泊松过程的生成及其统计分析Word文档下载推荐.docx
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,
,得到
三个随机变量的样本,在一张图上画出其直方图及理论分布曲线,并将两者对照。
比较M选取不同时的效果。
注意:
样本个数足够多。
4、验证N(t)的增量平稳性。
5、画出任意相邻两次呼叫间隔的直方图,和理论值进行对照。
验证其与其它相邻两次呼叫间隔随机变量的独立性。
二、实验过程
1、确定此泊松过程的参数
由题目容易知道,在很短的时间
内M个用户的呼叫一次的概率为MP,而由定义知道,
时间内到达交换机的呼叫一次的概率为
,故有
(1)
从而有
2、利用计算机仿真N(t)的生成过程
对每个用户,在
时间内呼叫一次的概率P很小,可以用rand函数生成一组[0,1]的随机数,当随机数小于P时,则认为有呼叫,将其置为1,否则认为没有呼叫,置为0;
有M部电话,则生成M组[0,1]的随机数,对每组随机数用上诉方法得到一个只有0和1的逻辑矩阵,用来表示某一时刻是否有呼叫。
下面是
M=3000,总时间为T=5的实验结果:
图1N(t)的生成结果
可以看到呼叫的计数过程,是递增的,并且可以计算,时间T=5内呼叫总次数平均为
多次时间结果最后的呼叫次数都在15次左右。
程序:
clc
clear
closeall
p=10^(-6);
M=3000;
dt=0.001;
T=5;
x=rand(M,T/dt);
y=[];
fori=1:
M
forj=1:
T/dt
ifx(i,j)<
p
x(i,j)=1;
else
x(i,j)=0;
end
end
y=(sum(x)~=0);
m=[];
m
(1)=0;
m(i+1)=m(i)+y(i);
t=1:
T/dt+1;
t=t*dt;
plot(t,m)
此外,matlab中还有二项分布生成函数binornd,可以用x=binornd(1,p,M,T/dt)代替中间的两个for循环,这个函数的功能是对一个发生概率为P的事件随机试验一次,若发生置为1,不发生置为0,此实验要对M个电话实验T/dt次,故生成的是M行,T/dt的矩阵,运行结果是一样的。
3、比较生成的N(t)与理论模型的吻合程度
(1)
的统计直方图和理论分布曲线
M=3000,总时间为T=1.2,选取时间t1=0.3,t2=0.6,t3=0.9作2000次试验统计的实验结果:
图2
在图2中,圆圈代表
的统计直方图,正方形代表
的统计直方图,五角星代表
的直方图。
从图中可以看出,虽然有较小的误差,但是生成的N(t)和理论模型还是基本吻合的。
程序中主要用到了直方图统计函数hist,生成max(Nt1)-min(Nt1)个直方条间的间隔刚好是1,此时的坐标分别为0.5、1.5、2.5……,并且0.5的直方条包括了0次呼叫和1次呼叫的的概率,1.5、2.5、3.5等等依次代表的是2次、3次、4次呼叫的概率,因而有了程序中的相关修正。
p=5*10^(-6);
dt=0.003;
a=M*p/dt;
T=1.2;
loop=2000;
t1=0.3;
t2=0.6;
t3=0.9;
fork=1:
loop%作loop次试验
x=rand(M,T/dt);
fori=1:
tt=dt*find((sum(x)~=0)==1);
%每次试验各个呼叫发生的时刻
Nt1(k)=sum(tt<
t1);
%每次试验在时间(0,t1)内呼叫的次数
Nt2(k)=sum(tt<
t2);
Nt3(k)=sum(tt<
t3);
[N1,index1]=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1));
%(0,t1)内呼叫次数的统计直方图
[N2,index2]=hist(Nt2,max(Nt2)-min(Nt2));
[N3,index3]=hist(Nt3,max(Nt3)-min(Nt3));
index1=[min(Nt1),index1+0.5];
%作相关修正
index2=[min(Nt2),index2+0.5];
index3=[min(Nt3),index3+0.5];
N1=[sum(Nt1==min(Nt1)),N1
(1)-sum(Nt1==min(Nt1)),N1(2:
end)];
N2=[sum(Nt2==min(Nt2)),N2
(1)-sum(Nt2==min(Nt2)),N2(2:
N3=[sum(Nt3==min(Nt3)),N3
(1)-sum(Nt3==min(Nt3)),N3(2:
p1=[];
p2=[];
p3=[];
length(index1)
p1=[p1,(a*t1)^index1(k)*exp(-a*t1)/factorial(index1(k))];
%理论值
length(index2)
p2=[p2,(a*t2)^index2(k)*exp(-a*t2)/factorial(index2(k))];
length(index3)
p3=[p3,(a*t3)^index3(k)*exp(-a*t3)/factorial(index3(k))];
stem(index1,N1/loop,'
r'
);
holdon
plot(index1,p1,'
)
stem(index2,N2/loop,'
bs'
plot(index2,p2,'
b'
stem(index3,N3/loop,'
gp'
plot(index3,p3,'
g'
(2)比较M不同时的实验效果
对于上面的参数,我们选择t2时刻,M分别取1000、2000、3000得到
的统计直方图如图3所示,圆形对应的是M=1000,正方形对应的是M=2000,五角星对应的是M=3000,从图3中可以看到,当M值增大时,直方图和;
理论曲线都往右移动,从理论上分析,在P和
不变时,M值越大,强度常数
越大,相同时间内呼叫的次数更多,所以在呼叫次数多的地方概率更大,曲线往右移动。
图3M不同时的实验效果对比
4、验证N(t)的增量平稳性
增量平稳性数学表示为,对任何s和t,P{N(s+t)-N(s)=n}=P{N(t)=n},即在相同时间内呼叫n次的概率相等。
下图是取了三个相等的时间间隔
进行的呼叫次数的直方图统计结果:
图4增量平稳性验证曲线
由于只需要相同时间内呼叫相同次数的概率相同,为了简化程序和计算量,在直方图统计中没有对第一个直方条进行修正,并不影响实验的结论,从图4中可以看到,三个相等的时间间隔呼叫次数的概率分布曲线基本重合,说明相同时间间隔内呼叫次数相同的概率基本相同,从而验证了增量平稳性。
T=1.8;
loop
y=(sum(x)~=0);
m=[];
m
(1)=0;
Nt1(k)=m(201)-m
(1);
Nt2(k)=m(401)-m(201);
Nt3(k)=m(601)-m(401);
plot(index1,N1/loop,'
holdon;
plot(index2,N2/loop,'
plot(index3,N3/loop,'
5、
(1)画出任意相邻两次呼叫间隔的直方图,和理论值进行对照。
由理论可知,任意两次的呼叫间隔的概率分布函数为负指数分布:
,下面是
M=3000,总时间为T=3,选取第二次和第一次呼叫的时间间隔得到的统计实验结果:
图5呼叫时间间隔分布直方图
从图5中可以看出,相邻两次呼叫间隔满足负指数分布,与理论相符。
编程时,将时间间隔平均分在50个直方条中,在求理论值时,需要对负指数型概率密度函数在每个直方条中求积分,需要注意的是积分的区间。
T=3;
loop=3000;
fork=1:
y=sum(x)~=0;
tt=dt*find(y==1);
%fori=1:
length(tt)-1
%b(i)=tt(i+1)-tt(i);
%end
b(k)=tt
(2)-tt
(1);
c(k)=tt(4)-tt(3);
[N1,index1]=hist(b,50);
dh=(max(b)-min(b))/100;
50
t=(index1(i)-dh):
0.001:
(index1(i)+dh);
l=a*exp(-a*t);
q(i)=trapz(t,l);
plot(index1,q)
Eb=sum(b)/length(b);
Ec=sum(c)/length(c);
Ebc=sum(b.*c)/length(b);
Db=sum(b.*b)/length(b)-Eb^2;
Dc=sum(c.*c)/length(c)-Ec^2;
Covbc=Ebc-Eb*Ec;
rov=Covbc/sqrt(Db)/sqrt(Dc)
(2)验证其与其它相邻两次呼叫间隔随机变量的独立性
可以再选取第四次和第三次呼叫的时间间隔来验证,要验证其独立性,我们可以求它们的相关系数,程序见上面,计算可以得到相关系数rov=0.0107,M=4000时,rov=0.0106,,当M增大时,rov减小,当M足够大时,rov将接近0,独立性得证,但是这是不严格的,如果要整个证明两个随机变量x、y的独立性,我们需要证明
,从数值上来证明比较困难。
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- 过程 生成 及其 统计分析