实验2 动态规划算法.docx
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实验2动态规划算法
实验02动态规划算法
[实验目的]
1.掌握动态规划算法的基本方法
2.掌握动态规划算法中最优子结构的分析
3.掌握递归求解最优值的方法
4.掌握最优解的构造.
[预习要求]
1.认真阅读算法设计教材,了解动态规划原理;
2.设计用动态规划算法求解矩阵连乘、最长公共子序列以及电路布线的java程序.
[实验题]
1.给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中,Ai与Ai+1是可乘的,计算这n个矩阵的连乘积。
从中找出一种乘次数最少的计算次序。
2.给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn},找出X和Y的最长公共子序列。
3.在一块电路板的上、下2端分别有n个接线柱。
根据电路设计,要求用导线(i,π(i))将上端接线柱与下端接线柱相连,确定将哪些连线安排在第一层上,使得该层上有尽可能多的连线。
该问题要求确定导线集Nets={(i,π(i)),1≤i≤n}的最大不相交子集。
[算法思路]
将步骤化为多步,自底向上,先求出矩阵链长为1的最优计算次序,链长为2的最优次序,...
最优解结构:
设A[1:
n]=Ai...Aj最优计算次序在Ak和A(k+1)间断开,则总计算量=A[1:
k]的计算量+A[k+1:
n]的计算量+A[1:
k]*A[k+1:
n],则矩阵子链A[1:
k]和A[k+1:
n]的计算次序也必最优。
[算法步骤和原理分析]
1.矩阵连乘,n个矩阵的连乘积,设不同的计算次序为P(n),由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题:
(A1...Ak)(Ak+1...An)可以得到关于P(n)的递推式如下:
1n=1
P(n)=
P(n)实际为Catalan数,即P(n)=C(n-1)
2.最长公共子序列:
用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。
其中,Xi={x1,x2,...xi};Yj={y1,y2,...yj}。
当i=0或j=0,空序列为最长公共子序列,故C[i][j]=0。
其他情况下,由最优子结构性质可建立递归关系如下:
0i=0,j=0;
C[i][j]=c[i-1][j-1]+1i,j>0;xi=yi;
Max{c[i][j-1],c[i-1][j]}i,j>0;xi≠yi;
3.电路布线问题:
确定将哪些连线安排在第一层上,使得该层上又尽可能多的连线。
也就是说,该问题要求确定导线集Nets={(i,
π(i)),1≤i≤n}的最大不相交子集。
最优值size(n,n)的递归结构为:
(1)当i=1时,
0j<π
(1)
Size(1,j)=
1j≥π
(1)
(2)当i>1时,
Size(i-1,j)j<π(i)
Size(i,j)=
Max{Size(i-1,j),Size(i-1,π(i)-1)+1}j≥π(i)
[实验步骤]
//矩阵连乘类
publicclassMatrix{
privateintMN;//表示矩阵链中矩阵的数目
privateint[]p;//存放各个矩阵的维数
privateint[][][]A;//存放要进行连乘的多个矩阵
privateint[][]m;//用来存放Ai到Aj的最少乘次数
privateint[][]s;//用来存放Ai到Aj的最后断开位置
//
publicMatrix()
{
MN=0;
p=newint[MN];
}
//构造函数,L为矩阵的数目
publicMatrix(intL)
{
MN=L;
p=newint[MN+1];
A=newint[MN][][];
m=newint[MN+1][MN+1];
s=newint[MN+1][MN+1];
//随机生成连乘矩阵的维数[1-11]
for(inti=0;i<=MN;i++)
{
p[i]=(int)Math.round(Math.random()*10)+1;
}
//随机生成各个矩阵
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