知识点057完全平方公式几何背景选择精编资料.docx
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知识点057完全平方公式几何背景选择精编资料
知识点057完全平方公式几何背景(选择)
1、(2010•乌鲁木齐)有若干张面积分别为纸片,阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片,4张面积为ab的长方形纸片,若他想拼成一个大正方形,则还需要抽取面积为b2的正方形纸片( )
A、2张B、4张
C、6张D、8张
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
由题意知拼成一个大正方形长为a+2b,宽也为a+2b,面积应该等于所有小卡片的面积.
解答:
解:
∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab,
∴它的边长为a,b,b.
∴它的边长为(a+2b)的正方形的面积为:
(a+2b)(a+2b)=a2+4ab+4b2,
∴还需面积为b2的正方形纸片4张.
故选B.
点评:
此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题,考法较新颖.
2、(2010•丹东)图①是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②能验证的式子是( )
A、(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mnB、(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn
C、(m﹣n)2+2mn=m2+n2D、(m+n)(m﹣n)=m2﹣n2
考点:
完全平方公式的几何背景。
专题:
计算题。
分析:
根据图示可知,阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2,即为对角线分别是2m,2n的菱形的面积.据此即可解答.
解答:
解:
(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn.
故选B.
点评:
本题是利用几何图形的面积来验证(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn,解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式.
3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是( )
A、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C、a(a+b)=a2+abD、a(a﹣b)=a2﹣ab
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
根据图形,左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积,然后加上多减去的右下角的小正方形的面积.
解答:
解:
大正方形的面积=(a﹣b)2,
还可以表示为a2﹣2ab+b2,
∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.
故选B.
点评:
正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键,也考查了对完全平方公式的理解能力.
4、已知如图,图中最大的正方形的面积是( )
A、a2B、a2+b2
C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
要求面积就要先求出边长,从图中即可看出边长.然后利用完全平方公式计算即可.
解答:
解:
图中的正方形的边长为a+b,
∴最大的正方形的面积等于=(a+b)2=a2+2ab+b2.
故选C.
点评:
本题利用了完全平方公式求解.
5、如图,将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形,则可得出一个等式为( )
A、(a+b)2=a2+2ab+b2B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C、a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D、(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积,从而得出结论.
解答:
解:
(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.
故选D.
点评:
认真观察,熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键.
6、请你观察图形,依据图形面积之间的关系,不需要连其他的线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是( )
A、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B、(a+b)2=a2+2ab+b2
C、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D、(a+b)2=a2+ab+b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
此题观察一个正方形被分为四部分,把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积,从而得到一个公式.
解答:
解:
由图知,大正方形的边长为a+b,
∴大正方形的面积为,(a+b)2,
根据图知,大正方形分为:
一个边长为a的小正方形,一个边长为b的小正方形,
两个长为b,宽为a的长方形,
∵大正方形的面积等于这四部分面积的和,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2,
故选B.
点评:
此题比较新颖,用面积分割法来证明完全平方式,主要考查完全平方式的展开式.
7、我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图(3)可以用来解释(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab.那么通过图(4)面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )
A、a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C、(a+b)2=a2+2ab+b2D、(a﹣b)(a+2b)=a2+ab﹣b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
图(3)求的是阴影部分的面积,同样,图(4)正方形的面积用代数式表示即可.
解答:
解:
图(4)中,
∵S正方形=a2﹣2b(a﹣b)﹣b2=a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2,
∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.
故选B.
点评:
关键是找出阴影部分面积的两种表达式,化简即可.
8、如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式,那么m的值是( )
A、8或﹣8B、8
C、﹣8D、无法确定
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
根据两平方项确定出这两个数,再根据乘积二倍项列式求解即可.
解答:
解:
∵x2﹣mx+16是一个完全平方式,
∴﹣mx=±2×4•x,
解得m=±8.
故选A.
点评:
本题是完全平方公式的考查,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
9、如图是一个正方形,分成四部分,其面积分别是a2,ab,b2,则原正方形的边长是( )
A、a2+b2B、a+b
C、a﹣bD、a2﹣b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
四部分的面积和正好是大正方形的面积,根据面积公式可求得边长.
解答:
解:
∵a2+2ab+b2=(a+b)2,
∴边长为a+b.
故选B.
点评:
本题考查了完全平方公式的几何意义,通过图形验证了完全平方公式,难易程度适中.
10、若长方形的周长为6,面积为1,以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形,则此两个正方形的面积之和是( )
A、7B、9
C、5D、11
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
设长方形的长是a,宽是b,根据题意,得a+b=3,ab=1.再进一步运用完全平方公式的变形求得a2+b2的值.
解答:
解:
设长方形的长是a,宽是b.
根据题意,得a+b=3,ab=1.
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=9﹣2=7.
故选A.
点评:
此题考查了完全平方公式在几何题目中的运用,渗透数形结合的思想.
11、某班同学学习整式乘除这一章后,要带领本组的成员共同研究课题学习,现在全组同学有4个能够完全重合的长方形,长、宽分别为a、b.在研究的过程中,一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形.如图所示,由左图至右图,利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是( )
A、a2+2ab+b2=(a+b)2B、4ab=(a+b)2﹣(a﹣b)2
C、a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2D、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式,知:
大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积.
解答:
解:
∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积,
∴(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,即4ab=(a+b)2﹣(a﹣b)2.
故选B.
点评:
考查了完全平方公式的几何背景,能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点.解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.
12、如图,由四个相同的直角三角板拼成的图形,设三角板的直角边分别为a、b(a>b),则这两个图形能验证的式子是( )
A、(a+b)2﹣(a﹣b)2=4abB、(a2+b2)﹣(a﹣b)2=2ab
C、(a+b)2﹣2ab=a2+b2D、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
本题从图形的阴影面积着手算起,结果选项B符合.
解答:
解:
前一个图阴影部分的面积:
(a2+b2)﹣(a﹣b)2=2ab
后一个图形面积:
=2ab
故选B.
点评:
本题考查了完全平方公式,从图形的阴影面积得到.很简单.
13、如右图:
由大正方形面积的两种算法,可得下列等式成立的是( )
A、a2+ab+b2=(a+b)2B、a2+b2=(a+b)2+2ab
C、a2+2ab+b2=(a+b)2D、a2+2ab=(a+b)2+b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
求出大正方形的边长可得出面积,求出四个分割出来的部分的面积可得出大正方形的面积,从而可得出答案.
解答:
解:
由题意得:
大正方形的面积=(a+b)2;
大正方形的面积=a2+2ab+b2,
∴可得:
a2+2ab+b2=(a+b)2.
故选C.
点评:
本题考查完全平方公式的集合背景,难度不大,通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键.
14、现有纸片:
1张边长为a的正方形,2张边长为b的正方形,3张宽为a、长为b的长方形,用这6张纸片重新拼出一个长方形,那么该长方形的长为( )
A、a+bB、a+2b
C、2a+bD、无法确定
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形的面积是a2+3ab+2b2,再把a2+3ab+2b2因式分解,即可求出该长方形的长.
解答:
解:
根据题意得:
a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),
所以可以拼成(a+2b)(a+b)的长方形,
该长方形的长为a+2b.
故选B.
点评:
本题考查对完全平方公式几何意义的理解,应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义,要与因式分解相结合.
15、有三种卡片,其中边长为a的正方形卡片1张,边长为a、b的长方形卡片6张,边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形,则这个正方形的边长为( )
A、a+3bB、3a+b
C、a+2bD、2a+b
考点:
完全平方公式的几何背景。
专题:
计算题。
分析:
1张边长为a的正方形卡片的面积为a2,6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab,9张边长为b的正方形卡片面积为9b2,∴16张卡片拼成一个正方形的总面积=a2+6ab+9b2=(a+3b)2,∴大正方形的边长为:
a+3b.
解答:
解:
由题可知,16张卡片总面积为a2+6ab+9b2,
∵a2+6ab+9b2=(a+3b)2,
∴新正方形边长为a+3b.
故选A.
点评:
本题考查了完全平方公式几何意义的理解,利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长.
16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案,已知此图案的总面积是49,小正方形的面积是4,x,y分别表示矩形的长和宽,那么下面式子中不正确的是( )
A、x+y=7B、x﹣y=2
C、4xy+4=49D、x2+y2=25
考点:
完全平方公式的几何背景。
专题:
常规题型。
分析:
根据大正方形的面积与小正方形的面积的表示,四个矩形的面积的和的两种不同的表示方法列式,然后整理,对各选项分析判断后利用排
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