整理定积分的近似计算Word格式.docx

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例：

Q=quad（'

1./（x.^3-2*x-5）'

0,2）;

5．trapz（）：

梯形法求数值积分．

trapz（x,y）

其中x为带有步长的积分区间；

y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）

计算

x=0:

pi/100:

pi;

y=sin（x）;

6．dblquad（）：

抛物线法求二重数值积分．

dblquad（fun,xmin,xmax,ymin,ymax），fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．

例1：

Q1=dblquad（inline（'

y*sin（x）'

）,pi,2*pi,0,pi）

顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．

Q2=dblquad（inline（'

）,0,pi,pi,2*pi）

例2：

Q3=dblquad（@integrnd,pi,2*pi,0,pi）

这时必须存在一个函数文件integrnd.m：

functionz=integrnd（x,y）

z=y*sin（x）;

7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：

把数据写入指定文件．

x=0:

.1:

1;

y=[x;

exp（x）];

fid=fopen（'

exp.txt'

'

w'

）;

%打开文件

fprintf（fid,'

%6.2f%12.8f\n'

y）;

%写入

fclose（fid） 

%关闭文件

8．syms变量1变量2…：

定义变量为符号．

9．sym（'

表达式'

）：

将表达式定义为符号．

解释：

Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．

10．int（f,v,a,b）：

求f关于v积分，积分区间由a到b．

11．subs（f，'

x'

，a）：

将a的值赋给符号表达式f中的x，并计算出值．若简单地使用subs（f），则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值。

三、实验内容

一、问题的提出

计算定积分的方法：

（1）求原函数；

（2）利用牛顿－莱布尼茨公式计算结果。

问题：

（1）被积函数的原函数不能用初等函数表示；

（2）被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；

（3）被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难。

解决办法：

建立定积分的近似计算方法。

思路：

在数值上表示曲边梯形的面积，只要近似地算出相应的曲边梯形的面积，就可得到所给定积分的近似值。

常用方法：

矩形法、梯形法、抛物线法．

二、矩形法

用分点a=x0,x1,…xn=b将区间[a,b]n等分，取小区间左端点的函数值yi（i=0,1,2,…,n-1）作为窄矩形的高，如图：

则有：

取小区间右端点的函数值yi（i=1,2,…,n）作为窄矩形的高，如图：

以上两公式称为矩形法公式。

用矩形法求

，并与用牛顿－莱布尼茨公式计算的结果进行比较。

程序如下：

#include<

stdio.h>

math.h>

voidmain（）

{

doubleresult,a=0,b=1,i,n=1000000,h;

printf（"

按牛顿公式计算得到的结果：

%f\n"

sin（b）-sin（a））;

result=0;

h=（b-a）/n;

//计算区间高度

for（i=1;

i<

=n;

i++）//求和

result=result+cos（a+i*h）;

result=h*result;

//乘以区间高度

用近似公式计算得到的结果：

result）;

}

三、梯形法

梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图：

用梯形法求

=n-1;

result+=（cos（a）+cos（b））/2;

四、抛物线法

此法就是将曲线分成许多小段，用对称轴平行于y轴的二次抛物级上的一段弧来近似替代原来的曲线弧，从而得到定积分的近似值。

用分点a=x0,x1,…xn=b将区间[a,b]n等分（偶数），这些分点对应曲线上的点为Mi（xi,yi）（其中yi=f（xi），i=0,1,2,…,n），如图：

因为经过三个不同的点可以唯一确定一条抛物线，可将这些曲线上的点Mi互相衔接地分成n/2组{M0,M1,M2},{M2,M3,M4},…,{Mn-2,Mn-1,Mn}，即每相邻两个区间为一组。

在每组{M2k-2,M2k-1,M2k}（k=1,2,…,n/2）所对应的子曲间[x2k-2,x2k]上，用经过点M2k-2,M2k-1,M2k的二次抛物线

近似代替曲线弧。

下面讨论如何计算积分

。

设h为区间高度，即h=x2k-x2k-1=x2k-1-x2k-2。

根据积分性质（积分在数值上表示曲边梯形的面积）有如下等式成立：

即将区间[x2k-2,x2k]平移到区间[-h,h]上，计算所得的定积分的值与原区间上的相同。

计算在[-h,h]上过三点

的抛物线

为曲边的面积。

抛物线

中的

可由下列方程组确定：

由此得：

于是所求面积为：

显然，曲边梯形的面积只与

的纵坐标

及底边所在的区间的长度2h有关。

由此可知n/2组梯形的面积为：

用抛物法求

=n/2;

result=result+2*cos（a+2*i*h）+4*cos（a+（2*i-1）*h）;

result+=cos（a）+cos（b）;

result=h*result/3;

注意：

对于以上三种方法当n取得越大时近似程度就越好。

练习题：

3）选择价值。

选择价值（OV）又称期权价值。

我们在利用环境资源的时候，并不希望它的功能很快消耗殆尽，也许会设想未来该资源的使用价值会更大。

用三种积分法近似计算如下定积分的值：

4.直接应用Matlab命令计算结果 

（1） 

数值计算

方法1：

int（'

1/（1+x^2）'

0,1） 

（符号求积分）

方法2：

quad（'

1./（1+x.^2）'

（抛物线法求数值积分）

方法3：

0.001:

y=1./（1+x.^2）;

规划编制单位对规划环境影响进行跟踪评价，应当采取调查问卷、现场走访、座谈会等形式征求有关单位、专家和公众的意见。

trapz（x,y） 

（梯形法求数值积分）

（1）结合评价对象的特点，阐述编制安全预评价报告的目的。

（2）数值计算

int（int（'

x+y^2'

y'

-1,1）,'

0,2） 

四、安全预评价方法2：

dblquad（inline（'

）,0,2,-1,1） 

（抛物线法二重数值积分） 

（4）建设项目环境保护措施及其技术、经济论证。

四、自己动手

大纲要求1． 

实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算

，取

，并比较三种方法的精确程度．

1）采取防护措施。

2． 

分别用梯形法与抛物线法，计算

．并尝试直接使用函数trapz（）、quad（）进行计算求解，比较结果的差异．

（一）环境影响评价的概念3． 

试计算定积分

．（注意：

可以运用trapz（）、quad（）或附录程序求解吗？

为什么？

）

2）预防或者减轻不良环境影响的对策和措施。

主要包括预防或者减轻不良环境影响的政策、管理或者技术等措施。

4． 

将

的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法？

并找出其他例子支持你的观点．

5． 

通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值？

1.依法评价原则；

6． 

学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写附录1和附录3的程序，避免for循环。