高中数学第二章推理与证明211合情推理教学案新人教A版选修12.docx
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高中数学第二章推理与证明211合情推理教学案新人教A版选修12
2.1.1 合情推理
预习课本P22~29,思考并完成下列问题
(1)归纳推理的含义是什么?
有怎样的特征?
(2)类比推理的含义是什么?
有怎样的特征?
(3)合情推理的含义是什么?
1.归纳推理和类比推理
[点睛]
(1)归纳推理与类比推理的共同点:
都是从具体事实出发,推断猜想新的结论.
(2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的,结论不一定正确;而类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠,因此不一定正确.
2.合情推理
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理.( )
(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )
(3)由个别到一般的推理为归纳推理.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)√
2.由“若a>b,则a+c>b+c”得到“若a>b,则ac>bc”采用的是( )
A.归纳推理 B.演绎推理
C.类比推理D.数学证明
答案:
C
3.数列5,9,17,33,x,…中的x等于________.
答案:
65
归纳推理在数、式中的应用
[典例]
(1)观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28 B.76
C.123D.199
(2)已知f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且n∈N*),则f3(x)的表达式为________,猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________.
[解析]
(1)利用归纳法:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=3+1=4,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
(2)∵f(x)=,∴f1(x)=.
又∵fn(x)=fn-1(fn-1(x)),
∴f2(x)=f1(f1(x))==,
f3(x)=f2(f2(x))==,
f4(x)=f3(f3(x))==,
f5(x)=f4(f4(x))==,
∴根据前几项可以猜想fn(x)=.
[答案]
(1)C
(2)f3(x)= fn(x)=
1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律;
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征;
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点;
(4)运用归纳推理得出一般结论.
2.数列中的归纳推理
在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和;
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解;
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
[活学活用]
1.观察下列等式:
-2+-2=×1×2;
-2+-2+-2+-2=×2×3;
-2+-2+-2+…+-2=×3×4;
-2+-2+-2+…+-2=×4×5;
……
照此规律,
-2+-2+-2+…+-2=________.
解析:
通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的是个固定数,后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半,后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为×n×(n+1),即n(n+1).
答案:
n(n+1)
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,满足Sn=6-2an+1(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4的值.
(2)猜想an的表达式.
解:
(1)因为a1=3,且Sn=6-2an+1(n∈N*),
所以S1=6-2a2=a1=3,解得a2=,
又S2=6-2a3=a1+a2=3+,解得a3=,
又S3=6-2a4=a1+a2+a3=3++,
解得a4=.
(2)由
(1)知a1=3=,a2==,a3==,
a4==,…,猜想an=(n∈N*).
归纳推理在几何中的应用
[典例] 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A.26B.31
C.32D.36
[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表:
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B.
[答案] B
利用归纳推理解决几何问题的两个策略
(1)通项公式法:
数清所给图形中研究对象的个数,列成数列,观察所得数列的前几项,探讨其变化规律,归纳猜想通项公式.
(2)递推公式法:
探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系,把各图形中研究对象的个数看成数列,列出递推公式,再求通项公式.
[活学活用]
1.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A.6n-2 B.8n-2
C.6n+2D.8n+2
解析:
选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列,所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an=6n+2.
2.(陕西高考)观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是________.
解析:
三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2.
答案:
F+V-E=2
类比推理的应用
[典例] 如图所示,在△ABC中,射影定理可表示为a=b·cosC+c·cosB,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.
[解] 如图所示,在四面体PABC中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示平面PAB,平面PBC,平面PCA与底面ABC所成二面角的大小.
我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.
1.类比推理的步骤
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性).
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想.
(3)检验这个猜想.
2.平面图形与空间图形类比如下
平面图形
空间图形
点
线
线
面
圆
球
三角形
四面体
线线角
二面角
边长
面积
周长
表面积
面积
体积
…
…
[活学活用]
1.在△ABC中,D为BC的中点,则=(+),将命题类比到四面体中去,得到一个命题为:
______________________________________.
解析:
平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心,顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线.
答案:
在四面体ABCD中,G是△BCD的重心,则AG―→=(++)
2.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=1,在空间中,给出四面体性质的猜想.
解:
如图,在Rt△ABC中,
cos2A+cos2B=2+2==1.
于是把结论类比到四面体PA′B′C′中,我们猜想,三棱锥PA′B′C′中,若三个侧面PA′B′,PB′C′,PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
层级一 学业水平达标
1.观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A. B.△
C.D.○
解析:
选A 观察可发现规律:
①每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现一次,②每行、每列有两阴影一空白,即得结果.
2.下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③教室内有一把椅子坏了,则猜想该教室内的所有椅子都坏了;④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得出凸n边形的内角和是(n-2)·180°(n∈N*,且n≥3).
A.①②B.①③④
C.①②④D.②④
解析:
选C ①是类比推理;②④是归纳推理,∴①②④都是合情推理.
3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为( )
A.1∶2B.1∶4
C.1∶8D.1∶16
解析:
选C 由平面和空间的知识,可知面积之比与边长之比成平方关系,在空间中体积之比与棱长之比成立方关系,故若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8.
4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间结论:
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;③垂直于同一条直线的两个平面互相平行;④垂直于同一平面的两个平面互相平行,则其中正确的结论是( )
A.①②B.②③
C.③④D.①④
解析:
选B 根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知,②③是正确的结论.
5.观察下列各等式:
+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( )
A.+=2
B.+=2
C.+=2
D.+=2
解析:
选A 观察发现:
每个等式的右边均为2,左边是两个分数相加,分子之和等于8,分母中被减数与分子相同,减数都是4,因此只有A正确.
6.观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律,第n个等式为________.
解析:
观察所给等式,等式左边第一个加数与行数相同,加数的个数为2n-1,故第n行等式左边的数依次是n,n+1,n+2,…,(3n-2);每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方,从而第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
答案:
n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
7.我们知道:
周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中,圆的面积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是_______________________.
解析:
平面图形与立体图形的类比:
周长→表面积,正方形→正方体,面积→体积,矩形→长方体,圆→球.
答案:
表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体和球中,球的体积最大
8.如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA1,O
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