六年级数学上册 第4单元 圆的周长和面积圆环的面积教案 冀教版文档格式.docx
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生:
先计算出甬路和水池总的占地面积,再计算出水池的占地面积,用总面积减去水池的占地面积,就等于甬路的面积。
请同学们自己试着算一算。
学生计算,教师个别指导。
2.交流学生计算的方法和结果,教师进行板书。
展示自己的学习成果,使学生获得自主解决问题的成功体验。
谁来汇报一下你计算的方法和结果?
学生说,教师板书:
(1)水池和甬路面积:
3.14×
(1+3)²
=3.14×
16=50.24(平方米)
(2)水池面积:
3²
9=28.26(平方米)
(3)甬路面积:
50.24-28.26=21.98(平方米)
如果有人先求水池占地面积,再求水池和甬路总的占地面积,给予肯定。
3、让学生观察示意图,说一说图的样子像什么。
介绍圆环,鼓励学生用自己的话总结圆环面积的计算方法。
在学生实践经验的背景下,了解圆环名称,总结计算方法,使学生经历数学化的过程。
师:
很好,同学们灵活运用圆的面积公式解决了甬路面积问题。
现在,请同学们观察一下这个示意图。
看一看这个图的样子像什么?
像个圆环。
这样的圆形,一个大圆,中间去掉一个小圆,叫做圆环。
板书:
圆环
谁能用自己的话总结一下,怎样计算圆环的面积?
先算大圆的面积,再算小圆的面积,然后用大圆面积减小圆面积。
学生如果有其他表述,意思对就给予肯定。
三、环形铸铁面积
1、出示环形铸铁示意图,请学生自己观察示意图,并读题,教师引导学生明白“外圆”“内圆”就是“大圆”“小圆”。
学生利用上一道题的知识自己解决问题。
交流既是自主学习成果的展示,更是相互学习,提高的过程;
在已有知识和的背景下,自主尝试解决问题让学生获得成功的学习体验。
请大家自己读题,说说你知道了哪些数学信息?
学生会得到以下信息:
●这是一个环形零件。
●这个零件大圆的半径是20厘米,小圆的半径是16厘米。
同学们找到了计算环形零件的信息很准确,那谁能告诉大家‘外圆’‘内圆’指的是什么?
外圆就是指外面的那个大圆,内圆就是里面的小圆。
怎样计算这个环形铸铁的面积?
请大家试着算一算,如果能写出综合算式就更好啦!
学生独立计算,教师巡视,发现问题个别指导。
2、交流学生的计算结果与方法,要给学生充分表达不同想法的机会,教师适时点拨。
交流自己的想法,学习他人的经验,感受多种解决问题的方法。
谁愿意给大家介绍一下自己的计算结果和方法?
我是用大圆面积减去小圆面积计算出来的,综合算式是3.14×
20²
-3.14×
16²
。
教师板书:
=1256-803.84
=452.16(平方厘米)
我的计算方法和这位同学的一样,但是计算过程不一样,利用乘法分配律计算的。
(20²
-16²
)
144
生3:
我的计算方法就是3.14×
)。
=3.14×
=452.16(平方厘米)
如果第三种方法出不来,教师引导学生观察发现第三种方法。
3、观察列出的综合算式,引导学生总结出圆环的面积公式,教师介绍圆环面积的字母式。
在教师的启发下,经历圆环面积公式的推导和用字母表示的过程。
大家仔细观察圆环面积的计算除了我们前面总结出来的‘大圆面积—小圆面积’这种方法,还有其他方法吗?
圆环面积可以用3.14乘大圆半径平方减去小圆半径平方的差。
说得很好。
如果用S环表示圆环的面积,用R表示大圆半径,用r表示小圆半径,那么圆环面积公式就是S环=3.14×
(R²
-r²
S环=3.14×
四、课堂练习
1、练一练第1题。
先指出光盘上的圆环,再自己测量有关数据,并计算出圆环的面积。
交流时,重点说一说是怎样测量的。
学生独立完成后交流结果及想法。
选用生活中熟悉的物品,建立圆环概念,感受数学与生活的密切联系。
经历自主测量并计算圆环面积的过程。
看来同学们已经掌握了环形面积的计算方法,下面请同学们拿出你准备的光盘,跟同桌指一指光盘上的圆环。
学生互相找出圆环。
现在请你测量出有关数据,算一算它的面积。
学生独立测量、计算,教师巡视,了解学生的测量方法。
先来交流一下大家测量的方法和结果。
指名汇报。
给学生充分交流不同测量方法的机会。
然后交流计算结果。
2、练一练第2题。
让学生认真观察折扇和示意图,体会完全打开后扇子纸面就是半个环形的面积。
师生测量后,学生再独立完成。
讨论、理解题意是解决问题的前提,让学生学会观察,学会灵活运用所学知识解决问题。
师:
这是我们夏天用的物品——折扇,请大家仔细看看,这把折扇和我们今天学的圆环有关系吗?
出示折扇示意图。
扇子外面的竹子边是大圆的半径,里面的没有纸的竹片就是小圆半径,扇子的纸面就是圆环的一部分。
折扇是半个圆环。
观察得很仔细,那折扇纸面的面积应该怎样计算?
圆环面积除以2就是折扇纸面的面积。
师生合作测量出折扇图中大圆和小圆各自的半径,学生独立计算,然后交流计算方法和结果。
3、练一练第3题。
鼓励学生灵活运用所学知识计算各图涂色部分的面积。
交流时重点说一说是怎样算的。
考查学生能否综合运用所学知识解决和圆有关的组合图形面积。
同学们已经能够运用所学知识解决简单的实际问题了。
现在看练一练第3题,你们能灵活运用所学知识计算出各图涂色部分的面积吗?
试一试。
学生自主计算,教师巡视,个别指导。
交流时,请学习稍差的学生汇报。
●图1:
与例题相似用总结的公式计算
(6²
-3²
)=84.78cm²
6²
=84.78cm²
●图2:
先分别算出大半圆和小圆的面积,再求差。
(
)2÷
2=25.12cm²
(8÷
2÷
2)2=12.56cm²
25.12-12.56=12.56cm²
●图3:
可能有不同的算法;
解法举例:
方法
(1):
(16÷
2+6)2=615.44cm²
2)2=200.96cm²
(615.44-200.96)÷
2=207.24cm²
方法
(2):
2+6)2÷
2=307.72cm²
()2÷
2=100.48cm²
307.72-100.48=207.24cm²
4、练一练第4题,让学生认真读题后自主解答。
交流时说一说是怎样算的。
给学生提供利用已有知识和生活经验解决问题的空间,获得积极的学习体验,发展数学应用能力。
我们来解决一个装运矿泉水桶的问题。
请同学们认真读题后自主解答。
学生自主解答,教师巡视,个别指导,全班交流。
谁来说一说你是怎么算的?
根据矿泉水桶的底面周长可以算出矿泉水桶的底面直径:
100.48÷
3.14=32(厘米)
车箱长:
2米=200厘米
车箱宽:
1.6米=160厘米
因为:
200÷
32≈6(桶),
160÷
32=5(桶),
所以:
小货车最多只能沿车厢的长放6桶,沿车厢的宽摆5桶。
运输小货车一次最多可装:
5×
6=30(桶)。
5、练一练第5题,提出设计包装箱的问题。
让学生读题,弄清题中的数据信息和设计要求。
鼓励学生自主设计包装箱,并要求画出包装箱底面摆放饮料的示意图。
交流学生的设计方案时要给学生充分展示不同方案的机会,说一说制定方案的过程,并把不同的方案示意图展示出来。
通过读题和观察情景图,了解有关数学信息,为后面设计方案做准备。
给学生独立认识包装箱,并用画示意图来表示的空间,体验数学的挑战性。
交流、展示不同的包装箱设计方案,让学生分享他人的学习成果,体验解决问题策略的多样化。
下面我们再来解决一个设计包装箱的问题。
读一读题中文字,并观察情景图。
给学生充分的读书时间。
说一说你了解到那些数学信息?
学生可能回答:
●这种鲜橙汁包装罐底面的直径是5厘米,高是13厘米。
●要求设计一个长方体包装箱,每箱装24罐。
刚才我们已经了解了设计包装箱的有关信息和要求,下面就来请同学们自己设计一个长方体包装箱,并在一张纸上画出包装箱底面摆放饮料筒的示意图。
教师巡视、个别指导。
谁来把你画的图让大家欣赏一下?
说一说饮料怎样摆放?
长方体包装箱的长、宽、高各是多少?
怎样算出来?
可能出现以下几种方案:
●方案一:
每排6罐,摆4排。
长方体包装箱长:
6=30(厘米)宽:
4=20(厘米)高:
13厘米。
●方案二:
每排8罐,3排。
8=40(厘米)宽:
3=15(厘米)高:
●方案三:
每排12罐,2排。
12=60(厘米)宽:
2=10(厘米)高:
……
在交流过程中,如果出现不合常理,携带不够方便的方案,要给学生指出,并与其他方案进行比较。
附送:
(圆的周长和面积)教案冀教版
(一)单元教育目标
1、通过操作,了解圆的周长与直径的比为定值;
探索并掌握圆的周长和面积公式,能运用公式解决简单的问题。
2、在观察、操作、推理活动中,发展合情推理能力,能进行有条理地思考,能比较清楚地表达自己思考的过程与结果。
3、能探索分析和解决问题的有效方法,能表达解决问题的思路和方法,增强应用意识,提高实践能力。
4、积极参加数学活动,获得探索同面积公式的经验,在运用圆周长和面积知识解决问题的过程中,认识数学的价值。
(二)单元教材说明
本单元内容是在学生认识了圆,掌握了长方形、平行四边形、三角形等面积计算公式,具有一定探索面积公式经验的基础上学习的。
主要内容有:
探索圆的周长公式,解决和圆周长有关的实际问题,探索圆的面积公式,解决和圆面积有关的实际问题,环形面积。
圆的周长和面积是小学阶段图形与几何部分的重要内容,《数学课程标准》提出的具体要求是:
通过操作,了解圆的周长与直径的比为定值,掌握圆的周长公式;
探索并掌握同的面积公式,并能解决简单的实际问题。
解读课程内容的上述要求,首先突出了数学学习的操作性和探索性,强调让学生经历探索圆周长和面积公式的过程。
另外,突出数学的应用,强调解决简单的实际问题。
本单元教材在设计思想和内容编排上有以下特点:
1、让学生经历圆周长和圆面积公式探索的全过程。
圆的周长和面积公式是本单元的核心知识点和研究解决问题的生长点,让学生经历圆周长和面积公式的形成过程,有利于学生理解、掌握计算公式,并获得建构数学模型的活动经验。
教材在安排探索圆的周长和面积公式时,都设计了四个层面的活动。
让学生经历由个别到一般,由感性经验到理性推导的全过程。
(1)探索圆的周长的过程有以下四步:
第一,让学生利用滚动法、缠绕法等自主测量硬币的周长,并计算周长除以直径,一方面获得测量圆的周长的活动经验,另一方面获得周长除以直径的个体数据。
第二,小组合作,分别测量三个大小不同的圆形物品的周长和直径,并计算周长除以直径,为归纳圆周率提供数据。
第三,根据观察测量并计算出的数据,发现周长是直径的3倍多一些,获得初步的结论。
第四,了解圆周率的发展史和我国数学家在研究圆周率中的贡献,确信探索结果的准确性,进而总结出圆周长的计算公式。
(2)探索圆的面积的过程有以下四步:
第一,先让学生利用已有的知识,估算飞镖板的面积,再通过把飞镖板看成近似的小三角形估算,以及把飞镖板剪开拼成一个近似的长方形估算出面积,为探索活动打基础。
第二,让学生把圆形纸片分别平均分成16份、32份,剪开后拼成近似的长方形,观察、比较,体会两个近似长方形的变化。
第三,在操作的基础上,通过想象推理得出:
平均分的份数越多,拼出的图形越像长方形。
第四,讨论“拼成的长方形和圆有什么关系”,进而总结出圆的面积公式。
2、在操作中体现“转化”的思想和方法,感受极限思想。
“转化”是数学学习中重要的思想和方法,在探索几何图形的面积、体积计算公式时,除最简单的基本图形长方形、正方形、长方体、正方体外,都是通过动手操作,把探索的图形转化成已知公式的图形推导出来的。
探索圆的面积公式,因为圆是封闭的曲线图形,图形转化的重点是化曲线图形为直线图形,而这种转化单纯通过直观操作是无法做到的,所以需要用“无限分割”的极限思想来想象和推理。
本单元探索圆的面积公式时,首先设计了三个方面的操作活动:
第一,把现实生活中常见的飞镖板分割成20个近似的小三角形,拼成近似的长方形,让学生发现可以用这样的方法估算圆形物品的面积;
第二,把一个圆形纸片平均分成16份,剪开拼成近似的长方形,由物品表面的变形到一般图形的转化;
第三,把圆形纸片再平均分成32份剪拼成近似的长方形。
然后,让学生观察两次剪拼成的长方形,发现把圆平均分成32份拼成的图形更接近长方形。
接着让学生想一想“平均分的份数越多,拼出的图形会怎么样”,启发学生想象并推想出:
圆形纸片平均分的份数越多,拼出的图形就越接近长方形。
这种探索活动,使学生进一步体会了“转化”的数学思想和方法,同时初次感受了无限分割和极限的数学思想,为以后的学习积累了数学活动经验。
3、重视数学知识与现实问题的联系,提高实践能力。
本单元重视所学知识与现实生活的联系体现在两个方面。
第一,通过现实中的典型事例认识所学知识。
如,认识圆的周长时,创设了“一家三口人骑不同型号的自行车外出郊游”的情境,通过车轮转动一周,谁的车走得远”理解周长的概念,感受车轮周长与直径的关系。
第二,在解决现实的问题中,学会运用所学知识。
如,学习了圆的周长公式以后,设计“两个小朋友用皮尺测量花坛的周长,求花坛直径是多少”的问题,学习利用公式解方程求出直径的方法。
再如,学习了面积计算公式后,设计“某公司计划建一个直径是11米的草坪,计算需要多少平方米草皮”的问题,学习已知圆的直径求圆的面积的计算方法。
这些问题都是现实生活中常见的、需要用计算解决的问题,一方面学会公式的灵活运用,另一方面,提高了学生解决实际问题的能力。
本单元共安排6课时,具体内容编排如下:
知识块
课时
内容
素材与活动
1.圆的周长
第1课时
探索圆的周长公式
1.全家骑自行车郊游,讨论车轮转动一周的相关问题。
2.例1,测量医院硬币的周长和直径,计算周长÷
直径。
3.例2,小组合作测量三个圆形物品的直径和周长,计算周长÷
4.例3,计算圆镜边缘镶嵌金属条的长度。
第2课时
圆周长的实际问题
1.例4,计算圆形花坛的直径。
2.例5,计算绿茵操场的周长。
2.圆的面积
探索圆的面积公式
1.例1,估算飞镖板的面积。
2.例2,小组合作,把圆平均分成16份、32份拼成近似的长方形,探索圆的面积公式。
已知直径求面积
1.例3,已知圆形草坪的直径,求草坪面积。
2.例4,计算水缸圆形木盖的面积。
第3课时
已知周长求面积
1.例5,计算圆形蒙古包的占地面积。
2.例6,给圆桌选择台布,
第4课时
圆环面积
1.例7,计算圆形喷水池周围甬路的占地面积。
2.例8,计算环形铸铁零件的面积。
1、圆的周长,安排2课时。
第1课时(教科书42页~44页),探索圆的周长公式。
教材共设计了四个层面的数学活动。
活动一,认识圆的周长。
教材设计了一家三口骑自行车去郊游的事情,呈现了三个人骑不同型号的自行车的情境。
“议一议”提I出两个问题:
(1)车轮转动一周,谁的车走得远?
为什么?
(2)车轮转动一周走的距离和什么有关系?
在学生讨论的基础上,用兔博士的话给出了车轮周长的概念:
车轮转动一周走的距离就是车轮的周长。
活动二,测量一元硬币的周长和直径。
例1结合图示展示了两种测量硬币周长的方法,一是“滚动法”,把硬币在直尺上滚动进行测量;
二是“缠绕法”,先用细绳绕硬币一周,再测量细绳的长。
活动三,总结圆的周长公式。
例2设计了三个方面的内容。
第一,小组合作,分别测量三个大小不同的圆形物品的周长和直径,并计算周长除以直径。
第二,观察测量和计算出的数据,说一说发现了什么。
教材用聪聪的话给出了结论:
圆的周长是直径的3倍多一些。
第三,介绍圆周率,并总结计算公式。
教材用文字介绍:
任何圆的周长都是它的直径的3倍多一些。
这个倍数是一个固定不变的数,我们把它叫做圆周率。
用字母π(读作pà
i)表示。
同时说明,圆周率是一个无限不循环小数。
在进行计算时,一般只取它的近似值3.14(保留两位小数)。
然后,总结出圆周长的计算公式,并用字母表示。
为了让学生更深入地了解圆周率,在“兔博士圆站”中介绍了圆周率的发展史和我国数学家在研究圆周率中的贡献。
活动四,运用公式解决问题。
例3选择了在圆镜边缘镶嵌金属条的素材,给出镜面直径是25厘米,让学生利用公式计算金属条长是多少厘米。
本节课是在学生知道周长的含义,认识了圆的特征以及直径和半径关系,会进行小数除法计算等基础上学习的。
虽然内容比较多,但没有难以理解的概念。
教学的重点是让学生经历探索圆周率的过程,知道圆周率的字母表示和取值规定,并总结出圆的周长公式,学会简单应用。
教学活动中,教师要把握每个活动的目的,有序有效地组织教学。
全家骑自行车郊游的事例,结合“议一议”的两个问题讨论,重点使学生了解两点:
一是车轮大的自行车转动一周走得远;
二是转动一周走的距离和车轮的大小(辐条的长短)有关系。
例1测量一元硬币的周长和直径,并计算周长÷
首先要给学生讨论测量方法、实际测量并计算的时间,一方面掌握测量圆形物品周长的方法,另一方面获得周长除以直径的个体数据。
例2测量三个圆形物品的活动,重点把握以下几个环节:
第一,测量,并用计算器算出结果;
第二,充分交流各组计算周长÷
直径的结果,为后面探索规律提供丰富的数据;
第三,归纳计算的结果,引导学生用自己的语言描述周长除以直径的商,得出圆的周长都是直径的3倍多一些,然后教师介绍圆周率、字母表示及取值规定;
第四,根据周长÷
直径=π,推导出圆周长的计算公式:
周长=π×
直径,进而总结出字母公式:
C=πd或C=2πr。
例3圆周长公式的简单应用,先让学生尝试解决,再交流计算过程和结果。
第2课时(教科书45页、46页),圆周长的实际问题。
教材共安排了两个问题。
例4,已知周长求直径的问题:
一个圆形花坛的周长是17.27米,它的直径是多少米?
给出了两名同学用皮尺测量花坛的情境,“说一说”提出:
已知花坛的周长,怎样求它的直径?
接着用书中同伴交流的方式呈现了两种方法。
亮亮说:
用周长除以π。
红红说:
设花坛的直径为l米,列方程解答。
教材只给出列方程解答的过程。
例5,选择了某中学新建绿茵操场的素材,给出了示意图相有关数据,提出问题:
沿跑道跑一圈是多少米?
教材用丫丫的话提示了解决问题的思路:
两端的两个半圆可以看作一个整圆。
用蓝灵鼠的话“用计算器算一算”强调关注计算的方法。
本节课是在学生掌握了圆的周长公式的基础上学习的。
主要目的是灵活运用圆的周长公式解决实际问题。
两个例题各有侧重点:
例4让学生了解已知周长求直径可以用不同的方法,重点学习列方程解答方法;
例5让学生了解操场跑道一圈可以怎样计算,重点使学生理解操场两端的两个半圆可以看作一个圆。
教学活动中,要抓住每个例题的重点,有效组织教学。
教学例4时,在学生弄清已知条件和所求问题的基础上,重点讨论“已知花坛的周长,怎样求它的直径”问题。
可以写出C=πd的公式,让学生思考、讨论,使学生知道,已知周长和直径,可以通过“周长÷
圆周率=直径”解答,也可以直接用周长公式把直径设为
列方程解答。
2、圆的面积,安排4课时。
第1课时(教科书47页~49页),探索圆的面积公式。
教材安排了两个问题,例1,估算飞镖板的面积。
教材选择现实生活中人们玩的圆形飞镖板,一般都平均分成若干个近似小三角形,并涂上不同的颜色的典型事例。
例1呈现了用黄蓝两种颜色把飞镖板平均分成20份的示意图,给出飞镖板的半径是10厘米。
提出“估算飞镖板的面积”的要求。
兔博士提问:
观察飞镖板,你发现了什么?
教材用书中同伴的话说明飞镖板的特点。
飞镖板被平均分成20份。
每份都像一个小三角形。
接着给出了两种估算方法。
方法一,把飞镖板看成若干个小三角形估算。
教材给出一个小三角形的示意图,并用丫丫的话说出了三角形的底和高。
然后,分三个算式呈现了完整的计算过程。
先计算飞镖板的周长,再计算一个小三角形的面积,最后计算20个小三角形的面积。
方法二,把飞镖板上的20个小三角形剪开,按两种颜色上、下交叉拼成一个近似的长方形,并标出近似长方形的长(周长的一半)和高(10厘米),给出了求近似长方形面积的方法和结果。
例2小组合作,探索圆面积的计算公式。
教材设计了三个层面的探索活动。
活动一,剪拼图形。
用兔博士的话,先后提出把圆平均分成16份、32份,拼成近似的长方形的要求,并分别给出剪的示意图和拼成的图形。
活动二,比较两次拼成的图形。
提出“平均分的份数越多,拼出的图彤会怎么样”的问题,在学生观察拼出图形并想象的基础上,通过大头蛙的话给出了结论:
平均分的份数越多,就越接近长方形。
活动三,讨论拼出的长方形和圆的关系,总结圆面积公式。
“议一议”提出:
拼成的长方形和圆有什么关系?
教材在小组讨论的情境图中,用书中同伴的话给出了长方形和圆的关系:
长方形的面积相当于圆的面积、长方形的宽相当于圆的半径、长方形的长相当于圆周长的一半。
接着给了由长方形公式推导出圆面积公式的过程,以及圆的面积公式及字母表示。
本节课是在学生掌握了长方形、正方形、平行四边形等直线图形面积计算公式、圆的周长公式等基础上学习的。
圆面积计算公式的推导与多边形面积公式推导过程相比,都是用“转化”的方法。
但是,因为圆是曲线图形,把它平均分成若干个小三角形,拼成的图形不能直观显示长方形,而是要通过想象得出“平均分的份数越多,就越接近长方形”。
在数学上,这种方法叫“无限分割”,也叫极限思想。
这些名词和概念,学生难以理
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