北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形 解答题训练一解析版.docx

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北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形解答题训练一解析版

第一章特殊平行四边形解答题训练

（一）

1．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．

求证：

（1）△ABF≌△DAE；

（2）DE＝BF+EF．

2．

（1）计算：

﹣（﹣1）+|﹣2|+（

﹣2）0；

（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：

四边形ABCD是矩形．

3．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．

（1）求证：

BG＝DE；

（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

4．已知：

如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：

AE＝AF．

5．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：

AF＝CE．

6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．

（1）求证：

四边形DEBF是平行四边形；

（2）当DE＝DF时，求EF的长．

7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：

HD＝HG．

8．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：

∠1＝∠2．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．

（1）求证：

△OEC为等腰三角形；

（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．

10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）证明：

△ADG≌△DCE；

（2）连接BF，证明：

AB＝FB．

11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？

请说明理由．

12．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：

OE＝OF．

13．如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：

四边形EFGH是菱形．

14．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E、F．

（1）求证：

四边形BEDF是平行四边形；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形BEDF为菱形．

15．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．

（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．

（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．

16．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．

（1）求证：

△APD≌△BQC；

（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：

四边形ABQP为菱形．

17．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：

矩形ABCD是正方形．

18．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．

（1）求证：

GF＝GC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：

△ADE≌△BCE；

（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．

20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．

（1）求证：

△ABM≌△CDN；

（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．

第一章特殊平行四边形解答题训练

（一）

参考答案与试题解析

1．【分析】

（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BOA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．

【解答】证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，AD∥BC，

∴∠BPA＝∠DAE，

∵∠ABC＝∠AED，

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，

∴∠ABF＝∠DAE，

∵AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE（ASA）；

（2）∵△ABF≌△DAE，

∴AE＝BF，DE＝AF，

∵AF＝AE+EF＝BF+EF，

∴DE＝BF+EF．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

2．【分析】

（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；

（2）先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC＝BD，最后根据矩形的判定得出即可．）

【解答】解：

（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（

﹣2）0

＝1+2+1

＝4；

（2）证明：

∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AC＝2AO，BD＝2OD，

∵OA＝OD，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形．

【点评】本题考查了相反数，绝对值，零指数幂，平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能求出每一部分的值是解

（1）的关键，能求出四边形ABCD是平行四边形是解

（2）的关键．

3．【分析】

（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．

【解答】解：

（1）∵四边形EFGH是矩形，

∴EH＝FG，EH∥FG，

∴∠GFH＝∠EHF，

∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，

∴∠BFG＝∠DHE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠GBF＝∠EDH，

∴△BGF≌△DEH（AAS），

∴BG＝DE；

（2）连接EG，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵E为AD中点，

∴AE＝ED，

∵BG＝DE，

∴AE＝BG，AE∥BG，

∴四边形ABGE是平行四边形，

∴AB＝EG，

∵EG＝FH＝2，

∴AB＝2，

∴菱形ABCD的周长＝8．

【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．

4．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D，

∵BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE＝CF．

【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．

5．【分析】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，

在△ADF和△BCE中，

，

∴△ADF≌△BCE（SAS），

∴AF＝CE．

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

6．【分析】

（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；

（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DFO＝∠BEO，

又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，

∴△DOF≌△BOE（ASA），

∴DF＝BE，

又因为DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）解：

∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形

∴四边形BEDF是菱形，

∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，

设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x

在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2

∴x2+62＝（8﹣x）2，

解之得：

x＝

，

∴DE＝8﹣

＝

，

在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2

∴BD＝

，

∴OD＝

BD＝5，

在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，

∴OE＝

，

∴EF＝2OE＝

．

【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．

7．【分析】

（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；

（2）根据

（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．

【解答】解：

（1）设正方形CEFG的边长为a，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴DE＝1﹣a，

∵S1＝S2，

∴a2＝1×（1﹣a），

解得，

（舍去），

，

即线段CE的长是

；

（2）证明：

∵点H为BC边的中点，BC＝1，

∴CH＝0.5，

∴DH＝

＝

，

∵CH＝0.5，CG＝

，

∴HG＝

，

∴HD＝HG．

【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8．【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴∠1＝∠2．

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

9．【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可；

（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．

【解答】

（1）证明：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵△ABC平移得到△DEF，

∴AB∥DE，

∴∠B＝∠DEC，

∴∠ACB＝∠DEC，

∴OE＝OC，

即△OEC为等腰三角形；

（2）解：

当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，

理由是：

∵AB＝AC，E为BC的中点，

∴AE⊥BC，BE＝EC，

∵△ABC平移得到△DEF，

∴BE∥AD，BE＝AD，

∴AD∥EC，AD＝EC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴四边形AECD是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

10．【分析】

（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；

（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．

【解答】解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，

又∵AG⊥DE，

∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，

∴∠DAG＝∠CDE，

∴△ADG≌△DCE（ASA）；

（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA），

∴BH＝DC＝AB，

即B是AH的中点，

又∵∠AFH＝90°，

∴Rt△AFH中，BF＝

AH＝AB．

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

11．【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；

（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：

CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE＝

OB，DF＝

OD，

∴BE＝DF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：

当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC＝2OA，AC＝2AB，

∴AB＝OA，

∵E是OB的中点，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG＝90°，

同理：

CF⊥OD，

∴AG∥CF，

∴EG∥CF，

∵EG＝AE，OA＝OC，

∴OE是△ACG的中位线，

∴OE∥CG，

∴EF∥CG，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG＝90°，

∴四边形EGCF是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

12．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是正方形．

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA＝∠AFO．

∴△BOE≌△AOF（AAS）．

∴OE＝OF．

【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

13．【分析】连接AC，BD，根据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明EF＝FG＝GH＝HE，即可得出结论．

【解答】证明：

连接AC，BD，如图所示：

∵E为AB的中点，F为BC的中点，

∴EF为△ABC的中位线，

∴EF＝

AC，

同理HG＝

AC，EH＝FG＝

BD，

∵矩形ABCD，

∴AC＝BD，

∴EF＝FG＝GH＝HE，

∴四边形EFGH是菱形．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理和矩形的性质，根据题意正确找出辅助线是解决问题的关键．

14．【分析】

（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）根据根据菱形的性质作出判断：

EF与BD互相垂直平分．

【解答】证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，

∴AB∥DC，OB＝OD，

∴∠OBE＝∠ODF，

又∵∠BOE＝∠DOF，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO＝FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO．

∵四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴平行四边形BEDF是菱形．

故答案为：

EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO（答案不唯一）

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形以及全等三角形的判定与性质，解题时注意：

菱形的对角线互相垂直平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．

15．【分析】

（1）这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC＝PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF＝∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，

证明∠CPF＝90°即可．

（2）由菱形轴对称性质，利用题

（1）的方法证明∠CPF＝60°，又因为PC＝PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE＝PC＝AP．

【解答】解：

（1）PC＝PE，PC⊥PE

证明：

∵正方形ABCD，点P是对角线上一点

∴PA＝PC

∵点P位于AE的垂直平分线上

∴PA＝PE

∴PC＝PE

由正方形的轴对称性质可得，∠PAD＝∠PCD，

∵PA＝PE

∴∠PAD＝∠E

∴∠PCD＝∠E

∵∠PFC＝∠DFE

∴∠CPF＝∠FDE

∵正方形ABCD

∴∠ADC＝90°

∴∠FDE＝90°

∴∠CPF＝90°

∴PC⊥PE

（2）PA＝CE．理由如下：

∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点

∴AP＝PF，∠PAD＝∠PCD

∵点P在AE的垂直平分线上

∴AP＝PE

∴PE＝PC，∠PAD＝∠PED

∵∠PFC＝∠DFE

∴∠CPF＝∠EDF

∵菱形ABCD，∠ABC＝120°

∴∠ADC＝∠ABC＝120°

∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°

∴∠CPF＝60°

∵PE＝PC

∴△PCE是等边三角形

∴CE＝PE

∴AP＝CE

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．

16．【分析】

（1）只要证明AD＝BC，∠ADP＝∠BCQ，DP＝CQ即可解决问题；

（2）首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB＝AP即可解决问题；

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∵CQ∥DB，

∴∠BCQ＝∠DBC，

∴∠ADB＝∠BCQ

∵DP＝CQ，

∴△ADP≌△BCQ．

（2）证明：

∵CQ∥DB，且CQ＝DP，

∴四边形CQPD是平行四边形，

∴CD＝PQ，CD∥PQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴AB＝PQ，AB∥PQ，

∴四边形ABQP是平行四边形，

∵△ADP≌△BCQ，

∴∠APD＝∠BQC，

∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，

∴∠ABP＝∠APB，

∴AB＝AP，

∴四边形ABQP是菱形．

【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

17．【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，

∵∠CEF＝45°，

∴∠CFE＝∠CEF＝45°，

∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

∴△AEB≌△AFD（AAS），

∴AB＝AD，

∴矩形ABCD是正方形．

【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．

18．【分析】

（1）如图1，连接DF，根据对称得：

△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；

（2）证法一：

如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：

EM＝

AE，得结论；

证法二：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．

【解答】证明：

（1）如图1，连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，

∵点A关于直线DE的对称点为F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，

∴∠DFG＝90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵

，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），

∴GF＝GC；

（2）BH＝

AE，理由是：

证法一：

如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，

∵AD＝AB，

∴DM＝BE，

由

（1）知：

∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵∠ADC＝90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，

∴2∠2+2∠3＝90°，

∴∠2+∠3＝45°，

即∠EDG＝45°，

∵EH⊥DE，

∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，

∴∠1＝∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵

，

∴△DME≌△EBH，

∴EM＝BH，

Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，

∴EM＝

AE，

∴BH＝

AE；

证法二：

如图3，过点H作HN⊥AB于N，

∴∠ENH＝90°，

由方法一可知：

DE＝EH，∠1＝∠NEH，

在△DAE和△ENH中，

∵

，

∴△DAE≌△ENH，

∴AE＝HN，AD＝EN，

∵AD＝AB，

∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，

∴AE＝BN＝HN，

∴△BNH是等腰直角三角形，

∴BH＝

HN＝

AE．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．

19．【分析】

（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）由

（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．

【解答】

（1）证明：

在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．

∵E是AB的中点，

∴AE＝BE．

在△ADE与△BCE中，

，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；

（2）由

（1）知：

△ADE≌△BCE，则DE＝EC．

在直角△ADE中，AD＝4，AE＝

AB＝3，

由勾股定理知，DE＝

＝

＝5，

∴△CDE的周长＝2DE+CD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

20．【分析】

（1）