223数学必修二直线和平面平行的性质.docx
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223数学必修二直线和平面平行的性质
数学必修二直线和平面平行的性质
一、选择题
1.已知直线a、b、c及平面α,下列哪个条件能确定a∥b( )
A.a∥α,b∥α B.a⊥c,b⊥c
C.a、b与c成等角D.a∥c,b∥c
[答案] D
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面BA1C1与直线AC的位置关系是( )
A.AC∥截面BA1C1B.AC与截面BA1C1相交
C.AC在截面BA1C1内D.以上答案都错误
[答案] A
[解析] ∵AC∥A1C1,
又∵AC⊄面BA1C1,
∴AC∥面BA1C1.
3.已知直线l∥平面α,l⊂平面β,α∩β=m,则直线l,m的位置关系是( )
A.相交B.平行
C.异面D.相交或异面
[答案] B
[解析] 这是线面平行性质定理的条件,则l∥m.
4.已知直线m∥直线n,直线m∥平面α,过m的平面β与α相交于直线a,则n与a的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.以上均有可能
[答案] A
[解析] ∵m∥α,α∩β=a,m⊂β,
∴m∥a.又m∥n,∴n∥a.
5.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.平行或异面
[答案] C
[解析] ∵a∥α,a⊂β,α⊂β=b,
∴a∥b.
∴α内与b相交的直线与a异面.
6.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是( )
A.异面B.平行
C.相交D.以上均有可能
[答案] B
[解析] ∵A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊄ABC,
∴A1B1∥平面ABC.
又A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1.
又AB∥A1B1,∴DE∥AB.
7.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A.至少有一条B.至多有一条
C.有且只有一条D.没有
[答案] B
[解析] 设这n条直线的交点为P,则点P不在直线a上,那么直线a和点P确定一个平面β,则点P既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交.设交线为直线b,则直线b过点P.又直线a∥平面α,a⊂平面β,则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.
8.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG,则EH与BD的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.不确定
[答案] A
[解析] ∵EH∥FG,FG⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,
∴EH∥平面BCD.
∵EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,
∴EH∥BD.
9.一平面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行,那么这四个交点围成的四边形是( )
A.梯形B.菱形
C.平行四边形D.任意四边形
[答案] A
[解析] 由性质定理得截面四边形有一组对边平行.
10.已知正方体AC1的棱长为1,点P是面AA1D1D的中心,点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为( )
A.1B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1,又P为AO1的中点,∴PQ=
AB1=
.
二、填空题
11.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是________.
[答案] 平行或相交
12.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B、D、A1,且α与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与B1D1的位置关系是________.
[答案] 平行
13.如图所示,AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点,
=2,则
=________.
[答案] 2
[解析] 如图,连接AD交平面α于E点,连接ME和NE.
∵平面ACD∩α=ME,CD∥α,CD⊂平面ACD,
∴CD∥ME.∴
=
.
同理,
=
,
∴
=
.
∴
=2.
14.如下图,ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是其四边上的点且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当EFGH是菱形时,
=________.
[答案]
[解析]
=
=
=
,而EF=FG.
三、解答题
15.求证,如果一条直线和两个相交平面平行,那么该直线与相交平面的交线平行.
[分析] 写出已知、求证,画出图形.由于图形比较单一,要添加辅助平面,利用线面平行性质定理先得线线平行,再由平行公理证明.
[解析] 已知:
a∥α,a∥β,且α∩β=b.
求证:
a∥b.
证明:
如图,在平面α上任取一点A,且使A∉b.∵a∥α,∴A∉a.
故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.
同理,在平面β上任取一点B,且使B∉b,
则B和a确定平面δ,设δ∩β=n.
∵a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,∴a∥m.
同理a∥n,则m∥n.
又m⊄β,n⊂β,∴m∥β.
又∵m⊂α,α∩β=b,∴m∥b.又a∥m,∴a∥b.
[点评] 本题利用线面平行的判定和性质定理,完成了平面问题和空间问题的相互转化.转化的思想是一种重要的数学思想.本节常用的转化为:
16.如图,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G.求证:
EFHG是一个平行四边形.
[证明] ∵AB∥α,平面ABC∩α=EG,AB⊂平面ABC,∴EG∥AB.
同理,FH∥AB,∴EG∥FH.
同理,EF∥GH.
∴四边形EFHG是一个平行四边形.
17.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、H分别是棱A1B1、D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F、G.
求证:
FG∥平面ADD1A1.
[证明] ∵EH∥A1D1,又A1D1∥B1C1
∴EH∥B1C1
∴EH∥平面BCC1B1
又平面EHGF∩平面BCC1B1=FG
∴EH∥FG ∴FG∥A1D1 又FG⊄平面ADD1A,A1D1⊂平面ADD1A1,
∴FG∥平面ADD1A1.
18.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=
CD.试问在PC上能否找到一点E,使得BE∥平面PAD?
若能,请确定E点的位置,并给出证明;若不能,请说明理由.
[解析] 在PC上取点E,使
=
,
则BE∥平面PAD.
证明如下:
延长DA和CB交于点F,连接PF.
梯形ABCD中,AB∥CD,AB=
CD.
∴
=
=
,
∴
=
.
又
=
,
∴△PFC中,
=
,
∴BE∥PF,
而BE⊄平面PAD,PF⊂平面PAD.
∴BE∥平面PAD.
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