学年苏科版七年级下册 第7章 《平面图形的认识二》 单元高频易错必刷题四.docx

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学年苏科版七年级下册第7章《平面图形的认识二》单元高频易错必刷题四

2020--2021学年七年级下册第7章《平面图形的认识

（二）》

单元高频易错必刷题（四）

1．如图1，∠FBD＝90°，EB＝EF，CB＝CD．

（1）求证：

EF∥CD；

（2）如图2所示，若将△EBF沿射线BF平移，即EG∥BC，∠FBD＝90°，EG＝EF，CB＝CD，请问

（1）中的结论是否仍成立？

请证明．

2．线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．

（1）若点P在线段AD上，如图1，

①依题意补全图1；

②判断AM与DN的位置关系，并证明；

（2）是否存在点P，使AM⊥DN？

若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．

3．如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．

（1）求证：

HG∥AE．

（2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数．

4．如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，则有MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请你在括号内填上依据．

思考过程：

因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），

所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（　　）

所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）．

所以　　（同位角相等，两直线平行）．

所以∠2＝∠CBD（　　）

因为∠1＝∠2（已知），

所以∠1＝∠CBD（　　）．

所以　　（内错角相等，两直线平行），

因为∠BMD+∠ABC＝180°（　　），

所以MD∥BC（　　）

所以MD∥GF（　　）

5．如图，已知∠A＝∠ADE．

（1）若∠EDC＝4∠C，求∠C的度数；

（2）若∠C＝∠E，求证：

BE∥CD．

6．完成下面的证明：

（1）已知：

如图1，AB∥CD．

求证：

∠1+∠3＝180°．

证明：

∵AB∥CD（已知），

∴∠1+∠2＝180°（　　），

又∵∠2＝∠3（　　），

∴∠1+∠3＝180°（　　），

（2）已知：

如图2，AM∥EF，∠1＝∠B．

求证：

∠2＝∠C．

证明：

∵∠1＝∠B（已知），

∴EF∥BC（　　），

∵AM∥EF（已知），

∴AM∥BC（　　），

∴∠2＝∠C（　　）．

7．【生活常识】

射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．

【现象解释】

如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．已知：

∠1＝55°，求∠4的度数．

【尝试探究】

如图3，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，若∠MON＝46°，求∠CEB的度数．

【深入思考】

如图4，有两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，α与β之间满足的等量关系是　　．（直接写出结果）

8．完成推理填空：

已知，如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1．试说明AD平分∠BAC．

证明：

∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），

∴∠ADC＝∠　　＝90°（垂直的定义），

∴AD∥EG（　　），

∴∠1＝∠2（　　），

∠　　＝∠3，（两直线平行，同位角相等）

又∵∠E＝∠1（已知），

∴∠　　＝∠　　（等量代换），

∴AD平分∠BAC．

9．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．

小明：

老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即

已知：

如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．

求证：

∠AEC＝∠A+∠C．

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：

过点E作EF∥AB，

∴∠1＝∠A．

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD．

∴∠2＝∠C．

∵∠AEC＝∠1+∠2，

∴∠AEC＝∠A+∠C．

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．

（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝　　．

（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共线，F、C、H共线，则∠H＝　　．

10．探究与发现：

如图

（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图

（1）观察“规形图

（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：

①如图

（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　　°．

②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．

参考答案

1．

（1）证明：

如图1，连接FD，

∵EB＝EF，CB＝CD，

∴∠EBF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，

∵∠FBD＝90°，

∴∠EBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，

∴∠EFB+∠CDB＝90°，

∴∠EFD+∠CDF＝180°，

∴EF∥CD；

（2）成立，

证明：

如图2，连接FD，延长CB到H，

∵EG∥BC，

∴∠EGF＝∠HBF，

∵∠FBD＝90°，

∴∠HBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，

∴∠EGF+∠CBD＝90°，

∵EG＝EF，CB＝CD，

∴∠EGF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，

∴∠EFB+∠CDB＝90°，

∴∠EFD+∠CDF＝180°，

∴EF∥CD．

2．解：

（1）①根据题意作出图形如下：

②AM∥DN．

证明：

∵AM平分∠BAD，DN平分∠CDA，

∴∠DAM＝，，

∵AB∥CD，

∴∠BAD＝∠CDA，

∴∠DAM＝∠ADN，

∴AM∥DN；

（2）当P点在AD直线上，位于AB与CD两平行线之外时，AM⊥DN．

证明：

如下图，

∵AB∥CD，

∴∠PAF＝∠PDC，

∵∠PAF+∠PAB＝180°，

∴∠PDC+∠PAB＝180°，

∵AM平分∠BAP，DN平分∠CDA，

∴∠BAM＝，，

∴∠CDN+∠BAM＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠AFD＝∠CDN，

∵∠EAF＝∠BAM，

∴∠AFE+∠EAF＝90°，

∴∠AEF＝90°，

∴AM⊥DN．

3．

（1）证明：

由折叠知∠AEB＝∠AEF，

∵EG平分∠CEF，

∴∠FEG＝∠CEG，

∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，

∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，

∴AE⊥EG，

∵HG⊥EG，

∴HG∥AE；

（2）解：

∵∠CEG＝20°，∠AEG＝90°，

∴∠AEB＝70°，

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB＝∠DAE＝70°，

∵HG∥AE，

∴∠DHG＝∠DAE＝70°．

4．解：

因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），

所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义），

所以∠BDC＝∠EFC（等量代换），

所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行），

所以∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等），

因为∠1＝∠2（已知），

所以∠1＝∠CBD（等量代换），

所以BC∥GF（内错角相等，两直线平行），

因为∠BMD+∠ABC＝180°（已知），

所以MD∥GF（同旁内角互补，两直线平行），

所以DM∥BC（平行于同一条直线的两条直线平行）；

故答案为：

垂直的定义；BD∥EF；两直线平行，同位角相等；等量代换；BC∥GF；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．

5．

（1）解：

∵∠A＝∠ADE，

∴DE∥AC，

∴∠EDC+∠C＝180°，

∵∠EDC＝4∠C，

∴4∠C+∠C＝180°，

解得，∠C＝36°；

（2）证明：

∵DE∥AC，

∴∠E＝∠ABE，

∵∠C＝∠E，

∴∠C＝∠ABE，

∴BE∥CD．

6．

（1）证明：

∵AB∥CD（已知），

∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵∠2＝∠3（对顶角相等），

∴∠1+∠3＝180°（等量代换），

（2）证明：

∵∠1＝∠B（已知），

∴EF∥BC（同位角相等，两直线平行），

∵AM∥EF（已知），

∴AM∥BC（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），

∴∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：

两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

7．

（1）解：

如图2中，

∵∠1＝∠2，∠1＝55°．

∴∠2＝55°．

∵OM⊥ON．

∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣55°＝35°．

∵∠4＝∠3．

∴∠4＝35°．

（2）解：

如图3中，

∵∠MON＝46°，

∴∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣46°＝134°，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠ECB+∠EBC＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣134°×2＝92°，

∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠EBC＝180°﹣92°＝88°．

（3）解：

结论：

β＝2α．

理由：

如图4中，

∵∠E+∠EBD＝∠O+∠4，∠4＝∠3＝∠O+∠2，∠1＝∠2＝∠EBD，

∴β+∠1＝α+α+∠1，

∴β＝2α．

8．证明：

∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），

∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义），

∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），

∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），

又∵∠E＝∠1（已知），

∴∠2＝∠3（等量代换），

∴AD平分∠BAC．

故答案为：

EGC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；E；2；3．

9．解：

（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：

∵EM∥AB，

∴∠1＝∠B，

又∵FN∥AB，

∴FN∥EM，

∴∠2＝∠3，

又∵AB∥CD，

∴FN∥CD，

∴∠4+∠C＝180°，

又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°

∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C

＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）

＝60°+180°

＝240°；

（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：

∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，

∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，

又∵EF∥AB，

∴2∠1+∠7＝180°，

又∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴2∠4+∠8＝180°，

∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），

又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，

∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，

又∵MN∥AB，

∴∠1＝∠5，

又∵AB∥CD，

∴