辅导资料8相交线.docx
- 文档编号:22879605
- 上传时间:2023-04-28
- 格式:DOCX
- 页数:37
- 大小:317.38KB
辅导资料8相交线.docx
《辅导资料8相交线.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《辅导资料8相交线.docx(37页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
辅导资料8相交线
辅导资料8相交线
知识点1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
(4)两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
知识点2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
垂线的判定:
∵∠AOC=90°,∴AB⊥CD(垂直的定义)
垂线的性质∵AB⊥CD,∴∠AOC=90°(垂直的定义)
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
知识点3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
知识点4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
知识点5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具有垂直于已知直线的共同特征。
(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
联系:
都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
6知识点、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
知识点7、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
如图,判断下列各对角的位置关系:
⑴∠1与∠2;
⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
1
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;
∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
专项练习:
1、在数学课上,同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时,有一部分同学画出下列四种图形,请你数一数,错误的个数为( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
2、下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A、1个B、2个C、3个D、4个
3、点P是直线l外一点,A、B、C为直线l上的三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离( )
A、小于2cmB、等于2cmC、不大于2cmD、等于4cm
4、下列说法中,正确的是( )
A、垂线最短B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C、相等的角一定是对顶角D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5、下列说法中正确的是( )
A、有且只有一条直线垂直于已知直线B、互相垂直的两条线段一定相交
C、从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离
D、直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm,则点A到直线c的距离是3cm
6、(2010•台州)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP长不可能是( )
A、2.5B、3C、4D、5
7、如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5cm,BC=3cm,则BD的长度的取值范围是( )
A、大于3cmB、小于5cmC、大于3cm或小于5cmD、大于3cm且小于5cm
8、如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有( )个.
A、1个B、2个C、3个D、4个
9、若A,B,C是直线l上的三点,P是直线l外一点,且PA=5cm,PB=4cm,PC=3cm,则点P到直线L的距离( )
A、等于3cmB、大于3cm而小于4cmC、不大于3cmD、小于3cm
10、已知线段AB=10cm,点A,B到直线l的距离分别为6cm,4cm.符合条件的直线l有( )
A、1条B、2条C、3条D、4条
11、下列四个说法:
(1)线段AB是点A与点B之间的距离;
(2)射线AB与射线BA表示同一条射线;(3)经过一点有且只有一条直线与已知直线平行;(4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.其中正确的个数是( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
12、如图,AB⊥BC,BD⊥AC于点D,则B到AC的距离是下列哪条线段的长度?
( )
A、ABB、BCC、BDD、CD
13、如图,P为直线l外一点,A、B、C在l上,且PB⊥l,有下列说法:
①PA,PB,PC三条线段中,PB最短;②线段PB的长叫做点P到直线l的距离;③线段AB的长是点A到PB的距离;④线段AC的长是点A到PC的距离.其中正确的个数是( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
14、如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数为( )
①AB⊥AC;②AD与AC互相垂直;③点C到AB的垂线段是线段AB;④点D到BC的距离是线段AD的长度;⑤线段AB的长度是点B到AC的距离;⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦AD>BD.
A、2个B、4个C、7个D、0个
15、如图,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,DE⊥BC于点E,能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )
A、3条B、4条C、7条D、8条
16、如果平行直线EF、MN与相交直线AB、CD相交如图所示的图形,则共得同旁内角为( )
A、4对B、8对C、12对D、16对
17、如图,若直线MN与△ABC的边AB、AC分别交于E、F,则图中的内错角有( )
A、2对B、4对C、6对D、8对
18、如图,与∠α构成同旁内角的角有( )
A、1个B、2个C、5个D、4个
19、如图所示,同位角共有( )
A、6对B、8对C、10对D、12对
20、在同一平面内,三条直线两两相交,最多有3个交点,那么8条直线两两相交,最多有 _________ 个交点.
21、已知1条直线将平面分割为2个区域,2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域,则10条直线两两相交最多可将平面分割成 _________ 个区域.
22、平面内两两相交的4条直线,其交点个数最少为m个,最多为n个,则m+n= _________ .
23、如图,FC⊥AD于C,GB⊥AD于B,∠DCE=∠A,那么与∠AGB相等的角有 _________ .
24、在同一平面内有2002条直线a1,a2,…,a2002,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,那么a1与a2002的位置关系是 _________ .
25、如图,AB⊥BC,则AB _________ AC(填“>”或“=”或“<”),其理由是 _________ .
26、如图,要从小河引水到村庄A,请设计并作出一最佳路线,理由是 _________ .
27、平面上有A,B两点之间的距离是5cm.若该平面内有另一点C,C到A,B两点的距离之和也等于5cm,则点C在 _________ ;若C到A,B两点的距离之和大于5,则点C在 _________ ;若C到A,B两点的距离之和小于5,则点C _________ .
28、如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是 _________ ,点A到BC的距离是 _________ ,点B到CD的距离是 _________ ,A,B两点间的距离是 _________ .
29、如图,CD⊥OB于D,EF⊥OA于F,则C到OB的距离是 _________ 的长度,E到OA的距离是 _________ 的长度,O到CD的距离是 _________ 的长度,O到EF的距离是 _________ 的长度.
30、如图,标有角号的7个角中共有 _________ 对内错角, _________ 对同位角, _________ 对同旁内角.
31、如图,图中内错角的对数是 _________ .
32、如图,按角的位置关系填空:
∠A与∠1是 _________ ,是由直线 _________ 与 _________ 被 _________ 所截构成的;∠A与∠3是 _________ ,是由直线 _________ 与 _________ 被 _________ 所截构成的;∠2与∠3是 _________ ,是由直线 _________ 与 _________ 被 _________ 所截构成的.
33、如图,在∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠B、∠D、∠ACE中,与∠D是同位角的是 _________ ;与∠2是内错角的是 _________ .
34、如图,标有角号的7个角中共有 _________ 对内错角, _________ 对同位角, _________ 对同旁内角.
35、如图填空.
(1)若ED,BC被AB所截,则∠1与 _________ 是同位角.
(2)若ED,BC被AF所截,则∠3与 _________ 是内错角.
(3)∠1与∠3是AB和AF被 _________ 所截构成的 _________ 角.
(4)∠2与∠4是 _________ 和 _________ 被BC所截构成的 _________ 角.
36、如图,在图上标出∠β的所有同位角,并标上数字 _________ .
37、平面上有10条直线,其中4条直线交于一点,另有4条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?
它们最多能把平面分成多少个部分?
38、
(1)1条直线,最多可将平面分成1+1=2个部分;
(2)2条直线,最多可将平面分成1+1+2=4个部分;
(3)3条直线,最多可将平面分成 _________ 个部分;
(4)4条直线,最多可将平面分成 _________ 个部分;
(5)n条直线,最多可将平面分成 _________ 个部分.
39、如图
(1)两条直线相交于一点,有 _________ 对对顶角;
如图
(2)三条直线相交于一点,请写出所有对顶角;如图(3)n条直线相交于一点,有 _________ 对对顶角.
40、已知:
如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:
∠DOE=4:
1.求∠AOF的度数.
41、如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°.
求:
(1)∠BOE的度数;
(2)∠AOC的度数.
42、已知:
如下图,AB,CD,EF三直线相交于一点O,且OE⊥AB,∠COE=20°,OG平分∠BOD,求∠BOG的度数.
43、分别过点P作线段MN的垂线.
44、如图所示,修一条路将A,B两村庄与公路MN连起来,怎样修才能使所修的公路最短?
画出线路图,并说明理由.
45、如图,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它到四个村庄距离之和最小;
(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短并说明根据.
答案与评分标准
一、填空题(共9小题)
1、在同一平面内,三条直线两两相交,最多有3个交点,那么8条直线两两相交,最多有 28 个交点.
考点:
相交线。
专题:
规律型。
分析:
在同一平面内,n条直线两两相交,则有
个交点,代入即可求解.
解答:
解:
交点的个数为
=28,故答案为28个.
点评:
能够求解同一平面内,直线两两相交的交点的个数.
2、已知1条直线将平面分割为2个区域,2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域,则10条直线两两相交最多可将平面分割成 56 个区域.
考点:
相交线。
专题:
规律型。
分析:
先分别求得3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数,总结规律,进而求解.
解答:
解:
1条直线,将平面分为两个区域;
2条直线,较之前增加1条直线,增加1个交点,增加了2个平面区域;
3条直线,与之前两条直线均相交,增加2个交点,增加了3个平面区域;
4条直线,与之前三条直线均相交,增加3个交点,增加了4个平面区域;
…
n条直线,与之前n﹣1条直线均相交,增加n﹣1个交点,增加n个平面区域;
所以n条直线分平面的总数为2+(2+3+4+5+6+7+8+…n)=1+(1+2+3+4+5+6+7+8+…n)=1+
,
把n=10代入得有56个区域.
点评:
此题需要先总结规律,再求解,也是典型题目,公式需熟记.
3、平面内两两相交的4条直线,其交点个数最少为m个,最多为n个,则m+n= 7 .
考点:
相交线。
分析:
4条直线两两相交,有3种位置关系,画出图形,求出m,n的值,再代入进行解答.
解答:
解:
若4条直线两两相交,其位置关系有3种,如图所示:
则交点的个数有1个,或4个,或6个.
故m=1,n=6,
m+n=1+6=7.
故答案为:
7.
点评:
本题主要考查了直线两两相交时交点的情况,关键是画出图形.
4、如图,FC⊥AD于C,GB⊥AD于B,∠DCE=∠A,那么与∠AGB相等的角有 ∠F,∠ECF .
考点:
垂线。
分析:
由FC⊥AD,GB⊥AD,推CF∥BG,寻找与∠AGB相等的角;由同位角∠DCE=∠A,推CE∥AF,再寻找与∠AGB相等的角;要充分运用平行线的判断与性质解题.
解答:
解:
∵FC⊥AD于C,GB⊥AD于B,
∴CF∥BG,
∴∠AGB=∠F.(两直线平行,同位角相等)
∵∠DCE=∠A,
∴CE∥AF.(同位角相等,两直线平行)
∴∠F=∠ECF.(两直线平行,内错角相等)
∴∠AGB相等的角有∠F,∠ECF.
点评:
此题主要考查了垂线与平行线的性质.
5、在同一平面内有2002条直线a1,a2,…,a2002,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,那么a1与a2002的位置关系是 垂直 .
考点:
垂线;平行线。
专题:
规律型。
分析:
a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.根据此规律可求a1与a2002的位置关系是垂直.
解答:
解:
∵a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.∴(2002﹣1)÷4=500余1,
故答案为垂直.
点评:
本题难点在规律的探索,要认真观察即可得出规律.
6、如图,AB⊥BC,则AB < AC(填“>”或“=”或“<”),其理由是 垂线段最短 .
考点:
垂线段最短。
分析:
把BC看作直线,点A为直线BC外一点,根据垂线段定理进行判断.
解答:
解:
根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短,可知AB<AC,
其理由是垂线段最短.
点评:
本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短的性质.
7、如图,要从小河引水到村庄A,请设计并作出一最佳路线,理由是 垂线段最短 .
考点:
垂线段最短。
专题:
应用题。
分析:
过直线外一点作直线的垂线,这一点与垂足之间的线段就是垂线段,且垂线段最短.据此作答.
解答:
解:
根据垂线段定理,连接直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短,
∴过点A作河岸的垂线段,理由是垂线段最短.
点评:
本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短在生活中的应用.
8、平面上有A,B两点之间的距离是5cm.若该平面内有另一点C,C到A,B两点的距离之和也等于5cm,则点C在 线段AB上 ;若C到A,B两点的距离之和大于5,则点C在 线段AB外 ;若C到A,B两点的距离之和小于5,则点C 不存在 .
考点:
垂线段最短。
分析:
根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短进行分析.
解答:
解:
由垂线段定理可知:
C到A,B两点的距离之和也等于5cm,则点C在线段AB上;
若C到A,B两点的距离之和大于5,则点C在线段AB外;
若C到A,B两点的距离之和小于5,则点C不存在.
故应填:
线段AB上,线段AB外,不存在.
点评:
此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短的性质.
9、如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是 4.8 ,点A到BC的距离是 6 ,点B到CD的距离是 6.4 ,A,B两点间的距离是 10 .
考点:
点到直线的距离;两点间的距离。
专题:
计算题。
分析:
点到直线的距离是指垂线段的长度,两点间的距离是连接两点的线段的长度.
解答:
解:
点C到直线AB的垂线段是CD,所以线段CD的长是点C到直线AB的距离,即点C到AB的距离是4.8;
点A到直线BC的垂线段是AC,所以线段AC的长是点A到直线BC的距离,即点A到BC的距离是6;
点B到直线CD的垂线段是BD,所以线段BD的长是点B到直线CD的距离,即点B到CD的距离是6.4;
点B到点A的距离是线段AB的长,即点B到点A的距离是10.
故填4.8,6,6.4,10.
点评:
本题考查了点到直线的距离的定义以及两点间的距离的定义,注意距离是线段的长度,不是线段.
二、解答题(共13小题)
10、平面上有10条直线,其中4条直线交于一点,另有4条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?
它们最多能把平面分成多少个部分?
考点:
相交线。
专题:
规律型。
分析:
(1)画出图形,数出交点个数即可;
(2)从规律看,4条平行线第一条直线和每条相交将会多出4+1个平面,第二条直线和每条相交将会多出5+1个平面依次类推.
解答:
解:
如图,图中共有33个交点.
4条平行线5部分,
加一条线10部分,
再加一条16部分,
可以看出规律5→10→16,
先加5再加6,
所以答案是5+5+6+7+8+9+10=50.
点评:
此题考查了图形的变化规律,画出图形是解题的关键.先根据具体数值得出规律,即可计算出正确结果.
11、
(1)1条直线,最多可将平面分成1+1=2个部分;
(2)2条直线,最多可将平面分成1+1+2=4个部分;
(3)3条直线,最多可将平面分成 7 个部分;
(4)4条直线,最多可将平面分成 11 个部分;
(5)n条直线,最多可将平面分成
个部分.
考点:
相交线。
专题:
规律型。
分析:
先分别求得3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数,总结规律,进而求解.
解答:
解:
1条直线,将平面分为两个区域;
2条直线,较之前增加1条直线,增加1个交点,增加了2个平面区域;
3条直线,与之前两条直线均相交,增加2个交点,增加了3个平面区域;
4条直线,与之前三条直线均相交,增加3个交点,增加了4个平面区域;
…
n条直线,与之前n﹣1条直线均相交,增加n﹣1个交点,增加n个平面区域;
所以n条直线分平面的总数为1+(1+2+3+4+5+6+7+8+…n)=1+
,
(1)3条直线,最多可将平面分成1+1+2+3=7个部分,
(2)4条直线,最多可将平面分成1+1+2+3+4=11个部分,
(3)n条直线,最多可将平面分成1+1+2+3+4++n=
+1=
个部分.
故应填7,11,
.
点评:
本题是规律探寻题,理清数据的发生、发展规律是解题的关键.
12、如图
(1)两条直线相交于一点,有 2 对对顶角;
如图
(2)三条直线相交于一点,请写出所有对顶角;
如图(3)n条直线相交于一点,有 n(n﹣1) 对对顶角.
考点:
对顶角、邻补角。
专题:
规律型。
分析:
(1)两条直线相交于一点,有2×1=2对对顶角;
(2)三条直线相交于一点,有3×2=6对对顶角;
(3)根据
(1)、
(2)观察的规律可知,n条直线相交于一点,有n(n﹣1)对对顶角.
解答:
解:
(1)两条直线相交于一点,有2对对顶角;
(2)三条直线相交于一点,有∠AOB和∠DOE,∠AOC和∠DOF,∠BOC和∠EOF
∠BOD和∠EOA,∠COD和∠FOA,∠COE和∠FOB,6对;
(3)n条直线相交于一点,有n(n﹣1)对对顶角.
点评:
本题考查多条直线相交于一点所形成的对顶角的个数的计算规律.即n条直线相交于一点,有n(n﹣1)对对顶角.
13、如图,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,OF平分∠AOD,∠COE=28°.
求∠AOC和∠DOF的度数.
考点:
对顶角、邻补角;角平分线的定义;角的计算。
专题:
应用题。
分析:
由已知可求出∠BOC=90°+28°=118°,再
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 辅导资料 相交