+∠F+180°﹣α=180°,
∴∠A+∠B+∠F=α,
同理:
∠2+∠C+180°﹣α=180°,
∴∠D+∠E+∠C=α,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α.
故答案为:
2α.
15.解:
正六边形的内角和=(6﹣2)×180°=720°,
每个内角度数=720°÷6=120°,
对角线的条数为
×6×(6﹣3)=9,
故答案为:
720,120,9.
16.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC,
又∵点E是CD边中点
∴AD=2OE,即AD=6,
∴▱ABCD的周长为(6+4)×2=20.
故答案为:
20.
17.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠AEB=∠EBC,AD=BC=5cm,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE=3cm,
同理可得:
DF=DC=3cm,
∴EF=AE+FD﹣AD=3+3﹣5=1(cm).
故答案为:
1cm.
18.解:
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴①正确;
根据AD=AB,AD∥BC不能推出四边形ABCD是平行四边形,∴②错误;
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴③正确;
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴④正确;
即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①③④,
故答案为:
①③④.
19.解:
根据题意可得:
从所给的六个关系式中任取两个作为条件,共15种取法;
其中①AB∥CD,AD∥BC;②AD=BC,AB=CD;③∠A=∠C,∠B=∠D;
④AB∥CD,AB=CD;⑤AD∥BC,AD=BC;
⑥AB∥CD,∠A=∠C;⑦AB∥CD,∠B=∠D;⑧AD∥BC,∠A=∠C;⑨AD∥BC,∠B=∠D,
共9种能得出这个四边形ABCD是平行四边形,
故其概率为
=
.
故答案为:
.
20.解:
(1)如图所示,连接BD,取BD的中点,连接EP,FP,
∵E、F分别是DC、AB边的中点,
∴EP是△BCD的中位线,PF是△ABD的中位线,
∴PF=
AD,PF∥AD,EP=
BC,EP∥BC,
∴∠H=∠PFE,∠BGF=∠FEP,
又∵AD=BC,
∴PE=PF,
∴∠PEF=∠PFE,
∴∠AHF=∠BGF;
(2)若AD和BC所在直线互相垂直,则PF与PE互相垂直,
∴∠EPF=90°,
又∵PE=PF,
∴△PEF是等腰直角三角形,
∴
=
,
又∵AD=2PF,
∴
,即
=
.
21.
(1)证明:
∵AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点
∴BD=EC
∵点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点
∴FG∥BD,GF=
FH∥EC,FH=
∴FG=FH;
(2)证明:
由
(1)FG∥BD
又∵∠A=90°
∴FG⊥AC
∵FH∥EC
∴FG⊥FH;
(3)解:
延长FG交AC于点K,
∵FG∥BD,∠A=80°
∴∠FKC=∠A=80°
∵FH∥EC
∴∠GFH=180°﹣∠FKC=100°
22.解:
(1)如图1,∵AF⊥BD,∠ABF=∠MBF,
∴∠BAF=∠BMF,
在△ABF和△MBF中,
,
∴△ABF≌△MBF(ASA),
∴MB=AB,
∴AF=MF,
同理:
CN=AC,AG=NG,
∴FG是△AMN的中位线,
∴FG=
MN,
=
(MB+BC+CN),
=
(AB+BC+AC).
(2)猜想:
FG=
(AB+AC﹣BC),
证明:
如图2,延长AG、AF,与直线BC相交于M、N,
∵由
(1)中证明过程类似证△ABF≌△NBF,
∴NB=AB,AF=NF,
同理CM=AC,AG=MG,
∴FG=
MN,
∴MN=2FG,
∴BC=BN+CM﹣MN=AB+AC﹣2FG,
∴FG=
(AB+AC﹣BC).
23.解:
∠A+∠C=180°,理由如下:
∵∠1与∠2互余,
∴∠1+∠2=90°,
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,
∴∠ABC=2∠2,∠ADC=2∠1,
∴∠ABC+∠ADC=2(∠1+∠2)=2×90°=180°,
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,
∴∠A+∠C=180°.
24.
(1)解:
∵∠A=∠C=90°,
∴∠B+∠D+∠A+∠C=(4﹣2)×180°=360°,
∴∠B+∠D=360°﹣∠A﹣∠C=180°;
即∠B与∠D的和为180度;
(2)证明:
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C=180°,
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠ABE+∠EDF=90°,
∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠AEB=∠ADF,
∴BE∥DF.
25.解:
四边形ABFC是矩形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,
∵E为BC的中点,
∴EB=EC,
在△ABE和△FCE中,
,
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴AB=CF.
∵AB∥CF,
∴四边形ABFC是平行四边形,
∵AD=BC,AD=AF,
∴BC=AF,
∴四边形ABFC是矩形.
26.解:
①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠A=∠FDE,∠ABF=∠E,
∵AF=DF,
∴△ABF≌△DEF,
∴AB=DE;
②∵BE平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
∵AD∥BC,
∴∠CBF=∠AFB,
∴∠ABF=∠AFB,
∴AF=AB=3,
∴AD=2AF=6
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=6,CD=AB=3,
∵△ABF≌△DEF,
∴DE=AB=3,EF=BF=5,
∴CE=6,BE=EF+BF=10,
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=10+6+6=22.
27.证明:
∵△ABD、△ACE都是等边三角形,
∴AD=AB,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAC=∠DAE,
∴△BAC≌△DAE(SAS),
∴DE=BC,
又∵等边三角形BCF中,CF=BC,
∴DE=CF,
同理可得,DF=EC,
∴四边形DECF是平行四边形.
28.证明:
∵DE=DC,
∴∠DEC=∠C.
∵∠B=∠C,
∴∠B=∠DEC,
∴AB∥DE,
∵AD∥BC,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD=BE.
29.解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,AB∥CD.
∴∠E=∠F.
∵在△AOE与△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(AAS);
(2)如图,连接EC、AF,
由
(1)可知△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形
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