三角形的中位线文档格式.docx

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ＢＣ（因为ＡＤ＝

ＡＢ，ＡＥ＝

ＡＣ，类比联想ΔＡＤＥ的第三边ＤＥ与ΔＡＢＣ的第三边也存在相同的倍数关系）．

由此引出课题．

二、证明猜想，形成定理

1．定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别．

2．证明上述猜想成立，教师重点分析辅助线的作法的思考过程．

教师提示学生：

所证结论即有平行又有数量关系，联想已有知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用对平行且相等证明结论成立，或者用书上的同一法．教师引导学生发散思维后，还要注意比较，选择最简捷的证明方法．

3．板书一种证明过程．

4．将“猜想改成定理，引导学生用文字叙述出三角形中位线定理的具体内容．

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．

5．分析定理成立的条件、结论及作用．

条件：

连结两边中点得到中位线．

结论有两个，即位置关系和数量关系，根据题目需要选用．

作用：

在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．

三、应用举例、变式练习

（投影）例1（直线给出图4-90的问题）根据图4-91中的条件，回答问题．

（1）已知：

如图4-91（a），D，E分别为AB和AC的中点DE=5．BC；

（2）如图4-91（b），D，E，F分别为AB，AC，BC中点，AC=8，∠C＝70°

，求DF和∠EDF；

（3）如图4-91（c），①它包含几个图4-90这样的基本图形？

②哪些三角形全等？

③有几个平行四边形？

④若ΔDEF周长为10cm，求ΔABC的周长．⑤若ΔABC的面积等于20cm2，求ΔDEF的面积．⑥AF与DE有何关系？

怎样用语言叙述这结论？

分析：

（1）可利用复合投影片实现三个图的叠加过程，以提高课堂效益并帮助学生建立分解基本图形的思想．

（2）通过此题总结：

三角形三和中位线围成的三角形的周长等于原三角形周长的一半，面积等于原三角形面积的14．这个过程可以无限进行下去，如图4-92．

（3）从解题过程可以得到：

三角形的一条中位线（DE）与第三边上的中线（AF）互相平分．

（板书）例2（包含图4-90的问题）如图4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分别为AB，AC，BC的中点．求证：

（1）四边形MNDE为等腰梯形；

（2）∠MEN＝∠MDN．

（1）由条件分析，图中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位线是MN，ME，NE”，“直角三角形斜边上中线MD，ND”．想一想，这些基本图形都有什么性质？

（2）从结论出发，要证四边形MEDN是等腰梯形，只需证MN∥DE，且MN≠DE及以下三种情况之一成立：

①ME=ND；

②MD=EN；

③∠EMN＝∠DNM．从而证得结论成立．

让学生口述，教师板书证明过程．

例3构造图4-90问题．

（1）求证：

顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形；

（2）若已知四边形为特殊四边形呢？

已知：

在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94．求证：

四边形EFGH是平行四边形．

（1）已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．

（2）让学生画图观察并思考此题的特殊情况，如图4－95，顺次连结各种特殊四边形中点得到什么图形？

投影显示：

四、师生共同小结

1．教师提问引起学生思考：

（1）这节课学习了哪些具体内容：

（2）用什么思维方法提出猜想的？

（3）应注意哪些概念之间的区别？

2．在学生回答的基础上，教师投影显示以下与三角形一边中点及线段倍分关系有关的基

本图形（如图4－96）．

（1）注意三角形中线与中位线的区别，图4－96（a），（b）．

（2）三角线的中位线的判定方法有两种：

定义及判定定理，图4－96（b），（。

）．

（3）证明线段倍分关系的方法常有三种，图4－96（b），（d），（）．

3．先猜想后证明的研究问题方法；

逆向思维，探究逆命题是否成立，由此经常得到一些好

的结论；

添辅助线构造基本图形来使用性质的解题方法．

4．三角形的中位线有这样的性质，那么梯形有中位线吗？

它有类似的性质吗？

（为下节

课作思维上的准备）

五、作业

课本第180页第4题，第184页第5，7，8题，第185页B组第1题．

补充题：

（构造三角形的中位线）

1．如图4－97，AD是上ABC的外角平分线，CD上AD于D．E是BC的中点．求证：

（1）DE∥／AB：

（2）DE＝

（AB＋AC）．

（提示：

延长CD交BA延长线于F．）

2．如图4－98，正方形ABCD对角线交于点O，E是BO中点，连结”并延长交BC于F．求证：

BF=

CF．（提示：

作OG∥EF交于BC于G．）

3．如图4－99，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，延长BA和CD分别交FE的延长线于G，H点．求证：

∠BGF＝∠CHF．（提示：

连结AC，取AC中声、M，连结EM，FM．）

课堂教学设计说明

本教学过程设计需1课时完成．

1．本节课的设计，力求让学生通过逆向思维及类比联想自己实践“分析——猜想——证

明”的过程．变被动接受知识为主动应用已有知识，探索新知识，获得成功的喜悦．

2．在应用性质定理时，通过一组层次递进的变式题的训练，由直接给出定理的基本图形

到包含基本图形，学生分解图形后使用性质，再到通过添加辅助线构造基本图形来使用性质，

学生逐步学会运用性质来解决问题，他们的解题能力、思考问题的方法得到逐步提高．

课件下载

正弦定理、余弦定理

同步教学

主讲：

黄冈中学特级教师　吴校红

一、一周知识概述

　　本周主要学习解三角形的两个重要定理——正弦定理和余弦定理．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．

二、知识归纳

1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有

（1）角与角之间的关系：

A＋B＋C＝180°

；

（2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：

a2＝b2＋c2－2bccosA

　　　　　b2＝c2＋a2－2accosB

　　　　　c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：

a＝bcosC＋ccosB

　　　　　b＝ccosA＋acosC

　　　　　c＝acosB＋bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理解三角形可解决的类型：

（1）已知两角和任一边解三角形；

（2）已知两边和一边的对角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解决的类型：

（1）已知三边解三角形；

（2）已知两边和夹角解三角形．

6、三角形面积公式：

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．

下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．

（1）当A为锐角时（如下图），

（2）当A为直角或钝角时（如下图），

也可利用正弦定理

进行讨论．

如果sinB>

1，则问题无解；

如果sinB＝1，则问题有一解；

　　如果求出sinB<

1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．

2、利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足为D．

则在Rt△ADB中，

∴AD＝AB·

sinB＝csinB

3、用方程的思想理解和运用余弦定理：

当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中

　有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．

4、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．

四、例题讲解

例1、不解三角形，判断三角形的个数．

①a＝5，b＝4，A＝120°

②a＝30，b＝30，A＝50°

③a＝7，b＝14，A＝30°

④a＝9，b＝10，A＝60°

⑤a＝6，b＝9，A＝45°

⑥c＝50，b＝72，C＝135°

[解析]

例2、在△ABC中，已知

，求A、C和c．

例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．

例4、如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB：

AC＝7：

8，

求BC边上的高．

例5、已知三角形的三个内角成等差数列，它的面积是

，周长是20cm．求三角形三边的长