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《漫谈小概率事件》教案
《漫谈小概率事件》教案
一、人们的生活中也能看见小概率事件的存在,而且经常应用到小概率事件的实际不可能原理,因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度:
一种是不愿意承认小概率事件的发生,对小概率事件听之任之、不闻不问;另一种是更愿意承认小概率事件的发生,整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。
本文通过实例,用辩证思维方法来阐述小概率事件原理的应用。
二、概率论与小概率事件
概率论最早起源赌博问题。
17世纪中叶,法国数学家帕斯卡(B.Pascal)、费马(P.deFermat)及荷兰数学家惠更斯(C.Huygens)等基于排列组合方法,解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”,于是出现了概率论。
18~19世纪,人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间的相似性,从而概率论被广泛应用到这些领域,大大推动了概率论的发展。
瑞士数学家贝努利(建立了概率论中的第一个大数定律。
随后,经过数学家们不断深入的研究,概率论的理论逐渐成熟。
概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等方面的应用价值体现越来越广泛,现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系。
概率论是研究随机现象统计规律的一门科学。
概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。
随机事件A发生的概率一般用表示,并规定。
对于概率值很接近于1的事件,其对立事件的概率必然很接近于0。
在概率论中,我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。
那么多大的概率值算小概率呢?
这要根据具体情况而确定:
对于某些非常重要的试验(场合),当事件的发生会产生严重后果(如飞机失事、沉船等)时,应选得小一些如0.0001,甚至更小一些;否则可以适当大一些。
一般多采用0.01、0.005这两个值:
即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件称为小概率事件。
而0.01、0.005这两个值称为小概率标准。
三、小概率原理及其推断方法
(一)小概率原理
定理一(贝努利大数定律):
在次独立重复试验中,记事件发生的次数为。
是事件A发生的概率。
则对于任意正数<0,有
或
根据贝努利大数定律,事件发生的频率/依概率收敛于事件发生的概率。
就是说,当很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性非常小。
假如某事件发生的概率很小,由实际推断原理,在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替概率。
倘若某事件发生的概率很小,则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小。
例如,若=0.001,则大体上在1000次试验中,才能出现1次。
因此,概率很小的事件在一次试验中不大可能发生。
在概率论的应用中,称这样的事件为实际不可能事件。
实际不可能事件在一次试验中实际上是不可能发生的。
这就是小概率原理,也称为小概率的实际不可能性原理。
它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据,也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理。
小概率事件迟早会发生。
小概率事件在一次试验中实际不会发生,并不代表它永远都不会发生。
小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多,那么小概率事件将会发生。
下面我们将说明这一结论。
在随机试验中,设事件出现的概率为,设表示“在第次试验中出现”,则,,在前次相互独立的试验中一次都不出现的概率为,则在前次相互独立的试验中至少出现一次的概率为,无论如何小,当时,,这说明小概率事件迟早会发生。
(二)小概率推断方法
小概率原理的推断方法是概率性质的反证法,指的是首先提出假设,其次根据一次试验的结果来进行计算,最后按照一定的概率标准作出判断。
若导致不合理现象出现,即小概率事件发生,则拒绝假设;若未导致不合理现象出现,即小概率事件未发生,则不拒绝假设。
小概率原理在概率论中并不占有多么重要的地位,但却是一个简单、基本而且颇有实用意义的原理,在我们的日常生活中有着很广泛的应用。
小概率原理常常在不经意间指导人们的实际生活。
因为人们坚持这样一个信念:
小概率事件在1次试验中是不会发生的。
如果居然发生了,绝不会认为是必然现象,而认为是一定有着某些偶然因素。
这就是人们为什么在明知道有飞机失事发生,仍然敢于乘飞机旅行、出差的原因。
但也有相反的情况:
即人们更愿意承认小概率事件的发生。
例如在福利彩票、体育等的发行过程中,尽管人们知道中大奖的机会几乎为0,但人们购买的热情依然很高。
这里,当然有人们愿意为福利事业、体育献爱心的一面,但最主要的因素是人们期望小概率事件在一次试验中发生(购买几张彩票就中大奖)的侥幸心理作祟。
四、小概率事件和不可能事件之间的区别和联系
概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。
人们通常用0来表示不可能事件发生的可能性。
即:
不可能事件的概率为0。
但概率为0的事件不一定为不可能事件。
小概率事件因其概率小而常常会与不可能事件混淆。
但两者从本质上来讲,是有区别的。
所谓小概率事件是指发生的可能性小,但有发生机会的事件,而不可能事件是指完全不可能发生,概率为零的事件。
比如,某人在某时刻既在甲地又在乙地,这属于自相矛盾的事件,所以这是一个不可能事件。
而随着社会的不断进步和发展,人的能力与素质的不断提高,有些不可能事件可能会转变成为小概率事件。
例如,一直让我们引为自豪的110米栏的跨栏项目,在2006年7月12日之前,打破12秒91的世界记录是一件不可能事件,但是,在7月12日这一天,我国运动员刘翔跑出了12秒88的好成绩,成功打破12秒91的世界记录。
至此,打破12秒91的世界记录这一事件,由一不可能事件转换成一小概率事件。
五、小概率事件的应用
(一)小概率事件原理在概率统计中的应用
统计推断的基础是小概率原理,而不是逻辑推理.在显著性假设检验理论中,一般把小概率称为显著性水平.假设检验是在给定显著性水平之下,判断某一假设的正确性的.从逻辑上讲,是一种含有否定意义的结论形式,这个推断结论是有可能性错误的结论,它不但表现了概率统计的特点,而且体现了可能与不可能的辩证关系.
1、正态分布的“3—原则”
若,则
所以
由此看出,的值几乎以概率1落在,区间内,也就是说,X的值以很小的概率落在之外。
这个结论在实际中也有重要应用.如:
某生产线中袋装盐的质量X服从均值为1000g,标准差为20g的正态分布,即,现对袋装盐的质量进行抽查,发现有一袋盐质量为1080g,问:
是否有理由怀疑生产线存在故障?
由正态分布的“3—原则”,袋装盐质量应以概率1落在(1000-320,1000+320)即(940,1060)之内,现在被抽取的这袋盐为1080g,落在此区间的外部,即小概率事件竟然在一次试验中发生了,所以我们有理由怀疑该生产线发生了故障,需要检修.
2、在假设检验中的应用
利用小概率事件来做假设检验:
在假设下设计一个小概率(如1%)事件.在一次试验中,这个一般不出现;但如果它居然出现了,便使人不得不怀疑假设的正确性,因此否定.
例1 某厂有一批产品,共有200件,经检验合格才能出厂.按国家标准,次品率不得超过1%,今从中任抽5件,发现这5件中含有次品.问这批产品是否能出厂?
解:
设这批产品的次品率为,问题化为:
如何根据抽样的结果来判断不等式“”是否成立?
要检验的假设是“”.首先,我们假定成立,此时,200件中最多有2件次品,从中任取5件,令A“没有取到次品”,由古典概型知
从而,任抽5件,出现次品的概率=1-1-0.95=0.05
以上结果说明,如果“”,那么平均在100回抽样中,事件=“任取5件,出现次品”,最多出现5回.也就是说,在一次抽样中,将很少遇到A发生.由小概率原理可知,小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的,如果在一次试验中,某个小概率事件竟然发生了,那么就认为这是一种反常现象.然而现在的事实是,在一次具体的抽样实践中,A竟然发生了,这是“不合情理”的.为什么会出现这种不合情理的情况呢?
其根源在于我们假定了,因此“”的假设是不能接受的.这只能说明该产品次品率不止0.01,故判断不能出厂.
由于小概率事件在一次试验中实际上是有可能会发生的,故采用上述方法将可能会判断失误.假设检验中可能会产生的两类错误.其中,第一类错误是当实际上成立的条件下,被我们判断为不成立,即犯了“弃真”的错误.显然,犯“弃真”错误的概率就是显著性水平.第二类错误是当实际上不成立时,反而被我们判断为成立,即犯了“采伪”的错误.就我们的主观愿望来说,自然是希望犯这两类错误的概率都尽可能的小,即二者都是小概率事件.然而可以证明,当样本容量确定之后,犯两类错误的概率不可能同时减小,减小其中一个,另一个往往就会增大.若要它们同时减小,只有增加样本容量.在实际问题中,因人们常把“弃真”看得比“采伪”更重要些,一般总是控制犯第一类错误的概率,这就是数理统计中的“显著性检验”.
从上面的叙述看到,假设检验的基本方法就是从抽取的样本值出发,通过观察一个“小概率事件”在一次抽样中是否发生来判断原来对总体X的某种“看法”(原假设)是否正确.具体做法是:
为了检验某个假设是否成立,首先假设成立,如果由此导出了一个小概率(小于某个数,即为显著性水平,常取=0.05,0.01等)事件发生,则认为是“反证法”推出了矛盾,从而应否定,否则接受.
3、在Bayes统计中的应用
下面是英国统计学家Savage曾考察的两个著名的统计实验:
A:
一位常饮牛奶的女士称她能辨别先倒入杯子里的是茶还是牛奶,对此做了十次试验她都答对了.
B:
一个音乐家声称他能从一页乐谱辨别是Haydn还是Mozart的作品,十次试验中他都能正确辨别.
在这两个统计实验中,假如认为被实验者是在猜测,每次成功的概率为0.5,那么十次都猜中的概率为2~10=0.0009766.这是一个很小的概率事件,是几乎不可能发生的,所以此假设应该被拒绝.被实验者每次成功的概率要比0.5大得多,这就不是猜测,而是他们的经验帮了他们的忙,可见经验———先验假设是一种在推断中不可忽视的重要假设,我们应该加以利用.
Bayes统计就是基本信息、总体信息、样本信息和先验信息的统计推断,通过小概率原理可知,先验信息在统计推断中起着非常重要的作用.Bayes统计重视出现的样本观察值,即重视对先验信息的收集、挖掘和加工,使之数量化,形成先验分布,参加到统计推断中来,从而提高了统计推断的质量.
(二)日常生活中的应用
小概率事件在一次试验中是不会发生的,一旦发生决不会认为是必然现象,而认为是一定有着某些偶然因素。
例2.某接待站在一周曾接待12次来访,已知所有这12次来访都是在此周的某两天,问此接待站接待来访时间是随机的还是规定的?
解:
假定此接待站接待来访时间是随机的,则12次来访都在这两天的概率为
显然这是一个小概率事件,居然在一次试验中发生了,因此有理由认为是规定时间。
例3.一停车场有16个车位排成一行,今发现有12个位置停了车,且有4个连接的车位空着,这种现象使人感到意外吗?
解:
设A={12个车位停了车且有4个连接的车位空着},则由古典概型可知:
这显然达到小概率事件的标准,由小概率原理有理由认为这种现象使人感到意外,发生这种情况的原因可能是人为所致,而非随机停车造成的。
在工业生产、车辆交通等方面中,发生意外事件(事故)认为是不可避免的。
从统计学的角度来分析,一般情况下,事故是属于小概率事件的。
因此我们可以通过及时的处理来控制这些破坏性的小概率事件不发生。
(三)在保险、福利彩票等方面的应用
保险事业是最早使用概率的部门之一,它会有巨大的利润就是成功的运用了小概率事件原理。
例4.某一保险公司,有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险,在一年内,每个人死亡的概率为0.002。
每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而当它在这一年死亡
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