高中数学人教A版选修22第二章推理与证明测试题含详解Word格式.docx

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bB．a<

b

C．a＝bD．a，b大小不定

解析　a＝－＝，b＝－＝，∵＋>

＋，∴a<

b.

答案　B

4．下面使用类比推理正确的是（　　）

A．“若a·

3＝b·

3，则a＝b”类比推出“若a·

0＝b·

0，则a＝b”

B．“（a＋b）·

c＝ac＋bc”类比推出“（a·

b）·

c＝ac·

bc”

C．“（a＋b）·

c＝ac＋bc”类比推出“＝＋（c≠0）”

D．“（ab）n＝anbn”类比推出“（a＋b）n＝an＋bn”

解析　由类比出的结果应正确知选C.

答案　C

5．函数y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝（　　）

A.B.

C.D．1

解析　∵y＝ax2＋1，∴y′＝2ax，设切点为（x0，y0），则⇒a＝.

6．已知f（x）＝sin（x＋1）－cos（x＋1），则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2011）＝（　　）

A．2B.

C．－D．0

解析　f（x）＝2[sin（x＋1）－cos（x＋1）]＝2sinx，∴周期T＝6，且f

（1）＋f

（2）＋…＋f（6）＝2（＋＋0－－＋0）＝0，∴f（2011）＝f（6×

335＋1）＝f

（1）＝2sin＝.

7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<

n（n∈N*，且n>

1），由n＝k（k>

1）不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数为（　　）

A．2k－1B．2k＋1

C．2k－1D．2k

解析　当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，所以增加的项数为（2k＋1－1）－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.

答案　D

8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}（　　）

A．一定是等比数列

B．一定是等差数列

C．可能是等比数列也可能是等差数列

D．一定不是等比数列

解析　设等比数列{an}的公比为q，则

an＋an＋1＝an（1＋q）．

∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列；

当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列．

9．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为：

an＝an＋2，bn＝bn＋1（a，b是常数，且a>

b），那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．无穷多个

解析　假设存在相同的项是第n项，即an＋2＝bn＋1，∴（a－b）n＝－1（a>

b，n∈N*），矛盾．

10．由①正方形的对角线相等；

②平行四边形的对角线相等；

③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（　　）

A．平行四边形的对角线相等

B．正方形的对角线相等

C．正方形是平行四边形

D．以上都不是

解析　大前提②，小前提③，结论①.

11．观察下表：

1　　　2　　　3　　　4……第一行

2345……第二行

3456……第三行

4567……第四行

⋮⋮⋮⋮

第一列第二列第三列第四列

根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（　　）

A．2n－1　　　　　　　　B．2n＋1

C．n2－1D．n2

解析　观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.

12．对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：

（a，b）＝（c，d）当且仅当a＝c，b＝d；

运算“⊗”为：

（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，bc＋ad）；

运算“⊕”为：

（a，b）⊕（c，d）＝（a＋c，b＋d）．设p，q∈R，若（1,2）⊗（p，q）＝（5,0），则（1,2）⊕（p，q）等于（　　）

A．（4,0）B．（2,0）

C．（0,2）D．（0，－4）

解析　由（1,2）⊗（p，q）＝（5,0），得

⇒

所以（1,2）⊕（p，q）＝（1,2）⊕（1，－2）＝（2,0）．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）

13．已知a>

0，b>

0，m＝lg，n＝lg，则m，n的大小关系是________．

解析　ab>

0⇒>

0⇒a＋b＋2>

a＋b⇒（＋）2>

（）2⇒＋>

⇒>

⇒lg>

lg.

答案　m>

n

14．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．

解析　等式左边从n项起共有（2n－1）项相加，右边为（2n－1）2，∴n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2.

答案　n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2

15．若数列{an}是等差数列，则有数列

{bn}也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{cn}为等比数列，且cn>

0（n∈N*），则dn＝________时，{dn}也是等比数列．

答案　

16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：

“_______________________________________”．

答案　如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知0<

a<

1，求证：

＋≥9.

证法1　（分析法）

要证＋≥9，

∵0<

1，∴1－a>

0，

∴只需证1－a＋4a≥9a（1－a），

即证1＋3a≥9a（1－a），

即证9a2－6a＋1≥0，

即证（3a－1）2≥0，

上式显然成立．

∴原命题成立．

证法2　（综合法）

∵（3a－1）2≥0，

即9a2－6a＋1≥0，

∴1＋3a≥9a（1－a）．

1，

∴≥9，

即≥9，

即＋≥9.

证法3　（反证法）

假设＋<

9，

即＋－9<

即<

而0<

1，∴a（1－a）>

∴（3a－1）2<

0，与（3a－1）2≥0相矛盾，

18．（12分）下列推理是否正确？

若不正确，指出错误之处．

（1）求证：

四边形的内角和等于360°

.

证明：

设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°

＋90°

＝360°

，所以四边形的内角和为360°

（2）已知和都是无理数，试证：

＋也是无理数．

依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．

（3）已知实数m满足不等式（2m＋1）（m＋2）<

0，用反证法证明：

关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实数．

假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式（2m＋1）（m＋2）<

0，解得－2<

m<

－，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4（m2－4），∵－2<

－，∴<

m2<

4，∴Δ<

0，即关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．

解　

（1）犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．

（2）使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．

（3）利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．

19．（12分）已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.

求证：

数列{cn}不是等比数列．

证明　假设{cn}是等比数列，则c1，c2，c3成等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p和q，且p≠q，则a2＝a1p，a3＝a1p2，b2＝b1q，b3＝b1q2.

∵c1，c2，c3成等比数列，

∴c22＝c1·

c3，

即（a2＋b2）2＝（a1＋b1）（a3＋b3）．

∴（a1p＋b1q）2＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）．

∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.

∴2pq＝p2＋q2，∴（p－q）2＝0.

∴p＝q与已知p≠q矛盾．

∴数列{cn}不是等比数列．

20．（12分）证明：

若a>

0，则－≥a＋－2.

证明　∵a>

0，要证－≥a＋－2，

只需证＋2≥a＋＋，

只需证（＋2）2≥（a＋＋）2，

即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋4＋2（a＋），

即证≥（a＋），

即证a2＋≥（a2＋＋2），

即证a2＋≥2，

即证（a－）2≥0，

该不等式显然成立．

∴－≥a＋－2.

21．（12分）如右图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°

，P，Q分别为AE，AB的中点．

（1）证明：

PQ∥平面ACD；

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

解　

（1）证明：

∵P，Q分别为AE，AB的中点，

∴PQ∥EB，又DC∥EB.

∴PQ∥DC，而PQ⊄平面ACD，

DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.

（2）如图，连接CQ，DP，

∵Q为AB的中点，且AC＝BC，

∴CQ⊥AB.

∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC.

∴CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE.

由

（1）知，PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，

∴四边形CQPD为平行四边形．

∴DP⊥平面ABE.

故∠DAP为AD与平面ABE所成角．

在Rt△DAP中，AD＝，DP＝1，

∴sin∠DAP＝.

因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.

22．（12分）已知f（x）＝（x≠－，a>

0），且f

（1）＝log162，f（－2）＝1.

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）已知数列{xn}的项满足xn＝（1－f

（1））（1－f

（2））…（1－f（n）），试求x1，x2，x3，x4；

（3）猜想{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．

解　

（1）把f

（1）＝log162＝，f（－2）＝1，代入函数表达式得

即

解得（舍去a＝－<

0），

∴f（x）＝（x≠－1）．

（2）x1＝1－f

（1）＝1－＝，

x2＝（1－f

（1））（1－f

（2））

＝×

（1－）＝，

x3＝（1－f（3））＝×

x4＝×

（1－）＝.

（3）由

（2）知，x1＝，x2＝＝，x3＝，x4＝＝，…，由此可以猜想xn＝.

①当n＝1时，∵x1＝，而＝，∴猜想成立．

②假设当n＝k（k∈N*）时，xn＝成立，

即xk＝，则n＝k＋1时，

xk＋1＝（1－f

（1））（1－f

（2））…（1－f（k））·

（1－f（k＋1））

＝xk·

＝·

[1－]

＝.

∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想xn＝都成立．