弹性力学基本概念和考点文档格式.docx
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1、平衡方程仅反映物体内部的平衡,当应力分量满足平衡方程,则物体内部是平衡的。
2、平衡方程也反映了应力分量与体力(自重或惯性力)的关系。
二、几何方程;
(1)平面问题的几何方程;
u
x
■:
(2)平面问题的几何方程(极坐标)
'
门:
’门
v;
uv
1、几何方程反映了位移和应变之间的关系2、当位移完全确定时,应变也确定;
反之,当应变完全确定时,位移并不能确定。
(刚体位移)
三、物理方程;
(1)平面应力的物理方程;
1
xy
21」
E
(2)平面应变的物理方程;
1一“
□
(J—(J
x1」y
21」
-Exy
(3)极坐标的物理方程
(平面应力)
(4)极坐标的物理方程(平面应变);
2(1」)
四、边界条件;
(1)几何边界条件;
(2)应力边界条件;
平面问题:
匚7応(记)
1xymy广fy
(3)接触条件;
光滑接触:
6=6n为接触面的法线方向
非光滑接触:
6二6n为接触面的法线方向
(Un)=(4)
(4)位移单值条件;
U厂U2“
(5)对称性条件:
在空间问题中,如果弹性体的几何形状、约束情况,以及所受的外力作用,
都是对称于某一轴(通过该轴的任一平面都是对称面),则所有的应力、变形和
位移也就对称于这一轴。
一、概念
1弹性力学,也称弹性理论,是固体力学学科的一个分支。
2•固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。
3基本任务:
研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因,在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。
•
4研究对象是完全弹性体,包括杆件、板和三维弹性体,比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛
5•弹性力学基本方法:
差分法、变分法、有限元法、实验法
6弹性力学研究问题,在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,在边界
上考虑边界条件,求解微分方程得出较精确的解答;
7•弹性力学中的基本假定:
连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。
8•几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。
9•物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。
10•平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。
11当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。
反之,当形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。
12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。
它可以分为位移边界
条件、应力边界条件和混合边界条件。
13.圣维南原理主要内容:
如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系,变换为分布不
同但静力等效的力系(主失量相同,对同一点的主矩也相同),那么只在作用边界近处的应
力有显著的改变,而在距离外力作用点较远处,其影响可以忽略不计。
14.圣维南原理的推广:
如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(主失量和主矩都
等于零),那么,这个面力就只会使近处产生显著的应力,而远处的应力可以不计。
这是因为主失量和主矩都等于零的面力,与无面力状态是静力等效的,只能在近处产生显著的应力。
15•求解平面问题的两种基本方法:
位移法、应力法。
16.弹性力学的基本原理:
解的唯一性原理、解的叠加原理、圣维南原理。
会推导两种平衡微分方程
17•逆解法步骤:
(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数
(2)由式(2-24),根据应力函数求得应力分量
(3)在确定的坐标系下,考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体,根据主
要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件,分析这
些应力分量对应于边界上什么样的面力,从而得知所选取的应力函数可
以解决什么样的问题。
(或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数
18•半逆解法步骤:
(1)对于给定的弹性力学问题,根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论,如材料力学得到的初等结论,假设部分或全部应力分量的函数形式
(2)按式(2-24),由应力推出应力函数f的一般形式(含待定函数项);
(3)将应力函数f代入相容方程进行校核,进而求得应力函数f的具体表达形式;
(4)将应力函数f代入式(2-24),由应力函数求得应力分量
(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数;
考察应力分量是否满足全
(二xlxym)s=fx(S)
(J=fy(S)
h/2
才/2Cxhdy「Fn
计算
一、单项选择题(按题意将正确答案的编号填在括弧中,每小题2分,共10分)
1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程,还必须结合(C)求
解这些微分方程,以求得具体问题的应力、应变、位移。
A•相容方程B•近似方法C•边界条件D•附加假定
2、根据圣维南原理,作用在物体一小部分边界上的力系可以用(B)的力系代替,则仅在近处应力分布有改变,而在远处所受的影响可以不
计。
A.几何上等效B.静力上等效C.平衡D.任意
3、弹性力学平面问题的求解中,平面应力问题与平面应变问题的三类基本
方程不完全相同,其比较关系为(B)0
A.平衡方程、几何方程、物理方程完全相同
B.平衡方程、几何方程相同,物理方程不同
C.平衡方程、物理方程相同,几何方程不同
D.平衡方程相同,物理方程、几何方程不同
在研究方法方面:
材力考虑有限体△V的平衡,结果是近似的;
弹力考虑微
分体dV的平,结果比较精确。
4、常体力情况下,用应力函数表示的相容方程形式为手2丄2•写=0,
xx;
y;
2f3、2/3、
6、设有函数①=业〔码+3丫-1+塑・每」,
6设有函数41h3h丿5Ih3h丿'
(1)判断该函数可否作为应力函数?
(3分)
(2)选择该函数为应力函数时,考察其在图中所示的矩形板和坐标系(见
题九图)中能解决什么问题(l>
>
h)。
(15分)
解:
■444
(1)将©
代入相容方程二•2冬半=0,显然满足。
因此,该函数可以作为
42-2-4
x;
y:
应力函数。
/
(2)应力分量的表达式:
=0
Z2x
『2h/26qlh2.
.仏!
』—-Gyg-y厂-ql
对于如图所示的矩形板和坐标系,结合边界上面力与应力的关系,当板内发生上述应力时,由主边界和次边界上的应力边界条件可知,左边、下边无面力;
而上边界上受有向下的均布压力;
右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。
所以,能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。
2009~2010学年第二学期期末考试试卷(A)卷
一.名词解释(共10分,每小题5分)
1.弹性力学:
研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
2.圣维南原理:
(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),那么近处的应力分布将有显著的改变,但是远
处所受的影响可以不计。
应力符号的规定为:
正面正向、负面负向为正,反之为负。
4.弹性力学中,正面
是指外法向方向沿坐标轴正向的面,负面是指外法向方向沿坐标轴负向的
面。
1.(8分)弹性力学平面问题包括哪两类问题?
分别对应哪类弹性体?
两类平面问题各有
哪些特征?
答:
弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类,两类问题分别对应的
弹性体和特征分别为:
平面应力问题:
所对应的弹性体主要为等厚薄板,其特征是:
面力、体力的作用面平行
于xy平面,外力沿板厚均匀分布,只有平面应力分量二X,二y,xy存在,且仅为X,y的函数。
平面应变问题:
所对应的弹性体主要为长截面柱体,其特征为:
面力、体力的作用面平行于xy平面,外力沿z轴无变化,只有平面应变分量;
x,;
y,xy存在,且仅为x,y的函数。
2.(8分)常体力情况下,按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数「求解,应力
函数门必须满足哪些条件?
(1)相容方程:
N4①=0
(2)应力边界条件(假定全部为应力边界条件,
(3)若为多连体,还须满足位移单值条件。
二.问答题(36)
1.(12分)试列出图5-1的全部边界条件,在其端部边界上,应用圣维南原理列出三个积
分的应力边界条件。
(板厚1)
图5-1
在主要边界y二h2上,应精确满足下列边界条件:
6y"
2=「qX1,yxy»
2=°
;
二yy"
,5y=h2=^1
在次要边界X=0上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件,当板厚:
=1
时,
h2h2:
h2
」2二XxMy一Fn,」2二Xx^ydy=-M,上2xyx/y一Fs
在次要边界X=1上,有位移边界条件:
ux士=0,vX=1=0。
这两个位移边界条
2
二xx^yd^-M-Fsl-牛晋
262
件可以改用三个积分的应力边界条件代替:
上2Jx/y=「Fnqlxyx/y—Fs-畧
3
2.(10分)试考察应力函数cxy,c°
,能满足相容方程,并求出应力分量(不计
体力),画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布,并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。
(1)相容条件:
将
⑰汙心严:
」口z卄口
j-cxy代入相容方程4222*4-°
,显然满足。
ex戲点ycy
(2)应力分量表达式:
①2-X2=6cxy,-y=0,xy「-3cy
(3)边界条件:
在主要边界y=±
3上,即上下边,面力为Qyy
=—3ch2
=h2「4C
在次要边界x=0,x=丨上,面力的主失和主矩为[九2
打dy=0
_|h-2
*L>
xZydy=o
+.-2
h2-h2
Jxjy二」26clydy=0
h2h22clh3
h2SxMy二」26c|yd"
-^-
\人0'
2Q2人C3
x卫dy=-」23cydy」4h
x=0,x=丨上面力的主失量和主矩如解图所示。
3.(14分)设有矩形截面的长竖柱,密度为t,在一边侧面上受均布剪力q,如图5-3
所示,试求应力分量。
(提示:
采用半逆解法,因为在材料力学弯曲的基本公式中,假设材料符合简单的胡克定律,故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压,即可设应力
分量;
「X-0)
采用半逆解法,因为在材料力学弯曲的基本公式中,假设材料符合简单的胡克定
律,故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压,即可设应力分量二x=0,
(1)假设应力分量的函数形式。
二x=0
(2)推求应力函数的形式。
此时,体力分量为
fx=0,fy='
g。
将二x=0代入应
0对x积分,得-
.:
yy
=yfxfix。
其中fX,f1x都是x的待定函数。
⑶由相容方程求解应力函数。
将式(
b)代入相容方程
ydfA=0
dx4dx4
这是y的一次方程,相容方程要求它有无数多的根(全部竖柱内的y值都应该满
fx=Ax3Bx2Cx,f1x=Dx3Ex2(c)
fx中的常数项,f1x中的一次和常数项已被略去,因为这三项在冲的表达式
中成为y的一次和常数项,不影响应力分量。
得应力函数
」-yAx3Bx2Cxi亠〔Dx3Ex2(d)
(4)由应力函数求应力分量。
-xfx
(f)
-yfy=6Axy2By6Dx2E-「gy,
;
2:
.xy
(5)考察边界条件。
利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边x二b2的主要边界条件:
CT
b
=-
X
)x
将应力分量式(e)和9)代入,这些边界条件要求:
由(h)(i)得
2b
件为
考察次要边界y=0的边界条件,应用圣维南原理,三个积分的应力边界条
—3Ax3x—Cdx—A^
b丿4
由(h)(j)(k)得
将所得A、B、C、D、E代入式(e)(f)(g)得应力分量为:
qx_q
b4
匚x=0,匚y=_6段xy_qy_,gy,岑=3段%2
bbb
填空题(每个1分,共10X仁10分)。
1.弹性力学的研究方法是在弹性区域内部,考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套
方程,即方程、方程以及方程;
在弹性体的边界上,还
要建立边界条件,即边界条件和边界条件。
2•弹性力学基本假定包括假定、假定、假定、
假定和假定。
B.位移分量。
C.面力分量。
D.应力分量。
5•下列关于圣维南原理的正确叙述是D。
A.
B.
边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。
等效力系替换将不影响弹性体的变形。
圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。
等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应力分布,对于远离边界的弹性体内部的影响比较小。
二、计算题(共15分)
如图所示的三角形截面水坝,其左侧作用着比重为的液体,右侧为自由表面。
试写出以应力分量表示的边界条件。
C.
D.
在平面应力边界条件下,应力须满足
xl■•yxm=fx
xyl二fy
(1)
:
(5)
在x=ytg:
表面处,丨=cos1,
m=-sin:
;
fx=0,
fy=0
代入公式
(1),得
ScosP-EyxsinB=0
JxyCosPsinP=0在x=-ytga处,|=_cosot
m=-sin:
fxh-ycos:
fy=■ysin:
二ycos:
=ysin:
[—jcosa—MyxSina
J.yCOS;
-;
「ySn
四、计算题(共10分)试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在,若存在,需满足什么条件?
x=Axy,y=By3,xy=C-Dy2;
应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即
/xy
x:
将各分量分别代入,得
厶=0,
x2
=0,
x_:
无论A、B、C、
⑷
⑵
D取何值,
都满足形变协调条件。
基本概念解释(24分,6小题)
弹性力学的基本假定
(2)
平面应变冋题
(3)
平面应力冋题
(4)
圣维南原理
(5)
逆解法
1、简单题(40分,4题)
(1)列出图示全部边界条件。
»
h
(2)求出下列应力函数的应力分量,并考察该应力函数是否满足相容方程
F4222
A:
3xy(3h4y)
示qxy
(43
4h3
-3汁)光(2卡
⑶根据圣维南原理,比较图示中0A边的面力是否等效,h…b。
^q|./2
2、综合题(36分)
(1)设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用(如图),体力不计,丨••h,试
用应力函数:
G=AxyByCyDxy3求解应力分量。
(J
■
二]
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- 弹性 力学 基本概念 考点